A KÖZELÍTÉSEK KISZÁMÍTÁSA A DIFFERENCIÁL SEGÍTSÉGÉVEL - MATEMATIKA - 2026

A matematika közelítése olyan szám, amely nem valami pontos értéke, de olyan közel áll ahhoz, hogy hasznosnak tekinthető, mint a pontos érték.

Ha közelítést végezünk a matematikában, az azért van, mert manuálisan nehéz (vagy néha lehetetlen) megtudni, hogy pontosan mit akar.

A közelítő munkák során a fő eszköz a függvény differenciálása.

Az f függvény differenciája, amelyet Δf (x) jelöl, nem más, mint az f függvény deriváltja a független változó változásának szorzata, azaz Δf (x) = f '(x) * Δx.

Időnként f és Δx helyett df és dx értéket használnak.

Közelítések a differenciál segítségével

A differencián keresztüli közelítés elvégzéséhez alkalmazott képlet pontosan abból adódik, hogy egy függvény derivációját határozzuk meg.

Ezt a képletet adja meg:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Itt értendő, hogy Δx = x-x0, tehát x = x0 + Δx. Ezzel a képlet átírható mint

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Meg kell jegyezni, hogy az "x0" nem egy önkényes érték, hanem olyan érték, hogy f (x0) könnyen ismert; ráadásul az "f (x)" csak az az érték, amelyet hozzá akarunk közelíteni.

Van-e jobb megközelítés?

A válasz igen. A fentiek a legegyszerűbbek a "lineáris közelítés" néven.

A jobb minőségű közelítés érdekében (a hiba kisebb) a több Taylor polinomnak nevezett származékokkal rendelkező polinómokat, valamint más numerikus módszereket, például a Newton-Raphson módszert használják.

Stratégia

A követendő stratégia a következő:

- Válasszon egy megfelelő f funkciót a közelítés végrehajtásához és az «x» értéket úgy, hogy f (x) legyen a közelítandó érték.

- Válasszon egy "x0" értéket, közel az "x" értékhez, úgy, hogy f (x0) könnyen kiszámítható.

- Számítsa ki Δx = x-x0.

- Számítsa ki az y f '(x0) függvény deriváltját.

- Cserélje le az adatokat a képletben.

Megoldott közelítési gyakorlatokat

A továbbiakban egy sor gyakorlat van, ahol a differenciál segítségével közelítést végeznek.

Első gyakorlat

Körülbelül √3.

Megoldás

A stratégiát követve megfelelő funkciót kell választani. Ebben az esetben látható, hogy a választandó függvénynek f (x) = √x-nek kell lennie, és a közelítendő értéknek f (3) = √3-nak kell lennie.

Most a "3" -hoz közeli "x0" értéket kell választanunk, hogy f (x0) könnyen kiszámítható legyen. Ha "x0 = 2" van választva, akkor az "x0" közel van a "3" -hoz, de f (x0) = f (2) = √2 kiszámítása nem könnyű.

Az "x0" megfelelő értéke "4", mivel a "4" közel van a "3" -hoz, és szintén f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ha "x = 3" és "x0 = 4", akkor Δx = 3-4 = -1. Most folytassuk az f származékának kiszámítását. Vagyis f '(x) = 1/2 * √x, tehát f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Az összes érték helyettesítése a kapott képletben:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ha számológépet használ, akkor ezt kapja: √3201.73205… Ez azt mutatja, hogy az előző eredmény a valós érték jó becslése.

Második gyakorlat

Körülbelül √10.

Megoldás

Mint korábban, f (x) = √xy-t választunk függvényként, ebben az esetben x = 10.

Az x0 értéke ezúttal az "x0 = 9". Ekkor Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 és f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

A képletben történő értékeléskor megkapjuk, hogy:

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Számológéppel megkapjuk, hogy √10 ≈ 3,1622776… Itt is látható, hogy jó közelítést kaptunk korábban.

Harmadik gyakorlat

Hozzávetőleges ³√10, ahol ³√ a kocka gyökérét jelöli.

Megoldás

A gyakorlatban egyértelműen f (x) = ³√x a függvény, és az "x" értékének "10" kell lennie.

A "10" -hez közeli érték, hogy a kockagyökér ismert legyen, "x0 = 8". Akkor Δx = 10-8 = 2 és f (x0) = f (8) = 2. Van még f '(x) = 1/3 * ³√x², és ennek következtében f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Az adatok helyettesítésével a képletben kapjuk, hogy:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

A számológép azt mondja, hogy ³√10 ≈ 2,15443469… Ezért a talált közelítés jó.

Negyedik gyakorlat

Körülbelül ln (1.3), ahol "ln" a természetes logaritmus függvényt jelöli.

Megoldás

Először f (x) = ln (x) függvényként választunk, és az "x" értéke 1,3. Most, kissé megismerve a logaritmus függvényt, megtudhatjuk, hogy ln (1) = 0, ráadásul "1" közel van "1,3" -hoz. Ezért az "x0 = 1" értéket választottuk, és így Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Másrészt f '(x) = 1 / x, úgy, hogy f' (1) = 1. Az adott képletben történő értékelés során:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Számológéppel megkapjuk, hogy ln (1.3) ≈ 0,262364… Tehát a becslés jó.

Irodalom

1. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. és Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, illusztrált kiadás). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. és Varberg, D. (1991). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8. kiadás). Cengage tanulás.
5. Leal, JM és Viloria, NG (2005). Sík analitikus geometria. Mérida - Venezuela: Szerkesztői Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson oktatás.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Calculus (kilencedik kiadás). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciális számítás a korai transzcendens funkciókkal a tudomány és a technika számára (Second Edition, szerk.). Átfogó.
9. Scott, Kalifornia (2009). Kartézi sík geometria, rész: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Villámforrás.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson oktatás.