ÍV (GEOMETRIA): MÉRÉS, ÍVEK TÍPUSAI, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az ív geometriailag bármilyen íves vonal, amely két pontot összeköt. Egy ívelt vonal, szemben az egyenes vonallal, az iránya az egyes pontokban eltérő. Az ív ellentéte egy szegmens, mivel ez egy egyenes szakasz, amely két pontot összeköt.

A geometriában leggyakrabban használt ív a kerület íve. Egyéb általánosan használt ívek a parabolikus, az elliptikus és a felsővezeték. Az ívformát gyakran használják az építészetben dekoratív elemként és szerkezeti elemként is. Ez vonatkozik az ajtók és ablakok ágaira, valamint a hidakra és vízvezetékekre.

1. ábra. A szivárvány egy ívelt vonal, amely a horizonton két pontot összeköt. Forrás: Pixabay

A boltív és annak mérete

Az ív mértéke annak hossza, amely a két pontot összekötő görbe típusától és azok helyétől függ.

A körív hossza az egyik legegyszerűbben kiszámítható, mivel a teljes ív vagy a kerület kerülete ismert.

Egy kör kerülete a sugár kétszeri szorzata: p = 2 π R. Ezt tudva, ha ki akarjuk számítani az α szög (radiánban mért) körív ívének hosszúságát és az R sugarat, akkor az arányt alkalmazzuk:

(s / p) = (α / 2 π)

Ezután, megtisztítva az előző kifejezést, és helyettesítve a p kerületét az R sugár függvényében, az alábbiak szerint rendelkezünk:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R

Vagyis egy körív mérése a szögnyílás szorzata a körív sugárának szorzata.

Általában egy boltív számára a probléma bonyolultabb, annyiban, hogy az antikvitás nagy gondolkodói azt állították, hogy lehetetlen feladat.

Csak a differenciális és az integrált kalkulus megjelenéséig 1665-ben sikerült kielégítően megoldani az ív mérésének problémáját.

A differenciálszámítás feltalálása előtt megoldásokat csak sokszögű vonalak vagy kerületi ívek alkalmazásával lehetett megtalálni, amelyek megközelítették a valós ívet, de ezek a megoldások nem voltak pontosak.

Íjak típusai

Geometria szempontjából az íveket a görbe vonal szerint osztályozzák, amely a sík két pontját összeköti. A felhasználás és az építészeti forma szerint más osztályozások is vannak.

Körív

Ha a síkban két pontot összekötő vonal egy meghatározott sugár kerületének darabja, akkor körív van. A 2. ábra az A és B összekötő pontok R sugarú körének körívét mutatja.

2. ábra: R sugarú körív, amely összeköti az A és B pontokat. Ricardo Pérez dolgozta ki.

Parabolikus arch

A parabola az az út, amelyet egy tárgy követ, amelyet ferdén dobtak a levegőbe. Ha a két pontot összekötő görbe parabola, akkor a 3. ábrán bemutatotthoz hasonló parabolikus ív van.

3. ábra. Az A és B parabolikus ív összekötő pontok. Ricardo Pérez dolgozta ki.

Ez a vízsugaras alakja, amely egy felfelé mutató tömlőből jön ki. A parabolikus ív megfigyelhető a vízforrásokban.

4. ábra. Parabolikus ív, amelyet víz alkot a szökőkútból Drezdában. Forrás: Pixabay.

Catenary arch

A felsővezeték egy másik természetes ív. A felsővezeték az a görbe, amely természetesen akkor alakul ki, amikor egy lánc vagy kötél két különálló ponttól lazán lóg.

5. ábra. Vezetékes ív és összehasonlítás a parabolikus ívvel. Készítette: Ricardo Pérez.

A felsővezeték hasonló a parabolahoz, de nem pontosan ugyanaz, mint a 4. ábrán látható.

A fordított felsővezetéket az építészetben nagy nyomószilárdságú szerkezeti elemként használják. Valójában bebizonyítható, hogy ez a legerősebb típusú íj az összes lehetséges alak közül.

Szilárd mennyezeti ív felépítéséhez csak lemásolja a függő kötél vagy lánc alakját, majd a másolt formát megfordítja, hogy reprodukálhassa azt az ajtóban vagy az ablakon.

Ellipszis

Egy ív elliptikus, ha a két pontot összekötő görbe egy ellipszis darab. Az ellipszist azoknak a pontoknak a helyeként definiáljuk, amelyeknek a távolsága két adott ponttól mindig állandó mennyiséget eredményez.

Az ellipszis a természetben megjelenő görbe: a Nap körül lévő bolygók pályájának görbéje, amelyet Johannes Kepler 1609-ben mutatott be.

A gyakorlatban egy ellipszis rajzolható úgy, hogy két talapzatot a földre vagy két csapot rögzít egy papírdarabba, és egy húrot odaköt nekik. Ezután a kötélt meghúzzuk a jelölővel vagy ceruzával, és nyomon követjük a görbét. Egy darab ellipszis elliptikus ív. A következő animáció szemlélteti az ellipszis rajzolását:

5. ábra: Egy ellipszis nyomon követése feszes kötéllel. Forrás: Wikimedia Commons

A 6. ábra ellipszis alakú ívet mutat, amely összeköti a G és a H pontot.

6. ábra. Két pontot összekötő elliptikus ív. Készítette: Ricardo Pérez.

Példák ívekre

A következő példák leírják, hogyan kell kiszámítani egyes ívek kerületét.

1. példa

A 7. ábra egy vágott körívvel készített ablakot mutat. Az ábrán látható méretek lábakban vannak megadva. Keresse meg az ív hosszát.

7. ábra: Az ablak körívének hossza kiszámítása. (Saját kommentárok - ablakkép a Pixabay-en)

Az ablaküveg kör alakú ívének középpontja és sugara meghatározása érdekében a képen a következő szerkezeteket készítjük:

-A KL szegmenst rajzoljuk és a felezőt rajzoljuk.

-Akkor az áthidalás legmagasabb pontja található, amelyet M-nek hívunk. Ezután a KM szegmenst vesszük figyelembe és mediátrixát nyomon követjük.

A két felező metszéspontja N pont, és egyben a körív középpontja.

-Most meg kell mérnünk az NM szegmens hosszát, amely egybeesik a körív R sugárával: R = 2,8 láb.

- Ahhoz, hogy megismerjük az ív hosszát a sugáron kívül, meg kell ismerni azt a szöget, amelyet az ív képez. Ezt két módszerrel lehet meghatározni, vagy mérhetjük egy szögmérővel, vagy alternatívaként trigonometria segítségével számolhatjuk ki.

A bemutatott esetben az ív által képzett szög 91,13º, amelyet radiánra kell átszámítani:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radián

Végül kiszámoljuk az ív hosszúságát s az = R képlet alapján.

s = 1,59 * 2,8 láb = 4,45 láb

2. példa

Keresse meg a 8. ábrán bemutatott ellipszis ív hosszát, megismerve az ellipszis r félig fő tengelyét és s félig kisebb tengelyét.

8. ábra. A GH közötti elliptikus ív. Készítette: Ricardo Pérez.

Az ellipszis hosszának meghatározása hosszú ideje a matematika egyik legnehezebb problémája volt. Kaphat megoldásokat elliptikus integrálokkal kifejezve, de ahhoz, hogy numerikus értéket kapjon, ezeket az integrálokat ki kell terjesztenie a hatalom-sorozatban. A pontos eredményhez a sorozat végtelenségére lenne szükség.

Szerencsére az 1887 és 1920 között élt Ramanujan hindu matematikai zseni olyan képletet talált, amely nagyon pontosan megközelíti az ellipszis kerületét:

Az ellipszis kerülete r = 3 cm és s = 2,24 cm, 16,55 cm. A bemutatott elliptikus ív értéke azonban felére csökken:

Az elliptikus boltív hossza GH = 8,28 cm.

Irodalom

1. Clemens S. 2008. Geometria és trigonometria. Pearson oktatás.
2. García F. Numerikus eljárások a Java-ban. Egy ellipszis hossza. Helyreállítva: sc.ehu.es
3. Dinamikus geometria. Íjak. Helyreállítva a geometriadinamica.es webhelyről
4. Piziadas. Ellipszisek és parabolák körülöttünk. Helyreállítva: piziadas.com
5. Wikipedia. Arch (geometria). Helyreállítva: es.wikipedia.com