EGYSZÖGLETŰ HÁROMSZÖG: JELLEMZŐK, KÉPLET ÉS TERÜLET, SZÁMÍTÁS - MATEMATIKA - 2026

Az egyenlő szélességű háromszög három oldalú sokszög, ahol kettőnek azonos a mérete, a harmadik oldalának pedig más a mérete. Ezt az utolsó oldalt alapnak nevezik. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően ezt a nevet kapta, amely görögül azt jelenti: „egyenlő lábak”

A háromszögek sokszögek, amelyeket geometria szempontjából a legegyszerűbbnek tekintnek, mert három oldalból, három szögből és három csúcsból állnak. Ezek azok, amelyeknek a többi poligonnal szemben a legkevesebb oldala és szöge van, ezek használata azonban nagyon széles.

Az egyenlő szögű háromszögek jellemzői

Az egyenlő szárú háromszöget az oldalának mértékeként, mint paramétert osztályoztuk, mivel két oldala egybeesik (azonos hosszúságúak).

A belső szögek amplitúdója alapján az egyenlő szárú háromszögek a következők szerint vannak besorolva:

• Egyszögletű derékszögű háromszög: két oldala egyenlő. Az egyik sarok egyenes (90 ^vagy), és a többi jelentése a azonos (45 ^vagy mindegyik)
• Az egyenlő szárú tompított háromszög: annak két oldala egyenlő. Az egyik szög tompa (> 90 ^vagy).
• Egyszögletű akut háromszög: két oldala egyenlő. Minden szög éles (<90 ^vagy), ahol mindkettő azonos.

Alkatrészek

• A medián: egy olyan vonal, amely az egyik oldal közepétől kezdődik és az ellenkező csúcsot érinti. A három medián találkozik egy olyan helyen, amelyet úgy nevezzük, hogy a barycenter vagy centrid.
• A felező: egy sugár, amely az egyes csúcsok szöget osztja két azonos méretű szögre. Ez az oka a szimmetria tengelyének, és az ilyen típusú háromszögeknek csak egy van.
• A felező: a háromszög oldalára merőleges szegmens, amelynek a közepén van eredete. Három mediánus van egy háromszögben, és találkoznak egy olyan ponton, amelyet úgy hívnak, hogy a mérőmérője van.
• Magasság: ez a vonal halad a csúcsról az ellenkező oldalra, és ez a vonal merőleges is az oldalra. Az összes háromszögnek három magassága van, amelyek egybeesnek egy olyan ponton, amelyet az ortocenternek hívnak.

Tulajdonságok

Az egyenlő szárú háromszögeket azért definiálják vagy azonosítják, mert számos tulajdonsággal rendelkeznek, amelyek ábrázolják őket, a nagy matematikusok által javasolt tételekből származnak:

Belső szögek

A belső szögek összege mindig 180 ^°.

Az oldalak összege

A két oldal mértékének összegének mindig nagyobbnak kell lennie, mint a harmadik oldal mérete, a + b> c.

Kongruent oldalak

Az egyenlő szögű háromszögeknek két oldala van azonos méretű vagy hosszúságú; vagyis kongruensek és a harmadik oldal különbözik tőlük.

Csökkent szögek

Az Egyszögletű háromszögeket is nevezzük háromszögekként háromszögekként, mert két szögük azonos, egymással megegyező méretű. Ezek a háromszög alján helyezkednek el, szemben az azonos hosszúságú oldalakkal.

Emiatt előállt a tétel, amely kimondja:

"Ha egy háromszögnek két összehangolt oldala van, akkor az ezekkel szemben lévő szögek is azonosak lesznek." Ezért ha egy háromszög egyenlő szögű, az alapjainak szögei megegyeznek.

Példa:

Az alábbi ábra az ABC háromszöget mutatja. Ha a felezőt a B szög csúcsától az alaphoz húzza, a háromszöget két egyenlő háromszögre osztják: BDA és BDC:

Ily módon a B csúcs szögét szintén két egyenlő szögre osztottuk. A felező most a közös oldal (BD) e két új háromszög között, míg az AB és a BC oldal a kongruens oldalak. Így van egy oldal-, szög-, oldalsó (LAL) kongruencia eset.

Ez azt mutatja, hogy az A és C csúcsok szögei azonosak, és azt is be lehet mutatni, hogy mivel a BDA és a BDC háromszögek egybeesnek, az AD és a DC oldalak szintén azonosak.

A magasság, a medián, a felező és a felező egybeesnek

Az alaptól eltérő csúcstól az egyenlő szélességű háromszög alappontjának középpontjáig húzott vonal ugyanakkor a magasság, a középpont és a felező, valamint a felező az alap ellentétes szögéhez viszonyítva.

Ezek a szegmensek egybeesnek abban, amelyik reprezentálja őket.

Példa:

Az alábbi ábra az ABC háromszöget mutatja egy M középpontjával, amely az alapot két BM és CM szegmensre osztja.

Ha egy szegmenst húzunk az M ponttól az ellentétes csúcsig, akkor definíció szerint megkapjuk az AM mediánt, amely az A csúcsra és a BC oldalra vonatkozik.

Mivel az AM szegmens osztja az ABC háromszöget két egyenlő háromszögre, AMB és AMC, ez azt jelenti, hogy a kongruencia oldal, szög, oldal esetére lesz szükség, ezért az AM szintén a BÂC felezője.

Ezért a felező mindig megegyezik a mediánnal és fordítva.

Az AM szegmens olyan szöget képez, amely ugyanazzal a mérettel rendelkezik az AMB és AMC háromszögeknél; vagyis kiegészítik oly módon, hogy mindegyik mértéke a következő lesz:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^vagy

2 _* Med. (AMC) = 180 ^vagy

Med. (AMC) = 180 ^vagy ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^vagy

Ismert, hogy az AM szegmens által alkotott szögek a háromszög alapjához képest helyesek, ami azt jelzi, hogy ez a szegmens teljesen merőleges az alapra.

Ezért a magasságot és a felezőt ábrázolja, tudva, hogy M a középpont.

Ezért az AM sor:

• BC magasságán ábrázolja.
• Közepes méretű.
• A BC felezőjében található.
• Ez a  csúcsszög felezője

Relatív magasságok

Az egyenlő oldalakhoz viszonyított magasságok ugyanolyan méréssel rendelkeznek.

Mivel az egyenlő szárú háromszögnek két azonos oldala van, a két magasságuk is azonos lesz.

Ortocenter, barycenter, stimulátor és egybeeső körkör

Mivel a magasságot, a középső részt, a felezőt és a felezőt az alaphoz viszonyítva egyidejűleg ugyanaz a szegmens jelöli, az orthocenter, a középső barycenter és a circumcenter kollineáris pontok lesznek, vagyis ugyanazon a vonalon lesznek:

Hogyan lehet kiszámítani a kerületet?

A sokszög kerületét az oldalak összeadásával számítják ki.

Mivel ebben az esetben az egyenlő szélességű háromszögnek két oldala van azonos méretű, kerületét a következő képlettel kell kiszámítani:

P = 2 _* (a oldal) + (b oldal).

Hogyan lehet kiszámítani a magasságot?

A magasság az alapra merőleges vonal, a háromszöget két egyenlő részre osztja, mivel az az ellenkező csúcsra nyúlik.

A magasság az ellenkező lábat (a), az alap közepét (b / 2) a szomszédos lábat, az „a” oldal pedig a hipotenuust jelöli.

A Pitagorasi tétel segítségével a magasság értéke meghatározható:

a ² + b ² = c ²

Ahol:

a ² = magasság (h).

b ² = b / 2.

c ² = a oldal.

Helyettesítve ezeket az értékeket a Pitagóra tételben, és megoldva a magasságot, akkor:

h ² + (b / 2) ² = a ²

H ² + b ² /4 = a ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Ha ismert a szomszédos oldalak által alkotott szög, akkor a magasságot a következő képlettel lehet kiszámítani:

Hogyan lehet kiszámítani a területet?

A háromszögek területét mindig ugyanazzal a képlettel kell kiszámítani, szorozva az alap magasságával és osztva kettővel:

Vannak olyan esetek, amikor csak a háromszög két oldalának és a közöttük kialakított szögnek a mérése ismert. Ebben az esetben a terület meghatározásához a trigonometrikus arányokat kell alkalmazni:

Hogyan lehet kiszámítani a háromszög alapját?

Mivel az egyenlő szárú háromszögnek két azonos oldala van, az alap értékének meghatározásához legalább a magasság mértékét vagy annak egyik szögét meg kell tudnia.

A magasság ismeretében a Pitagorasi tételt használjuk:

a ² + b ² = c ²

Ahol:

a ² = magasság (h).

c ² = a oldal.

b ² = b / 2, ismeretlen.

Elkülönítjük b ² -et a képletből, és rendelkezünk:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Mivel ez az érték a bázis felének felel meg, azt meg kell szorozni kettővel, hogy az egyenlő szárú háromszög alapjának teljes méretét megkapjuk:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

Abban az esetben, ha csak az egyenlő oldalának értéke és a köztük lévő szög ismert, trigonometria kerül alkalmazásra, és a csúcsotól egy vonalig húz egy vonalat az alaphoz, amely osztja az egyenlő szárú háromszöget két jobb háromszögre.

Ily módon az alap felét kiszámítják:

Az is lehetséges, hogy csak a csúcs magasságának és szögének az értéke, amely az alappal szemben van. Ebben az esetben a trigonometria segítségével az alap meghatározható:

Feladatok

Első gyakorlat

Keresse meg az ABC egyenlő szárú háromszög területét, tudva, hogy annak két oldala 10 cm, a harmadik oldala pedig 12 cm.

Megoldás

A háromszög területének meghatározásához ki kell számítani a magasságot a Pythagorai tételhez tartozó terület képlettel, mivel az egyenlő oldalok között kialakított szög értéke nem ismert.

Az egyenlő szárú háromszög alábbi adatai vannak:

• Egyenlő oldalak (a) = 10 cm.
• Alap (b) = 12 cm.

Az értékeket a képlet helyettesíti:

Második gyakorlat

Egy egyenlő szélességű háromszög két egyenlő oldalának hossza 42 cm, ezen oldalak összekapcsolása 130 ^{vagy 40} ° -os szöget képez. Határozzuk meg a harmadik oldal értékét, a háromszög területét és a kerületet.

Megoldás

Ebben az esetben az oldalak és a köztük lévő szögek mérése ismert.

A hiányzó oldal, azaz a háromszög alapjának értékének megismeréséhez húzzunk rá egy merőleges vonalat, amely a szöget két egyenlő részre osztja, egyenként mindegyik képződött derékszögű háromszögre.

• Egyenlő oldalak (a) = 42 cm.
• Szög (Ɵ) = 130 ^o

Most trigonometria segítségével kiszámoljuk a bázis felének értékét, amely megfelel a hipotenusz felének:

A terület kiszámításához meg kell ismerni annak a háromszögnek a magasságát, amely trigonometria vagy a Pythagorai tétel alapján kiszámítható, most, hogy az alap értéke már meghatározva volt.

Trigonometria alapján ez lesz:

A kerületet kiszámítják:

P = 2 _* (a oldal) + (b oldal).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Harmadik gyakorlat

Számítsuk ki az egyenlő szárú háromszög belső szögeit, tudva, hogy az alap szöge  = 55 ^vagy

Megoldás

A két hiányzó szög (Ê és Ô) megtalálásához meg kell emlékezni a háromszögek két tulajdonságára:

• Minden háromszög belső szögeinek összege mindig = 180 ^vagy:

 + Ê + Ô = 180 ^vagy

• Egy egyenlő szélességű háromszögben az alap szögei mindig azonosak, azaz ugyanazzal a mérettel rendelkeznek, tehát:

 = Ô

Ê = 55 ^vagy

A Ê szög értékének meghatározásához az első szabályban helyettesítjük a többi szög értékét, és solve-re megoldjuk:

55 ^vagy + 55 ^vagy + Ô = 180 ^vagy

110 ^vagy + Ô = 180 ^vagy

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Irodalom

1. Álvarez, E. (2003). A geometria elemei: számos gyakorlattal és az iránytű geometriájával. Medellini Egyetem.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Műszaki rajz: tevékenységi jegyzetfüzet.
3. Angel, AR (2007). Elemi algebra. Pearson oktatás.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
6. José Jiménez, LJ (2006). 2. matematika
7. Tuma, J. (1998). Mérnöki matematika kézikönyv. Wolfram MathWorld.