- Történelem
- Az analitikai geometria háttere
- XVI. Század
- Az analitikai geometria alapja
- Befolyás
- Három és több dimenzió analitikai geometriája
- Irodalom
Az analitikus geometria előzményei a tizenhetedik századra nyúlnak vissza, amikor Pierre de Fermat és René Descartes meghatározták annak alapvető gondolatát. Találmánya François Viète algebrai modernizációját és az algebrai jelölést követte.
Ennek a mezőnek az alapjai az ókori Görögországban vannak, különösen Apollonius és Euclid munkáiban, akik nagy befolyást gyakoroltak a matematika e területére.
Az analitikus geometria alapvető gondolata az, hogy egy olyan görbét határoz meg, amely két változó között olyan kapcsolatot határoz meg, hogy az egyik a másik függvénye.
Ezt az ötletet először Pierre de Fermat fejlesztette ki. Ennek az alapvető keretnek köszönhetően Isaac Newton és Gottfried Leibniz képesek voltak a kalkulus kidolgozására.
A francia filozófus, Descartes szintén felfedezte a geometria algebrai megközelítését, látszólag önmagában. Descartes geometriai munkája megjelenik híres könyvében, a diskurzus módszeréről.
Ez a könyv rámutat arra, hogy az iránytű és az egyenes élek geometriai konstrukciói összeadást, kivonást, szorzást és négyzetgyököket tartalmaznak.
Az analitikus geometria a matematika két fontos hagyományának egyesülését képviseli: a geometria mint a forma tanulmányozása, valamint a számtani és az algebra, amelyek a mennyiséghez vagy a számokhoz kapcsolódnak. Ezért az analitikus geometria a geometria területének tanulmányozása koordinátarendszerek segítségével.
Történelem
Az analitikai geometria háttere
A geometria és az algebra közötti kapcsolat a matematika története során alakult ki, bár a geometria az érettség korábbi szakaszába lépett.
Például, a görög Euclid matematikus sok eredményt tudott szervezni klasszikus The Elements könyvében.
De a perga ókori görög Apollonius volt az, aki a Conics könyvében megjósolta az analitikus geometria fejlődését. A kúpot a kúp és a sík metszéspontjaként határozta meg.
Euclid eredményeit felhasználva a hasonló háromszögekre és körkörzetekre talált egy összefüggést, amelyet a kúp bármely pontjától a "P" ponttól a két merőleges vonalig, a kúp fő tengelyétől és a tengely végének érintőjétől kapott távolság ad meg. Apollonius ezt a kapcsolatot felhasználta a kúpok alapvető tulajdonságainak levezetésére.
A koordinátarendszerek későbbi fejlesztése a matematikában csak azután jelent meg, hogy az algebra érett volt az iszlám és az indiai matematikusoknak köszönhetően.
A reneszánszig a geometriát alkalmazták az algebrai problémák megoldásának igazolására, de nem sok volt az, hogy az algebra hozzájárulhatott a geometria kialakításához.
Ez a helyzet megváltozik az algebrai kapcsolatok kényelmes jelölésének elfogadásával és a ma már lehetséges matematikai függvény fogalmának kidolgozásával.
XVI. Század
A 16. század végén a francia matematikus, François Viète vezette be az első szisztematikus algebrai jelölést, betűket használva az ismert és ismeretlen numerikus mennyiségek ábrázolására.
Fejlesztett ki általános általános módszereket az algebrai kifejezések kezelésére és az algebrai egyenletek megoldására is.
Ennek köszönhetően a matematikusok nem voltak teljesen függenek a geometriai alakoktól és a geometriai intuíciótól a problémák megoldása érdekében.
Még néhány matematikus is elhagyta a szokásos geometriai gondolkodásmódot, amely szerint a hosszúság és a négyzet lineáris változói megfelelnek a területeknek, míg a köbös változók a volumeneknek.
René Descartes filozófus és matematikus, valamint Pierre de Fermat ügyvéd és matematikus elsőként megtette ezt a lépést.
Az analitikai geometria alapja
Descartes és Fermat az 1630-as években önállóan alapította az analitikus geometriát, Viète algebráját alkalmazva a lókusz tanulmányozására.
Ezek a matematikusok rájöttek, hogy az algebra hatékony eszköz a geometriaban, és feltalálták az úgynevezett ma analitikus geometria.
Az egyik áttörésük az volt, hogy Viète-t meghaladják azáltal, hogy betűkkel ábrázolják a távolságot, amely inkább változó, mint rögzített.
Descartes az egyenleteket használta a geometriailag meghatározott görbék tanulmányozására, és hangsúlyozta, hogy figyelembe kell venni a polinomiális egyenletek általános algebrai-grafikus görbéit "x" és "y" fokban.
Fermat a maga részéről hangsúlyozta, hogy az „x” és „y” koordináták közötti bármilyen kapcsolat meghatározza egy görbét.
Ezen ötletek felhasználásával átalakította Apollonius kijelentéseit algebrai kifejezésekkel, és helyreállította néhány elveszített munkáját.
Fermat jelezte, hogy az „x” és „y” bármely kvadratikus egyenlet az egyik kúpos szakasz standard alakjában elhelyezhető. Ennek ellenére Fermat soha nem tette közzé a témával kapcsolatos munkáját.
Előrelépésüknek köszönhetően, amit az Archimédus csak nagy nehézségekkel tudott megoldani, és egyes esetekben a Fermat és a Descartes gyorsan és nagy számú görbe (ma már algebrai görbék néven ismert) megoldására képes.
De ötletei csak a 17. század második felében más matematikusok erőfeszítései által váltak általános elfogadásra.
Frans van Schooten, Florimond de Beaune és Johan de Witt matematikusok segítették Decartes munkájának kibővítését, és fontos kiegészítő anyagot adtak hozzá.
Befolyás
Angliában John Wallis népszerűsítette az analitikus geometriát. Az egyenleteket használta a kúpok meghatározására és tulajdonságaik kiszámítására. Noha szabadon használta a negatív koordinátákat, Isaac Newton volt az, aki két ferde tengelyt osztott a sík négy négyzetre.
Newton és a német Gottfried Leibniz forradalmasította a matematikát a 17. század végén azáltal, hogy önállóan bizonyította a kalkulus erejét.
Newton bemutatta az analitikai módszerek fontosságát a geometriaban és azok szerepét a számításban, amikor azt állította, hogy bármely kocka (vagy bármely harmadik fokú algebrai görbe) három vagy négy standard egyenlettel rendelkezik a megfelelő koordinátatengelyekhez. John Stirling, a skót matematikus maga Newton segítségével bizonyította ezt 1717-ben.
Három és több dimenzió analitikai geometriája
Bár Descartes és Fermat egyaránt javasolt három koordinátát a görbék és a felületek vizsgálatához az űrben, a háromdimenziós analitikai geometria lassan fejlődött 1730-ig.
Az Euler, Hermann és Clairaut matematikusok általános egyenleteket készítettek hengerekre, kúpokra és a forradalom felületeire.
Például Euler egyenleteket használt a térbeli fordításokhoz az általános kvadratikus felület átalakításához, hogy fő tengelyei egybeesjenek a koordináta tengelyeivel.
Euler, Joseph-Louis Lagrange és Gaspard Monge az analitikai geometriát függetlenítette a szintetikus (nem analitikus) geometriától.
Irodalom
- Az analitikus geometria fejlesztése (2001). Helyreállítva az encyclopedia.com webhelyről
- Az analitikus geometria története (2015). Helyreállítva a maa.org oldalról
- Elemzés (matematika). Helyreállítva a britannica.com webhelyről
- Analitikai geometria. Helyreállítva a britannica.com webhelyről
- Descartes és az analitikus geometria kialakulása. Helyreállítva a sciencedirect.com webhelyről