KONGRUENCIA: ÖSSZEHANGOLT SZÁMOK, KRITÉRIUMOK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

A geometria kongruenciája azt mondja, hogy ha két sík alakja azonos alakú és méretű, akkor ezek megegyeznek. Például, két szegmens egybeesik, ha hossza megegyezik. Hasonlóképpen, a kongruens szögek ugyanolyan mértékűek, noha a síkban nem azonos módon vannak orientálva.

A "kongruencia" kifejezés a latin kongruenciából származik, amelynek jelentése a levelezés. Így két összehangolt ábra pontosan megfelel egymásnak.

1. ábra: Az ábrán az ABCD és az A'B'C'D négyszögek egybevágók: oldaluk ugyanolyan méretű, mint a belső szögek. Forrás: F. Zapata.

Például, ha egymásba vetjük a képen látható négyszöget, akkor azt találjuk, hogy egymással egybeesnek, mivel oldaluk elrendezése azonos, és ugyanazokat mérik.

Ha az ABCD és az A'B'C'D négyszögeket egymásra helyezik, a számok pontosan megegyeznek. Az egybeeső oldalakat homológ vagy megfelelő oldalaknak nevezzük, és az ≡ szimbólumot használjuk az összehangolás kifejezésére. Tehát mondhatjuk, hogy az ABCD ≡ A'B'C'D '.

Összehúzódási kritériumok

A következő jellemzők jellemzőek az összehangolt sokszögekre:

- Ugyanaz a forma és méret.

-Szögeik azonos mérése.

- Ugyanaz a méret mindkét oldalán.

Abban az esetben, ha két kérdéses sokszög szabályos, vagyis minden oldal és belső szög azonos, a kongruencia biztosított, ha az alábbi feltételek bármelyike ​​teljesül:

- Az oldalak megegyeznek

- Az apotemok ugyanolyan mértékűek

-A poligonok sugara azonos

A szabályos sokszög apotémája a középpont és az egyik oldal közötti távolság, míg a sugara megegyezik a középpont és az ábra csúcsa vagy sarka közötti távolsággal.

Az összehúzódási kritériumokat gyakran használják, mert oly sok alkatrészt és darabot gyártanak tömeggyártásban, és azonos alakúaknak és méretűeknek kell lenniük. Ilyen módon szükség esetén könnyen cserélhetők, például anyák, csavarok, lemezek vagy az utcán található talaj burkolókövei.

2. ábra. Az utca útburkoló kövei egymással megegyező alakúak, mivel alakjuk és méreteik pontosan ugyanazok, bár a tájolás megváltozhat a padlón. Forrás: Pixabay.

Összehúzódás, identitás és hasonlóság

Vannak geometriai fogalmak a kongruenciával kapcsolatban, például azonos ábrák és hasonló ábrák, amelyek nem feltétlenül jelentik az ábrák kongrugenciáját.

Vegye figyelembe, hogy a kongruensek azonosak, azonban az 1. ábrán látható négyszögek eltérő módon lehetnek a síkban orientálva, és továbbra is kongrugensek maradnak, mivel a különböző tájolás nem változtatja meg oldaluk méretét vagy szögeit. Ebben az esetben már nem lennének azonosak.

A másik koncepció az ábrák hasonlósága: két sík alak hasonló, ha azonos alakúak és belső szögeik azonosak, bár az ábrák mérete eltérő lehet. Ebben az esetben a számadatok nem egybevágók.

Példák az összehangolásra

- A szögek összehúzódása

Mint az elején jeleztük, a kongruens szögeknek ugyanaz a mérete. Számos módszer áll rendelkezésre az összehangolt szögek elérésére:

1. példa

Két közös vonallal rendelkező vonal két szöget határoz meg, amelyeket a csúcs miatt ellentétes szögeknek hívnak. Ezeknek a szögeknek ugyanaz a mérete, tehát kongrugensek.

3. ábra. A csúcs egymással ellentétes szögei. Forrás: Wikimedia Commons.

2. példa

Két párhuzamos vonal és egy t vonal létezik, amelyek mindkettőt metszik. Mint az előző példában, amikor ez a vonal keresztezi a párhuzamokat, kongrugens szöget hoz létre, mindegyik egyenesen a jobb oldalon, a másik két, a bal oldalon. Az ábra a t vonaltól jobbra lévő α és α ₁ ábráit mutatja, amelyek egybevágók.

4. ábra. Az ábrán látható szögek megegyeznek. Forrás: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

3. példa

Egy párhuzamos ábrán négy belső szög van, amelyek egymással egybevágnak. Ezek az ellentétes csúcsok között helyezkednek el, amint az a következő ábrán látható, ahol a két zöld szög megegyezik, valamint a két szög piros.

5. ábra. A párhuzamos ábra belső szögei egymáshoz képest egybeesnek. Forrás: Wikimedia Commons.

- Háromszögek összehúzódása

Két azonos alakú és méretű háromszög egybeesik. Ennek igazolására három kritériumot lehet megvizsgálni az összeegyeztethetőség szempontjából:

- LLL kritérium: a háromszögek három oldalának azonos méretei vannak, tehát L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ és L ₃ = L' _3.

6. ábra. Példa olyan összehangolt háromszögekre, amelyeknek oldalai azonosak. Forrás: F. Zapata.

- ALA és AAL kritériumok: a háromszögeknek két azonos belső szöge van, és a szögek közötti oldal ugyanazzal a mérettel rendelkezik.

7. ábra: A háromszög kongruenciájának ALA és AAL kritériumai. Forrás: Wikimedia Commons.

- LAL kritérium: az oldal két oldala azonos (megfelelő), és közöttük azonos szög van.

8. ábra. LAL kritérium a háromszögek kongruenciájára. Forrás: Wikimedia Commons.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Az alábbi ábrán két háromszög látható: ΔABC és ΔECF. Ismert, hogy AC = EF, hogy AB = 6 és hogy CF = 10. Ezenkívül a ∡BAC és ∡FEC szögek kongrugensek, és az ∡ACB és ∡FCB szögek szintén kongrugensek.

9. ábra: A kidolgozott példa háromszögei 1. Forrás: F. Zapata.

Akkor a BE szegmens hossza egyenlő:

i

ii

iii

iv

v. 6.

Megoldás

Mivel a két háromszögnek azonos hosszúságú oldala van AC = EF az ∡BAC = ∡CEF és ∡BCA = ∡CFE egyenlő szögek között, elmondható, hogy a két háromszög az ALA kritérium alapján egybeesik.

Vagyis ΔBAC ≡ ΔCEF, tehát:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

De a kiszámítandó szegmens BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Tehát a helyes válasz (iii).

- 2. gyakorlat

Az alábbi ábrán három háromszög látható. Az is ismert, hogy a két jelzett szög mindegyike 80 ° -ot mér, és hogy az AB = PD és AP = CD szegmensek. Keresse meg az ábrán feltüntetett X szög értékét.

10. ábra: Megoldott példa háromszögei. 2. Forrás: F. Zapata.

Megoldás

Alkalmaznia kell a háromszögek tulajdonságait, amelyeket lépésről lépésre részleteznek.

1. lépés

A LAL háromszög kongruencia-kritériummal kezdve kijelenthető, hogy a BAP és a PDC háromszög egymással megegyező:

ΔBAP ≡ ΔPDC

2. lépés

A fentiek azt állítják, hogy BP = PC, ezért az ΔBPC háromszög egyenlő szárú és ∡PCB = ∡PBC = X.

3. lépés

Ha BPC γ szöget hívunk, akkor az következik, hogy:

2x + γ = 180º

4. lépés

És ha az APB és DCP β szöget és az α szöget ABP és DPC szögeknek nevezzük, akkor:

α + β + γ = 180º (mivel az APB egy sík szög).

5. lépés

Ezenkívül α + β + 80º = 180º az APB háromszög belső szögeinek összegével.

6. lépés

Ezeket a kifejezéseket kombinálva:

α + β = 100º

7. lépés

És ezért:

γ = 80º.

8. lépés

Végül az következik, hogy:

2X + 80º = 180º

X = 50º-val.

Irodalom

1. Baldor, A. 1973. Sík és űrgeometria. Közép-amerikai kulturális.
2. CK-12 Alapítvány. Kongruens sokszögek. Helyreállítva: ck 12.org.
3. Élvezze a matematikát. Meghatározások: Sugár (sokszög). Helyreállítva: enjoylasmatematicas.com.
4. Matematikai nyitott referencia. A sokszögek kongruencia tesztelése. Helyreállítva: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruencia (geometria). Helyreállítva: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Háromszögek, történelem, elemek, osztályozás, tulajdonságok. Helyreállítva: lifeder.com.