FAKTORIALUS: MEGHATÁROZÁS, KÉPLETEK ÉS GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2026

A faktorialis berendezés egy egyszerű gép, amely a szíjtárcsák elrendezéséből áll, és az erő szorzó hatása van. Ilyen módon egy teher megemelhető úgy, hogy a tömegnek csak egy hányadának felel meg a kötél szabad végén.

Két tárcsakészletből áll: az egyik egy tartóhoz van rögzítve, a másik pedig az ebből eredő erőt gyakorolja a rakományra. A szíjtárcsák általában egy fémes keretre vannak felszerelve, amely azokat támogatja.

1. ábra: A tényleges kötél vázlata. Forrás: Pixabay

Az 1. ábra egy, két tárcsa két csoportjából álló faktorialus berendezést mutat. Az ilyen típusú szíjtárcsákat soros emelőknek vagy emelőknek is nevezik.

Képletek a tényleges kötélzethez

1. eset: mobil és rögzített tárcsa

Annak megértése érdekében, hogy ez az elrendezés miért szorozza meg a kifejtett erőt, a legegyszerűbb esettel kezdjük, amely rögzített tárcsát és mozgatható szíjtárcsát tartalmaz.

2. ábra. Kéttengelyű tartószerkezet.

A 2. ábrán van egy A tárcsa, amely a mennyezethez egy tartó segítségével van rögzítve. Az A csiga szabadon foroghat a tengelye körül. Van még egy B szíjtárcsa is, amelynek egy tartóeleme van a szíjtárcsa tengelyéhez rögzítve, amelyre a teher kerül. A B csiga mellett a tengelye körül is szabadon foroghat, és függőlegesen is mozoghat.

Tegyük fel, hogy egyensúlyi helyzetben vagyunk. Vegye figyelembe a B szíjtárcára ható erőket. A B szíjtárcsa tengelye lefelé irányuló P teljes súlyt támasztja alá. Ha ez lenne az egyetlen erő a B szíjtárcsán, akkor esni fog, de tudjuk, hogy az ezen a szíjtárcán áthaladó kötél két erőt is kifejt, amelyek T1 és T2, és felfelé vannak irányítva.

A transzlációs egyensúly fennállása érdekében a két felfelé irányuló erőnek meg kell egyeznie a B. szíjtárcsa tengelye által támasztott tömeggel.

T1 + T2 = P

De mivel a B csiga forgó egyensúlyban van, akkor T1 = T2. A T1 és T2 erők a húrokra alkalmazott T feszültségből származnak.

Ezért T1 = T2 = T. Az előző egyenlet helyett ez marad:

T + T = P

2T = P

Ami azt jelzi, hogy a kötél feszítése csak a felének súlya:

T = P / 2

Például, ha a rakomány 100 kg, akkor elegendő 50 kg erőt alkalmazni a kötél szabad végére, hogy a teher állandó sebességgel megemelkedjen.

2. eset: Két mozgatható és két rögzített tárcsa

Most nézzük meg azokat a feszültségeket és erõket, amelyek egy, az A és B tartóelemek két elrendezésébõl álló, két darab hengerrel rendelkezõ szerelvényre hatnak.

3. ábra Erők egy kötélen 2 rögzített tárcsával és 2 mozgatható szíjtárcsával.

A B tartónak lehetősége van függőlegesen mozogni, és az arra ható erők:

- A teher P súlya, függőlegesen lefelé mutatva.

- Két feszültség a nagy tárcsán és két feszítés a kis tárcsán. Összesen négy feszültség, mind felfelé mutatva.

A transzlációs egyensúly eléréséhez a függőlegesen felfelé mutató erőknek egyenlőnek kell lenniük az érték lefelé mutató terheléssel. Vagyis teljesíteni kell:

T + T + T + T = P

Vagyis 4 T = P

Ebből következik, hogy a kötél szabad végén alkalmazott T erő csak a súlyának egynegyedét jelenti az emelni kívánt terhelés miatt., T = P / 4.

A T feszültség ezen értékével a terhelés statikus lehet, vagy állandó sebességgel emelkedhet. Ha ezt az értéket meghaladó feszültséget alkalmaznánk, akkor a terhelés felfelé gyorsulna, és ez egy olyan körülmény, amely szükséges a nyugalomból való kiengedéshez.

Általános eset: n mozgatható és n rögzített tárcsa

Az előző esetekben látottak szerint a mozgatható szerelvény minden egyes szíjtárcájánál van néhány felfelé irányuló erő, amelyet a kötél hajt végre, amely áthalad a szíjtárcán. De ez az erő nem lehet más, mint a kötélnek a szabad végén kifejtett feszültség.

Annak érdekében, hogy a mozgatható szerelvény minden egyes szíjtárcsa felfelé függőleges erőt érjen el, amelynek értéke 2T. Mivel azonban a mozgó szerelvényben n tárcsák vannak, ebből következik, hogy a függőlegesen felfelé mutató teljes erő:

2 n T

A függőleges egyensúly eléréséhez a következőkre van szükség:

2 n T = P

ezért a szabad végén alkalmazott erő:

T = P / (2 n)

Ebben az esetben elmondható, hogy a kifejtett T erőt 2 n-szer szorzzuk meg a terhelésen.

Például, ha 3 rögzített és 3 mozgatható tárcsaval rendelkeznénk egy faktorium kötéllel, az n szám egyenlő lenne 3. Másrészt, ha a terhelés P = 120 kg, akkor a szabad végén alkalmazott erő T = 120 kg. / (2 * 3) = 20 kg.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Vegyünk egy tényleges kötélt, amely két rögzített tárcsáról és két mozgatható tárcsáról áll. A kötél maximális feszültsége 60 kg. Határozza meg, hogy mekkora a megengedett legnagyobb terhelés.

Megoldás

Ha a rakomány nyugalomban van vagy állandó sebességgel mozog, akkor a P tömeg a kötélre kifejtett T feszültséghez viszonyul a következő kapcsolat segítségével:

P = 2 n T

Mivel ez egy felszerelés, amely két mozgatható és két rögzített tárcsával rendelkezik, akkor n = 2.

A maximálisan terhelhető teher akkor érhető el, ha T a lehető legnagyobb értékkel rendelkezik, amely ebben az esetben 60 kg.

Maximális terhelés = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

2. gyakorlat

Keresse meg a kötél feszültsége és a rakomány súlya közötti összefüggést egy kéttengelyes tényezős kötélzetben, amelyben a terhelést a gyorsulással gyorsítják fel.

Megoldás

A példa és az eddig látott példák közötti különbség az, hogy a rendszer dinamikáját figyelembe kell venni. Ezért javasoljuk Newton második törvényét, hogy találja meg a kért kapcsolatot.

4. ábra: A faktorialus dinamikája.

A 4. ábrán sárga színnel rajzoljuk meg a kötél T feszültségéből adódó erőket. Az emelő mozgó részének teljes össztömege M. Referenciarendszerként az első rögzített szíjtárcsa szintjén és lefelé mutatva egy referenciarendszert veszünk.

Y1 a legalacsonyabb szíjtárcsa tengelye.

Newton második törvényét alkalmazzuk a kocsi mozgó részének a1 gyorsulásának meghatározására:

-4 T + Mg = M a1

Mivel a rakomány tömege P = Mg, ahol g a gravitáció gyorsulása, a fenti összefüggést meg lehet írni:

-4T + P = P (a1 / g)

Ha meg szeretnénk határozni a kötél feszültségét, amikor egy bizonyos P súlyterhelést a1 gyorsítással felgyorsítunk, akkor az előző kapcsolat így néz ki:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Vegye figyelembe, hogy ha a rendszer nyugalomban vagy állandó sebességgel mozog, akkor a1 = 0, és ugyanazt a kifejezést kapjuk, mint amit a 2. esetnél kaptunk.

3. gyakorlat

Ebben a példában ugyanazt az 1. gyakorlatot használjuk, ugyanazon kötéllel, amely maximálisan 60 kg feszültséget támogat. Egy bizonyos terhelés megnő, nyugalomból 1 m / s-ra felgyorsítva 0,5 másodperc alatt, a kötél maximális feszültsége mellett. Keresse meg a rakomány maximális súlyát.

Megoldás

A 2. gyakorlatban kapott kifejezéseket és a 4. ábrán szereplő referenciarendszert használjuk, ahol a pozitív irány függőlegesen lefelé mutat.

A terhelés gyorsulása a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

A rakomány tömegét kilogramm-erőben megadva adhatja meg

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Ez a rakomány maximális lehetséges tömege a kötél megszakítása nélkül. Vegye figyelembe, hogy a kapott érték kisebb, mint az 1. példában kapott érték, amelyben feltételezték, hogy a terhelés nulla gyorsulást mutat, azaz nyugalmi állapotban vagy állandó sebességgel.

Irodalom

1. Sears, Zemansky. 2016. Egyetemi fizika a modern fizikával. 14-én. Ed. 1. kötet. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Fizikai. Vol. 1. 3. kiadás spanyolul. Compañía Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Fizika: alapelvek alkalmazásokkal. 6.. Ed. Prentice Hall. 72–96.
4. Hewitt, Paul. 2012. Fogalmi fizikai tudomány. 5.. Ed. Pearson, 38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Ed. Cengage Learning. 100-119.