KONJUGÁLT BINOMIÁLIS ANYAG: HOGYAN OLDHATÓ MEG, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

Egy másik binomiális konjugált binomialis olyan, amelyben csak a művelet jele alapján különböztetik meg őket. A binomiális, amint a neve is sugallja, egy algebrai struktúra, amely két kifejezésből áll.

Néhány példa a binomiális vegyületekre: (a + b), (3m - n) és (5x - y). Konjugált binomiáik a következők: (a - b), (-3m - n) és (5x + y). Amint azonnal látszik, a különbség a jelben van.

1. ábra: Binomium és annak konjugált binomiuma. Ugyanazok a kifejezések, de eltérő a jel. Forrás: F. Zapata.

A konjugátummal megszorozott binomium olyan figyelemre méltó terméket eredményez, amelyet széles körben használnak az algebrai és a tudományos életben. A szorzás eredménye az eredeti binomiális kifejezések négyzetének kivonása.

Például (x - y) egy binomiális anyag, és konjugátuma (x + y). Tehát a két binomiális szorzata a kifejezések négyzetének különbsége:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Hogyan oldja meg a konjugált binomiált?

A konjugált binomiális anyagok kimondott szabálya a következő:

Az alkalmazás példájaként az előző eredmény bemutatásával kezdjük, amelyet meg lehet tenni a termék disztribúciós tulajdonságának felhasználásával az algebrai összegre vonatkoztatva.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

A fenti szorozást az alábbi lépések végrehajtásával kaptuk meg:

- Az első binomiál első tagja megszorozzuk a második első tagjával

- Akkor az első az első, a második a második

- Akkor az első a második az első a második

- Végül a második az első a második a második.

Most tegyünk egy kis változtatást a kommutációs tulajdonság használatával: yx = xy. Ez így néz ki:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Mivel két egyenlő kifejezés létezik, de ellentétes jelzésű (színesen kiemelve és aláhúzott), ezek törlődnek és egyszerűsödnek:

(x - y) (x + y) = xx - éé

Végül alkalmazzuk, hogy egy szám önmagában történő szorzása egyenértékű annak a négyzetre való emelésével, hogy xx = x ² és yy = y ^{2 is}.

Ily módon bemutatjuk, amit az előző szakaszban jeleztünk, hogy az összeg szorzata és különbsége a négyzetek különbsége:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

2. ábra. A különbség szorzata a négyzetek különbsége. Forrás: F. Zapata.

Példák

- Különböző kifejezések konjugált binomiumai

1. példa

Keresse meg az (y ² - 3y) konjugátumát.

Válasz: (y ² + 3y)

2. példa

Így kapjuk a terméket a (y ² - 3y) és konjugált.

Válasz: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

3. példa

Fejlesztjük a terméket (1 + 2a). (2a -1).

Válasz: az előző kifejezés egyenértékű a (2a + 1) (2a -1) értékkel, vagyis megfelel a binomiális anyag és annak konjugátumának szorzatához.

Ismeretes, hogy a binomiális anyag konjugált binomiális terméke szorzata egyenlő a binomiális kifejezések négyzetének különbségével:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

4. példa

Írja be a szorzatot (x + y + z) (x - y - z) négyzetkülönbségként.

Válasz: A fenti trinómokat asszimilálhatjuk a konjugált binomiális formához, zárójelek és szögletes zárójelek óvatos felhasználásával:

(x + y + z) (x - y - z) =

Ily módon a négyzetek különbsége alkalmazható:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

5. példa

A terméket (m ² - m -1) (M ² + m -1) a négyzetek különbségével fejezzük ki.

Válasz: Az előző kifejezés két trinomális termék eredménye. Először azt két konjugált binom anyagának át kell írni:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ^{2 -} 1 + m) =.

Azt a tényt alkalmazzuk, hogy a binomiális anyag konjugátuma szorzata annak kifejezéseinek kvadratikus különbsége, amint azt már kifejtettük:

. = (m ² -1) ² - m ²

Feladatok

Mint mindig, a legegyszerűbb gyakorlatokkal kezdje, majd növelje az összetettség szintjét.

- 1. Feladat

Írja be (9 - ²) termékként.

Megoldás

Először átírjuk a kifejezést négyzetkülönbségként, az előzőekben ismertetett alkalmazásához. Így:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Ezután azt a tényezőt vesszük figyelembe, amely egyenértékű a négyzetek különbségének mint terméknek a megírásával, amint azt az állításban igénylik:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- 2. gyakorlat

16x ² - 9y ⁴ tényező.

Megoldás

A kifejezés faktorálása azt jelenti, hogy azt termékként írják. Ebben az esetben a kifejezést korábban újra kell írni, hogy négyzetkülönbséget kapjunk.

Ezt nem nehéz megtenni, mivel óvatosan körültekintve minden tényező tökéletes négyzet. Például 16 a tér 4, 9 a négyzete 3, és ^4. a négyzete y ² és X ² jelentése a tér x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Ezután alkalmazzuk azt, amit korábban már tudunk: hogy a négyzetkülönbség a konjugált binomiális termékek szorzata:

(4x) ² - (3 és ²) ² = (4x - 3 és ²). (4x + 3 és ²)

- 3. gyakorlat

Írja be (a - b) binomiális anyagként

Megoldás

A fenti különbséget négyzetek különbségeként kell írni

(√a) ² - (√b) ²

Ezután alkalmazzuk, hogy a négyzetek különbsége a konjugált binomiumok szorzata

(√a - √b) (√a + √b)

- 4. gyakorlat

A konjugált binomiális anyag egyik felhasználása az algebrai kifejezések ésszerűsítése. Ez az eljárás egy frakcionált kifejezés nevezőjének gyökereinek eltávolításából áll, ami sok esetben megkönnyíti a műveletet. A következő kifejezés ésszerűsítésére kérjük a konjugált binomiált:

√ (2-x) /

Megoldás

Az első dolog az azonosító konjugált binomiális anyagának azonosítása:

Most megszorozzuk az eredeti kifejezés számlálóját és nevezőjét a konjugált binomiállal:

√ (2-x) / {.}

Az előző kifejezés nevezőjében egy különbség szorzatát felismerjük egy összeggel, amelyről már tudjuk, hogy megfelel a binomiális négyzetek különbségének:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

A nevező egyszerűsítése:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Most a számlálóval foglalkozunk, amelyre a termék elosztó tulajdonságát alkalmazzuk az összegre:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Az előző kifejezésben felismerjük a binomiális termék (2-x) szorzatát annak konjugátuma alapján, amely a négyzetek különbségével megegyező figyelemre méltó szorzat. Ily módon ésszerűsített és egyszerűsített kifejezést kapunk:

/ (1 - x)

- 5. gyakorlat

Készítsen elő a következő terméket a konjugált binomiális tulajdonságok felhasználásával:

Megoldás

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

A figyelmes olvasó észreveszi a közös tényezőt, amelyet színesen kiemeltek.

Irodalom

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Szerkesztői Kulturális Venezolana SA
2. González J. Konjugált binomiális gyakorlatok. Helyreállítva: Academia.edu.
3. Matematika tanár Alex. Figyelemre méltó termékek. Helyreállítva a youtube.com webhelyről.
4. Math2me. Konjugált binomiális anyagok / figyelemre méltó termékek. Helyreállítva a youtube.com webhelyről.
5. Konjugált binomiális termékek. Helyreállítva: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugált binomiális anyagok. Helyreállítva: youtube.com.