- A téglalap alakú koordináták eredete
- A derékszögű repülőgép
- Két pont közötti távolság
- Egy vonal analitikus kifejezése
- Példák
- 1. példa
- 2. példa
- Megoldott gyakorlatok
- 1. Feladat
- 2. gyakorlat
- Irodalom
A téglalap alakú koordináták vagy derékszögűek azok, amelyeket a három, X, Y, Z derékszög tengelyére merőlegesen kinyúló, háromdimenziós térben elhelyezkedő ponton kapunk.
A derékszög tengelyei egymásra merőleges, egymásra merőleges vonalak. A derékszögű koordinátarendszerben minden egyes térbeli ponthoz három valós számot rendelnek, amelyek téglalap alakú koordinátáik.

1. ábra: A P pont téglalap alakú koordinátái (Saját kidolgozás)
A sík egy háromdimenziós tér alterülete. Abban az esetben, ha egy síkon pontokat veszünk figyelembe, elegendő pár merőleges X, Y tengelyt választani derékszögű rendszerként. Ezután a sík egyes pontjaihoz két valós számot rendelnek, amelyek a téglalap alakú koordinátái.
A téglalap alakú koordináták eredete
A téglalap alakú koordinátákat eredetileg René Descartes (1596 és 1650) francia matematikus javasolta, ezért Cartesiannak hívják.
Ennek a Descartes-ötletnek a segítségével a sík és a tér pontokhoz hozzárendelnek számokat, így a geometriai ábrákhoz algebrai egyenlet kapcsolódik, és a klasszikus geometriai tételek algebrai módon bizonyíthatók. A derékszögű koordinátákkal analitikai geometria születik.
A derékszögű repülőgép
Ha egy síkban két merőleges vonalat választunk, amelyek az O pontban keresztezik egymást; és ha mindegyik vonalon kívül irányt és numerikus skálát rendelünk egymást követő egyenlő távolságra lévő pontok között, akkor létezik egy derékszögű rendszer vagy sík, amelyben a sík egyes pontjai rendezett két valós szám párral vannak összekapcsolva, amelyek vetületük vagy az X és Y tengelyek.
Az A = (3, 2) pontok; B = (- 2,3); C = (- 2, -3) és D = (3, -3) a derékszög síkjában látható, az alább látható módon:

2. ábra. Pontok a derékszögben. (Saját kidolgozás)
Vegye figyelembe, hogy a X és Y két tengely négy sávra osztja a síkot, kvadránsoknak nevezik. Az A pont az első negyedben, a B pont a második negyedben, a C pont a harmadik negyedben és a D pont a negyedik negyedben található.
Két pont közötti távolság
A derékszögű sík két A és B pontja közötti távolság a hozzájuk kapcsolódó szakasz hossza. Ezt a távolságot az alábbiak szerint lehet kiszámítani:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
A fenti képletet a Pitagorasi tétel alkalmazásával kapjuk meg.
Ha ezt a képletet alkalmazzuk a 2. ábra A, B pontjaira, akkor rendelkezünk
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Vagyis d (A, B) = 5,10 egység. Vegye figyelembe, hogy a távolságot vonalzóval történő mérés nélkül érték el, egy teljesen algebrai eljárást követtek.
Egy vonal analitikus kifejezése
A téglalap alakú koordináták lehetővé teszik az alapvető geometriai objektumok, például a pont és a vonal analitikus ábrázolását. Két A és B pont egyvonalat határoz meg. A vonal lejtését úgy határozzuk meg, hogy hányados legyen a B pont Y koordinátáinak különbsége, mínusz A, elosztva a B pont X koordinátáinak különbségével, mínusz A:
lejtő = (By - Ay) / (Bx - Ax)
A koordináták bármelyik P pontjának (x, y), amely az AB vonalhoz tartozik, azonos lejtéssel kell rendelkeznie:
lejtő = (y - nem) / (x - ax)
Az egyenlet, amelyet a lejtők egyenlőségével kapunk, az A és B pontokon áthaladó vonal analitikai vagy algebrai ábrázolása:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Ha az A és B értékre vesszük a 2. ábra téglalap alakú koordinátáit, akkor a következők állnak rendelkezésre:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
Ebben az esetben van egy vonal, amelynek negatív lejtõje -⅕, ami azt jelenti, hogy ha egy vonal egy pontján elhelyezzük és az x-koordinátát egy egységgel növelik, az y-koordináta 0,2 egységgel csökken.
A síkban az egyenlet írásának leggyakoribb módja az y koordináta törlése az x változó függvényében:
y = - (1/5) x + 13/5
Példák
1. példa
Analitikai módszerekkel szerezzük meg a C és A pont közötti távolságot, amely C = (-2, -3) és A = (3,2) téglalap alakú koordinátái.
A két pont közötti euklideszi távolság képlete így van:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
A megfelelő téglalap alakú koordinátákat helyettesítve:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
2. példa
Kapja meg a vonal egyenletét, amely áthalad a koordináták C pontján (-2, -3) és a koordináták P pontján (2, 0).
Először a CP egyenes meredekségét kapjuk:
lejtés = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Az általános téglalap alakú koordináták (x, y) bármely Q pontjának, amely a CP vonalhoz tartozik, azonos lejtéssel kell rendelkeznie:
lejtő = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Más szavakkal, a CP vonal egyenlete:
(y +3) / (x +2) = ¾
A CP sor egyenletének írására alternatív módszer az y megoldása:
y = ¾ x - 3/2
Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Mutassa be az y = - (1/5) x + 13/5 és az y = ¾ x - 3/2 egyenes metszéspontjának téglalap alakú koordinátáit.
Megoldás: Meghatározása szerint a két vonal metszéspontja azonos téglalap alakú koordinátákkal rendelkezik. Ezért az metszéspont y-koordinátái mindkét vonalon azonosak:
- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
ami a következő kifejezéshez vezet:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
a kapott frakciók összegének megoldása:
19/20 x = 41/10
Megoldás x-re:
x = 82/19 = 4,32
A metszéspont y értékének meghatározásához a kapott x értéket bármelyik sorban helyettesítik:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Ez azt jelenti, hogy az adott vonalak metszik az I = (4.32, 1.74) koordináták I. pontját.
2. gyakorlat
Mutassa be a téglalap alakú koordináták (3, 4) R pontján áthaladó kerület egyenletét, amelynek középpontja a koordináták kezdete.
Megoldás: Az R sugarat az R ponttól az O koordináták kezdőpontjáig (0, 0) lévő távolságnak kell tekinteni.
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Vagyis ez egy 5-ös sugarú kör, amelynek központja (0,0).
A kerület bármely P (x, y) pontjának ugyanolyan távolságra kell lennie 5 a középponttól (0, 0), hogy így legyen:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Vagyis:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
A négyzetgyök kiküszöbölése érdekében az egyenlőség mindkét tagja négyzet lesz, így kapva:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Mi a kerület egyenlete?
Ez a példa a négyszögletes koordinátarendszer teljesítményét szemlélteti, amely lehetővé teszi a geometriai objektumok, például a kerület meghatározását papír, ceruza és iránytű használata nélkül. A kért kerületet kizárólag algebrai módszerekkel határozták meg.
Irodalom
- Arfken G és Weber H. (2012). Matematikai módszerek a fizikusok számára. Átfogó útmutató. 7. kiadás. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
- Számítás cc. Megoldották a téglalap alakú koordináták problémáit. Helyreállítva: calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "derékszögű koordináták." A MathWorld-A Wolfram web-ről. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Derékszögű koordinátarendszer. Helyreállítva: en.wikipedia.com
