TÉGLALAP ALAKÚ KOORDINÁTÁK: PÉLDÁK ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA

A téglalap alakú koordináták vagy derékszögűek azok, amelyeket a három, X, Y, Z derékszög tengelyére merőlegesen kinyúló, háromdimenziós térben elhelyezkedő ponton kapunk.

A derékszög tengelyei egymásra merőleges, egymásra merőleges vonalak. A derékszögű koordinátarendszerben minden egyes térbeli ponthoz három valós számot rendelnek, amelyek téglalap alakú koordinátáik.

1. ábra: A P pont téglalap alakú koordinátái (Saját kidolgozás)

A sík egy háromdimenziós tér alterülete. Abban az esetben, ha egy síkon pontokat veszünk figyelembe, elegendő pár merőleges X, Y tengelyt választani derékszögű rendszerként. Ezután a sík egyes pontjaihoz két valós számot rendelnek, amelyek a téglalap alakú koordinátái.

A téglalap alakú koordináták eredete

A téglalap alakú koordinátákat eredetileg René Descartes (1596 és 1650) francia matematikus javasolta, ezért Cartesiannak hívják.

Ennek a Descartes-ötletnek a segítségével a sík és a tér pontokhoz hozzárendelnek számokat, így a geometriai ábrákhoz algebrai egyenlet kapcsolódik, és a klasszikus geometriai tételek algebrai módon bizonyíthatók. A derékszögű koordinátákkal analitikai geometria születik.

A derékszögű repülőgép

Ha egy síkban két merőleges vonalat választunk, amelyek az O pontban keresztezik egymást; és ha mindegyik vonalon kívül irányt és numerikus skálát rendelünk egymást követő egyenlő távolságra lévő pontok között, akkor létezik egy derékszögű rendszer vagy sík, amelyben a sík egyes pontjai rendezett két valós szám párral vannak összekapcsolva, amelyek vetületük vagy az X és Y tengelyek.

Az A = (3, 2) pontok; B = (- 2,3); C = (- 2, -3) és D = (3, -3) a derékszög síkjában látható, az alább látható módon:

2. ábra. Pontok a derékszögben. (Saját kidolgozás)

Vegye figyelembe, hogy a X és Y két tengely négy sávra osztja a síkot, kvadránsoknak nevezik. Az A pont az első negyedben, a B pont a második negyedben, a C pont a harmadik negyedben és a D pont a negyedik negyedben található.

Két pont közötti távolság

A derékszögű sík két A és B pontja közötti távolság a hozzájuk kapcsolódó szakasz hossza. Ezt a távolságot az alábbiak szerint lehet kiszámítani:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

A fenti képletet a Pitagorasi tétel alkalmazásával kapjuk meg.

Ha ezt a képletet alkalmazzuk a 2. ábra A, B pontjaira, akkor rendelkezünk

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Vagyis d (A, B) = 5,10 egység. Vegye figyelembe, hogy a távolságot vonalzóval történő mérés nélkül érték el, egy teljesen algebrai eljárást követtek.

Egy vonal analitikus kifejezése

A téglalap alakú koordináták lehetővé teszik az alapvető geometriai objektumok, például a pont és a vonal analitikus ábrázolását. Két A és B pont egyvonalat határoz meg. A vonal lejtését úgy határozzuk meg, hogy hányados legyen a B pont Y koordinátáinak különbsége, mínusz A, elosztva a B pont X koordinátáinak különbségével, mínusz A:

lejtő = (By - Ay) / (Bx - Ax)

A koordináták bármelyik P pontjának (x, y), amely az AB vonalhoz tartozik, azonos lejtéssel kell rendelkeznie:

lejtő = (y - nem) / (x - ax)

Az egyenlet, amelyet a lejtők egyenlőségével kapunk, az A és B pontokon áthaladó vonal analitikai vagy algebrai ábrázolása:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Ha az A és B értékre vesszük a 2. ábra téglalap alakú koordinátáit, akkor a következők állnak rendelkezésre:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Ebben az esetben van egy vonal, amelynek negatív lejtõje -⅕, ami azt jelenti, hogy ha egy vonal egy pontján elhelyezzük és az x-koordinátát egy egységgel növelik, az y-koordináta 0,2 egységgel csökken.

A síkban az egyenlet írásának leggyakoribb módja az y koordináta törlése az x változó függvényében:

y = - (1/5) x + 13/5

Példák

1. példa

Analitikai módszerekkel szerezzük meg a C és A pont közötti távolságot, amely C = (-2, -3) és A = (3,2) téglalap alakú koordinátái.

A két pont közötti euklideszi távolság képlete így van:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

A megfelelő téglalap alakú koordinátákat helyettesítve:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

2. példa

Kapja meg a vonal egyenletét, amely áthalad a koordináták C pontján (-2, -3) és a koordináták P pontján (2, 0).

Először a CP egyenes meredekségét kapjuk:

lejtés = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Az általános téglalap alakú koordináták (x, y) bármely Q pontjának, amely a CP vonalhoz tartozik, azonos lejtéssel kell rendelkeznie:

lejtő = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Más szavakkal, a CP vonal egyenlete:

(y +3) / (x +2) = ¾

A CP sor egyenletének írására alternatív módszer az y megoldása:

y = ¾ x - 3/2

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Mutassa be az y = - (1/5) x + 13/5 és az y = ¾ x - 3/2 egyenes metszéspontjának téglalap alakú koordinátáit.

Megoldás: Meghatározása szerint a két vonal metszéspontja azonos téglalap alakú koordinátákkal rendelkezik. Ezért az metszéspont y-koordinátái mindkét vonalon azonosak:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

ami a következő kifejezéshez vezet:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

a kapott frakciók összegének megoldása:

19/20 x = 41/10

Megoldás x-re:

x = 82/19 = 4,32

A metszéspont y értékének meghatározásához a kapott x értéket bármelyik sorban helyettesítik:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Ez azt jelenti, hogy az adott vonalak metszik az I = (4.32, 1.74) koordináták I. pontját.

2. gyakorlat

Mutassa be a téglalap alakú koordináták (3, 4) R pontján áthaladó kerület egyenletét, amelynek középpontja a koordináták kezdete.

Megoldás: Az R sugarat az R ponttól az O koordináták kezdőpontjáig (0, 0) lévő távolságnak kell tekinteni.

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Vagyis ez egy 5-ös sugarú kör, amelynek központja (0,0).

A kerület bármely P (x, y) pontjának ugyanolyan távolságra kell lennie 5 a középponttól (0, 0), hogy így legyen:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Vagyis:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

A négyzetgyök kiküszöbölése érdekében az egyenlőség mindkét tagja négyzet lesz, így kapva:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Mi a kerület egyenlete?

Ez a példa a négyszögletes koordinátarendszer teljesítményét szemlélteti, amely lehetővé teszi a geometriai objektumok, például a kerület meghatározását papír, ceruza és iránytű használata nélkül. A kért kerületet kizárólag algebrai módszerekkel határozták meg.

Irodalom

Arfken G és Weber H. (2012). Matematikai módszerek a fizikusok számára. Átfogó útmutató. 7. kiadás. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Számítás cc. Megoldották a téglalap alakú koordináták problémáit. Helyreállítva: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "derékszögű koordináták." A MathWorld-A Wolfram web-ről. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Derékszögű koordinátarendszer. Helyreállítva: en.wikipedia.com

TÉGLALAP ALAKÚ KOORDINÁTÁK: PÉLDÁK ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2026