VALÓSZÍNŰSÉGI AXIÓMÁK: TÍPUSOK, MAGYARÁZAT, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - DUDAS - 2025

A valószínűség axiómái a valószínűség elméletére utaló matematikai állítások, amelyek nem érdemelnek bizonyítást. Az axiómákat 1933-ban Andrej Kolmogorov (1903-1987) orosz matematikus hozta létre a Valószínűség elmélete alapjaiban, és megalapozta a valószínűség matematikai vizsgálatát.

Egy bizonyos véletlenszerű experiment kísérlet végrehajtásakor az E mintaterület a kísérlet összes lehetséges eredménye, az eseményeknek is nevezett halmaz. Minden eseményt A-val jelölnek, és P (A) annak bekövetkezésének valószínûsége. Aztán Kolmogorov megállapította, hogy:

1. ábra: A valószínűség axiómái lehetővé teszik a szerencsejátékok, például a rulett ütésének valószínűségének kiszámítását. Forrás: Pixabay.

- 1. axióma (nem negativitás): az A esemény valószínűsége mindig pozitív vagy nulla, P (A) ≥0. Ha egy esemény valószínűsége 0, akkor lehetetlen eseménynek nevezzük.

- 2. axióma (bizonyosság): amikor valamely esemény tartozik az E-hez, annak előfordulásának valószínűsége 1, amelyet P (E) = 1-ként fejezhetünk ki. Ezt bizonyos eseménynek nevezik, mivel egy kísérlet elvégzésekor minden bizonnyal van eredmény.

- Axióma 3 (felül): abban az esetben, két vagy több nem kompatibilis események kettesével, az úgynevezett A ₁, A ₂, A ₃…, a valószínűsége, hogy az esemény egy ₁, plusz egy ₂ plus A _{3 lesz} fordulnak elő, és így tovább egymást követve ez az egyes események valószínűségének összege.

Ezt a következőképpen fejezik ki: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

2. ábra: A figyelemre méltó orosz matematikus Andrei Kolmogorov (1903-1987), aki megalapozta az axiomatikus valószínűséget. Forrás: Wikimedia Commons.

Példa

A valószínűség axiómáit széles körben alkalmazzák számos alkalmazásban. Például:

Egy karakterláncot vagy ragasztót dobnak a levegőbe, és amikor leesik a padlóra, akkor lehetősége leszállni a felfelé mutató (U) vagy a lefelé (D) ponttal (más lehetőségeket nem fogunk mérlegelni). A kísérlet mintaterülete ezekből az eseményekből áll, majd E = {U, D}.

3. ábra. A rúd dobásának kísérletében két különbözõ valószínûségû esemény fordul elő: leszállás a hegy felfelé vagy a föld felé. Forrás: Pixabay.

Az axiómák alkalmazásával:

Ha ugyanolyan valószínű, hogy felfelé vagy lefelé landol, P (U) = P (D) = ½ (1. axióma). A rajzszerkezet felépítése és kialakítása azonban valószínűleg nagyobb eséllyel esik le. Például előfordulhat, hogy P (U) = ¾, míg P (D) = ¼ (1. axióma).

Vegye figyelembe, hogy mindkét esetben a valószínűségek összege 1-et ad. Az axiómák azonban nem jelzik, hogy a valószínűségeket hogyan lehet hozzárendelni, legalábbis nem teljesen. Azt állítják, hogy 0 és 1 közötti számok, és mint ebben az esetben, az összes összege 1.

A valószínűség hozzárendelésének módjai

A valószínűség axiómái nem alkalmasak a valószínűség értékének hozzárendelésére. Ehhez három lehetőség van, amelyek kompatibilisek az axiómákkal:

Laplace szabálya

Minden eseményhez ugyanazt a valószínűséget rendelik be, majd a bekövetkezés valószínűségét a következőképpen kell meghatározni:

Például milyen valószínűséggel ász húzódik egy francia kártyacsomagból? A pakli 52 kártyával rendelkezik, mindegyik öltönyből 13 és 4 öltönyből áll. Minden öltönynek 1 ász van, tehát összesen 4 ász van:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplace szabálya csak a véges mintaterületekre korlátozódik, ahol minden esemény egyformán valószínű.

Relatív gyakoriság

Itt a kísérletnek megismételhetőnek kell lennie, mivel a módszer nagy számú ismétlés elvégzésén alapul.

Tegyük meg a experiment kísérlet i ismétléseit, amelyekből azt találjuk, hogy n egy adott A esemény bekövetkezésének száma, majd az esemény valószínűsége a következő:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Ahol n / i az esemény relatív gyakorisága.

A P (A) ilyen meghatározása kielégíti Kolmogorov axiómáit, de azzal a hátránnyal jár, hogy a megfelelő valószínűség érdekében sok tesztet kell elvégezni.

Szubjektív módszer

Egy személy vagy embercsoport beleegyezik abba, hogy valószínűséget rendeljen hozzá egy eseményhez saját megítélése alapján. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy különböző emberek különböző valószínűségeket rendelhetnek ugyanazon eseményhez.

A feladat megoldódott

A 3 becsületes érme egyidejű dobásának kísérletében szerezze be a leírt események valószínűségét:

a) 2 fej és egy farok.

b) 1 fej és két farok

c) 3 kereszt.

d) Legalább 1 arc.

Megoldás

A fejeket C jelöli, a farokát X jelöli. De kétféle módon lehet két fejet és farkot kapni. Például az első két érme fejtheti le a fejét, a harmadik pedig a farkát. Vagy az első fejekkel eshet, a második farok és a harmadik fejek. És végül az első lehet farok és a fennmaradó fejek.

A kérdések megválaszolásához meg kell ismerni az összes lehetőséget, amelyeket egy fadiagramnak vagy valószínűségi fának nevezett eszköz ismertet:

4. ábra. Fa diagram három becsületes érme egyidejű dobására. Forrás: F. Zapata.

Az a valószínűsége, hogy bármely érme feje lesz, ½, ugyanez igaz a farkakra, mivel az érme őszinte. A jobb oldali oszlop felsorolja a dobás lehetőségeit, azaz a mintaterület.

A mintaterületből a kért eseményre reagáló kombinációk kerülnek kiválasztásra, mivel az arcok megjelenési sorrendje nem fontos. Három kedvező esemény van: CCX, CXC és XCC. Az események valószínűsége a következő:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Ugyanez történik a CXC és az XCC eseményekkel, mindegyiknek 1/8 valószínűsége van a bekövetkezésnek. Ezért a pontosan 2 fej megszerzésének valószínűsége az összes kedvező esemény valószínűségének összege:

P (kétoldalas) = ​​1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

B. Megoldás

Az előzőhöz hasonló probléma annak a valószínűségnek a felmérése, hogy pontosan két kereszt fordul elő, a mintaterületről három kedvező esemény van: CXX, XCX és XXC. Így:

P (2 kereszt) = 3/8 = 0,375

C. Megoldás

Intuitív módon tudjuk, hogy 3 farok (vagy 3 fej) megszerzésének valószínűsége alacsonyabb. Ebben az esetben a kívánt esemény a XXX oszlop, a jobb oszlop végén, amelynek valószínűsége:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

D. Megoldás

Legalább 1 arcot kell beszerezni, ez azt jelenti, hogy 3 arc, 2 arc vagy 1 arc kijönhet. Az egyetlen ezzel összeegyeztethetetlen esemény az, amelyben 3 farok jön ki, amelynek valószínűsége 0,125. Ezért a kívánt valószínűség:

P (legalább 1 fej) = 1 - 0,125 = 0,875.

Irodalom

1. Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum sorozat: Valószínűség. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. A valószínűség elmélete. Szerkesztői Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.