HENGERES KOORDINÁTÁK: RENDSZER, VÁLTOZÁS ÉS GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A hengeres koordinátákat a pontok háromdimenziós térben való megkeresésére használják, és ρ, φ azimutális koordinátákból és z magassági koordinátákból állnak.

Az űrben elhelyezkedő P pontot az XY síkra merőlegesen vetítik ki, és ebben a síkban a P 'pont keletkezik. A kiindulási pont és a P 'pont közötti távolság határozza meg a ρ koordinátát, míg az X tengely és az OP suga közötti szög meghatározza a inate koordinátát. Végül, a z koordináta a P pont ortogonális vetülete a Z tengelyen. (lásd az 1. ábrát).

1. ábra: A hengeres koordináták P pontja (ρ, φ, z). (Saját kidolgozás)

A ρ sugárirányú koordináta mindig pozitív, az im azimutális koordinátája nulla radiánról két pi sugárra változik, míg a z koordináta bármilyen valós értéket megkaphat:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

A koordináták megváltozása

Viszonylag könnyű megszerezni a P pont derékszögű koordinátáit (x, y, z) a hengeres koordinátáiból (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

A poláris koordinátákat (ρ, φ, z) a P pont derékszögű koordinátáinak (x, y, z) megismerésével is meg lehet szerezni:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arktán (y / x)

z = z

Vektor alap hengeres koordinátákban

Meghatározzuk az Uρ, Uφ, Uz hengeres egységvektorok alapját.

Az Uρ vektor érintője az φ = ctte és z = ctte vonallal (sugárirányban kifelé mutat), az Uφ vektor az ρ = ctte és z = ctte vonal érintője, és végül Uz azonos irányban van a Z tengely felé.

2. ábra. Hengeres koordináta-alap. (wikimedia Commons)

A hengeres egység alapjában a P pont r pozícióvektorát vektorias módon írják:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Másrészről, egy végtelenül kicsi elmozdulás d r a P pont a következőképpen fejezhető ki:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Hasonlóképpen, a dV térfogat végtelen eleme hengeres koordinátákban:

dV = ρ dρ dφ dz

Példák

Számtalan példa található a hengeres koordináták használatára és alkalmazására. Például a térképészetben a hengeres vetítést pontosan ezen a koordinátán alapulnak. További példák vannak:

1. példa

A hengeres koordináták alkalmazhatók a technológiában. Példaként említjük a CHS (henger-fej-szektor) adatmegosztási rendszert a merevlemezen, amely valójában több lemezt tartalmaz:

- A henger vagy a nyomvonal megfelel a ρ koordinátának.

- A szektor megfelel a nagy szögsebességgel forgó lemez an helyzetének.

- A fej az olvasófej z-helyzetének felel meg a megfelelő lemezen.

Minden információs bájtnak pontos címe van, hengeres koordinátákban (C, S, H).

2. ábra: Az információk elhelyezése hengeres koordinátákban a merevlemez-rendszeren. (wikimedia Commons)

2. példa

Az építőipari daruk rögzítik a teher helyzetét hengeres koordinátákban. A vízszintes helyzetet a daru tengelyéhez vagy nyílához való távolság ρ és annak reference szöghelyzete határozza meg egy referenciatengelyhez viszonyítva. A rakomány függőleges helyzetét a magasság z koordinátája határozza meg.

3. ábra: A teher helyzete az építőipari darukon hengeres koordinátákban könnyen kifejezhető. (kép pixabay - kommentárok R. Pérez)

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Vannak P1 pontok hengeres koordinátákkal (3, 120º, -4) és P2 pontok hengeres koordinátákkal (2, 90º, 5). Keresse meg a két pont közötti euklideszi távolságot.

Megoldás: Először megkeressük az egyes pontok derékszögű koordinátáit a fenti képlet alapján.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Az Euklideszi távolság P1 és P2 között:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

2. gyakorlat

A P pont derékszögű koordinátáival rendelkezik (-3, 4, 2). Keresse meg a megfelelő hengeres koordinátákat.

Megoldás: A hengeres koordinátákat a fent megadott összefüggések alapján keressük meg:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arktán (y / x) = arktán (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Emlékeztetni kell arra, hogy az arktangens függvényt többszörösre kell becsülni 180º periodicitással. Ezenkívül az φ szögnek a második negyedbe kell tartoznia, mivel a P pont x és y koordinátái abban a negyedben vannak. Ez az oka annak, hogy 180º-t adtak az eredményhez φ.

3. gyakorlat

Fejezzük ki hengeres és derékszögű koordinátákban egy henger felületét, amelynek sugara 2, és amelynek tengelye egybeesik a Z tengelyével.

Megoldás: Magától értetődik, hogy a henger végtelen kiterjedésű z irányban, tehát az említett felület egyenlete hengeres koordinátákban a következő:

ρ = 2

A hengeres felület derékszögű egyenletének meghatározásához az előző egyenlet mindkét tagjának négyzetét vesszük:

ρ ² = 4

Szorozzuk meg az előző egyenlőség mindkét tagját 1-gyel, és alkalmazzuk az alapvető trigonometrikus identitást (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

A zárójelet az alábbiak előállításához fejlesztették ki:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Emlékezzünk arra, hogy az első zárójel (ρ sin (φ)) egy pont y koordinátája a poláris koordinátákban, míg a (z) zárójel (ρ cos (represents)) az x koordinátát képviseli, tehát a henger egyenlete a koordinátákban van. Kartéziánus:

y ² + x ² = 2 ²

A fenti egyenletet nem szabad összekeverni az XY sík kerületének méretével, mivel ebben az esetben így néz ki: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

4. gyakorlat

Az R = 1 m sugarú és H = 1 m magasságú henger tömegét sugárirányban eloszlik a következő D (ρ) = C (1 - ρ / R) egyenlet szerint, ahol C a C = 1 kg / m ³ értékű állandója. Keresse meg a henger teljes tömegét kilogrammban.

Megoldás: Az első dolog annak felismerése, hogy a D (ρ) függvény a térfogati tömeg sűrűséget képviseli, és hogy a tömeg sűrűsége csökkenő sűrűségű hengeres héjakban oszlik meg a központtól a perifériáig. A térfogat végtelen eleme a probléma szimmetriája szerint:

dV = ρ dρ 2π H

Ezért a hengeres héj végtelen tömege:

dM = D (ρ) dV

Ezért a palack teljes tömegét a következő határozott integrállal kell kifejezni:

M = ∫ _vagy ^R D (ρ) dV = ∫ _vagy ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _vagy ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

A feltüntetett integrál megoldását nem nehéz elérni, ennek eredménye:

∫ _vagy ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Ha ezt az eredményt a palack tömegének kifejezésével vesszük figyelembe, az alábbiakat kapjuk:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Irodalom

1. Arfken G és Weber H. (2012). Matematikai módszerek a fizikusok számára. Átfogó útmutató. 7. kiadás. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Számítás cc. A hengeres és gömb koordináták megoldott problémái. Helyreállítva: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Hengeres koordináták." A MathWorld-tól - A Wolfram web. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Hengeres koordinátarendszer. Helyreállítva: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektormezők hengeres és gömb koordinátákban. Helyreállítva: en.wikipedia.com