NULLSZÖG: MEGHATÁROZÁS ÉS JELLEMZŐK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2026

A nullszög az, amelynek a mértéke 0, mind fokokban, mind a radiánban, vagy egy másik szögmérési rendszer. Ezért nincs szélessége vagy nyílása, hasonlóan ahhoz, amely két párhuzamos vonal között van kialakítva.

Bár a meghatározása elég egyszerűnek tűnik, a nullszög nagyon hasznos sok fizikai és műszaki alkalmazásban, valamint a navigációban és a tervezésben is.

1. ábra. Az autó sebessége és gyorsulása között nulla szög van, tehát az autó gyorsabban halad. Forrás: Wikimedia Commons.

Vannak fizikai mennyiségeket kell igazítani párhuzamosan, hogy bizonyos hatások: ha egy autó mozog egy egyenes vonal mentén autópálya között a sebességvektor v és gyorsulásvektor egy van 0 °, az autó mozog gyorsabban és gyorsabban, de ha az autó fékek, gyorsulása ellentétes a sebességével (lásd 1. ábra).

Az alábbi ábra különféle szöget mutat be, beleértve a jobb oldali nullszöget is. Mint látható, a 0º-szögnek nincs szélessége vagy nyitása.

2. ábra: Szögtípusok, beleértve a nullszöget is. Forrás: Wikimedia Commons. Orias.

Példák nullszögekre

A párhuzamos vonalak ismert módon nulla szöget képeznek egymással. Ha vízszintes vonallal rendelkezik, akkor párhuzamos a derékszögű koordinátarendszer x tengelyével, ezért annak dőlésszöge 0. Más szóval, a vízszintes vonalak nulla lejtőn vannak.

3. ábra: A vízszintes vonalak nulla lejtőn vannak. Forrás: F. Zapata.

A nullszög trigonometrikus aránya szintén 0, 1 vagy a végtelen. Ezért a nullszög sok olyan fizikai helyzetben van jelen, amelyek vektorokkal végzett műveleteket foglalnak magukban. Ezek az okok:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sek 0º = 1

-cukor 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

És hasznos lesz néhány olyan helyzet elemzése, amelyekben a nullszög jelenléte alapvető szerepet játszik:

- A nullszög hatása a fizikai nagyságokra

Vektor hozzáadása

Ha két vektor párhuzamos, akkor a köztük lévő szög nulla, amint az a fenti 4a ábrán látható. Ebben az esetben mindkettő összegét egymás után helyezzük el, és az összegvektor nagysága a kiegészítések magnitúdóinak összege (4b. Ábra).

4. ábra: A párhuzamos vektorok összege, ebben az esetben a köztük lévő szög nullszög. Forrás: F. Zapata.

Ha két vektor párhuzamos, akkor a köztük lévő szög nulla, amint az a fenti 4a ábrán látható. Ebben az esetben mindkettő összegét egymás után helyezzük el, és az összegvektor nagysága a kiegészítések magnitúdóinak összege (4b ábra)

Nyomaték vagy nyomaték

A nyomaték vagy nyomaték okozza a test forgását. Ez az alkalmazott erő nagyságától és alkalmazási módjától függ. Nagyon reprezentatív példa a csavarkulcs az ábrán.

A legjobb fordulási hatás elérése érdekében a csavarkulcsra merőlegesen, akár felfelé, akár lefelé hajtják végre az erőt, de nem várható el forgás, ha az erő párhuzamos a fogantyúval.

5. ábra. Ha a helyzet és az erővektorok közötti szög nulla, akkor nem keletkezik nyomaték, ezért nincs centrifugáló hatás. Forrás: F. Zapata.

Matematikailag az τ nyomatékot az 5. ábrán szereplő r (helyzetvektor) és F (erővektor) vektorok szorzattermékeként vagy kereszttermékeként határozzuk meg:

τ = r x F

A nyomaték nagysága:

τ = rF sin θ

Θ az r és F közötti szög. Ha sin θ = 0, a nyomaték nulla, ebben az esetben θ = 0º (vagy 180º).

Elektromos mező áramlása

Az elektromos mező fluxusa egy skaláris mennyiség, amely az elektromos mező intenzitásától, valamint annak a felületnek a tájolásától függ, amelyen áthalad.

A 6. ábrán van egy A kör alakú felület, amelyen az E elektromos mezővezetékek átmennek. A felület tájolását az n normál vektor adja meg. A bal oldalon a mező és a normál vektor önkényes acute szöget képeznek, közepén nullszöget képeznek egymással, jobb oldalon merőlegesek.

Ha E és n merőlegesek, a mezővonalak nem keresztezik a felületet, ezért a fluxus nulla, míg amikor az E és n szög nulla, a vonalak teljes egészében áthaladnak a felületen.

Az elektromos mező fluxusának görög letter betűvel történő ábrázolása (olvassuk el „fi”), az egységes mező meghatározása az ábra szerint, így néz ki:

Φ = E • n A

A mindkét vektor közepén lévő pont jelöli a pont- vagy skaláris szorzatot, amelyet alternatívaként a következőképpen határozunk meg:

Φ = E • n A = EAcosθ

A betű fölött a vastag betű és a nyilak képezik a különbséget a vektor és annak nagysága között, amelyet normál betűk jelölnek. Mivel cos 0 = 1, a fluxus maximális, ha E és n párhuzamosak.

6. ábra. Az elektromos mező fluxusa a felület és az elektromos mező közötti tájolástól függ. Forrás: F. Zapata.

Feladatok

- 1. Feladat

Két P és Q erő egyszerre hat az X pontobjektumra, mindkét erő kezdetben θ szöget képez közöttük. Mi történik az eredő erő nagyságával, ha θ nullára csökken?

7. ábra: A testre ható két erő közötti szög csökken, amíg meg nem szűnnek, és ebben az esetben a kapott erő nagysága megkapja a maximális értékét. Forrás: F. Zapata.

Megoldás

A keletkező Q + P erő fokozatosan növekszik, amíg a maximális nem lesz, amikor Q és P teljesen párhuzamosak (7. ábra jobbra).

- 2. gyakorlat

Jelölje meg, hogy a nullszög a következő trigonometrikus egyenlet megoldása:

Megoldás

A trigonometrikus egyenlet olyan, amelyben az ismeretlen része a trigonometrikus arány érvének. A javasolt egyenlet megoldásához kényelmes a kétszög szövő koszinuszának képlete:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Mivel így a bal oldali argumentum 2x helyett x lesz. Így:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Másrészt cos ² x + sin ² x = 1, tehát:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

A cos ² x kifejezés érvényét veszti és megmarad:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Most a következő változó megváltozik: sinx = u és az egyenlet lesz:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Kinek a megoldásai: u = 0 és u = -4. A változás visszatérésével két lehetőség lenne: sin x = 0 és sinx = -4. Ez az utolsó megoldás nem életképes, mert bármely szög szinusza -1 és 1 között van, tehát az első alternatíva marad:

sin x = 0

Ezért x = 0º megoldás, de minden olyan szög, amelynek szinusza 0, szintén működik, amely szintén lehet 180º (π radián), 360º (2 π radián) és a megfelelő negatívok is.

A trigonometrikus egyenlet leggyakoribb megoldása: x = kπ, ahol k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k egész szám.

Irodalom

1. Baldor, A. 2004. Sík- és űrgeometria trigonometria segítségével. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 3. kötet. Részecskerendszerek. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 5. kötet. Elektromos interakció. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. A szögek típusai. Helyreállítva: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometria és analitikus geometria. McGraw Hill Interamericana.