VEKTOR ALGEBRA: ALAPOK, NAGYSÁGOK, VEKTOROK - MATEMATIKA

A vektor algebra a matematika egyik ága, amely a lineáris egyenletek, vektorok, mátrixok, vektor terek és lineáris transzformációk rendszereit vizsgálja. Olyan területekhez kapcsolódik, mint például a mérnöki munka, a differenciálegyenletek megoldása, a funkcionális elemzés, az operációs kutatás, a számítógépes grafika.

Egy másik terület, amelyet a lineáris algebra elfogadott, a fizika, mivel ezen keresztül sikerült fejleszteni a fizikai jelenségek tanulmányozását, leírva azokat vektorok felhasználásával. Ez lehetővé tette a világegyetem jobb megértését.

alapjai

A vektoralgebra az 1, i, j és k négyszögek (valós számok kiterjesztése) vizsgálatából, valamint a Gibbs és a Heaviside által támogatott derékszögű geometriából származik, akik rájöttek, hogy a vektorok eszközként szolgálnak a különféle fizikai jelenségeket reprezentálnak.

A vektor algebrát három alapon vizsgálják:

Mértanilag

A vektorokat egy orientációval rendelkező vonalak képviselik, és a műveleteket, például az összeadást, kivonást és a valós számokkal való szorzást geometriai módszerek határozzák meg.

analitikusan

A vektorok és azok működésének leírása számokkal történik, úgynevezett komponensek. Az ilyen típusú leírás egy geometriai ábrázolás eredménye, mivel egy koordinátarendszert használnak.

axiomatikusan

Leírják a vektorokat, függetlenül a koordinátarendszertől vagy a geometriai ábrázolás bármilyen típusától.

Az ábrák térbeli tanulmányozása egy referenciarendszerben való ábrázolásuk révén történik, amely lehet egy vagy több dimenzióban. A fő rendszerek között vannak:

- Egydimenziós rendszer, amely egy egyenes, ahol az egyik pont (O) jelzi a kiindulási pontot, a másik pont (P) pedig meghatározza a skálát (hosszúságot) és irányát:

- téglalap alakú koordinátarendszer (kétdimenziós), amely két, az x tengelynek és az y tengelynek nevezett merőleges vonalból áll, amelyek áthaladnak egy (O) pont kezdőpontján; Ilyen módon a síkot négy részre osztják, kvadránsoknak nevezik. Ebben az esetben a síkban a P pontot a tengelyek és a P távolságok adják meg.

- Poláris koordinátarendszer (kétdimenziós). Ebben az esetben a rendszer egy O pontból (origó) áll, amelyet pólusnak hívnak, és egy O sugárral rendelkező sugárból, amelyet poláris tengelynek nevezünk. Ebben az esetben a sík P pontját, a pólusra és a poláris tengelyre vonatkoztatva, a szög adja (Ɵ), amelyet a kiindulási pont és a P pont közötti távolság alkot.

- Négyszögletes háromdimenziós rendszer, amelyet három merőleges vonal (x, y, z) alkot, amelyek eredete O pont a térben. Három koordináta sík jön létre: xy, xz és yz; a teret nyolc régióra osztják, amelyeket oktánsoknak neveznek. A P pont térbeli hivatkozását a sík és a P távolság adja meg.

nagyságok

A nagyság egy fizikai mennyiség, amelyet számszerűen meg lehet számolni vagy mérni, mint néhány fizikai jelenség esetén; gyakran szükséges, hogy ezeket a jelenségeket nem numerikus tényezőkkel lehessen leírni. Ez az oka annak, hogy a nagyságokat két típusba soroljuk:

Skaláris nagyság

Ezek azok a mennyiségek, amelyeket meghatároznak és numerikusan ábrázolnak; vagyis egy modullal és a mértékegységgel együtt. Például:

a) Idő: 5 másodperc.

b) Tömeg: 10 kg.

c) Térfogat: 40 ml.

d) Hőmérséklet: 40 ºC.

Vektor nagysága

Ezek azok a mennyiségek, amelyeket egy modul és az egység, valamint értelme és iránya határoz meg és ábrázol. Például:

a) Sebesség: (5-3-3) m / s.

b) gyorsulás: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Erő: 280 N, 120 °.

d) Súly: -40 ĵ kg-f.

A vektormennyiségeket vektorok ábrázolják grafikusan.

Melyek a vektorok?

A vektorok egy vektormennyiség grafikus ábrázolása; vagyis vonalszakaszok, amelyekben a végük egy nyíl csúcsa.

Ezeket a modul vagy a szegmens hossza határozza meg, irányát, amelyet a nyíl hegyével jelölnek, és az irányát annak a vonalnak megfelelően, amelyhez tartozik. A vektor eredete alkalmazási pontként is ismert.

A vektor elemei a következők:

modul

Ez a vektor kezdőpontjától a végéig tartó távolság, amelyet egy valós szám képvisel az egységgel együtt. Például:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Cím

Ez a szög mértéke, amely létezik az x tengely (pozitív irányból) és a vektor között, valamint a sarokpontok (észak, dél, kelet és nyugat) kerül felhasználásra.

Érzék

Ezt a vektor végén található nyílfej adja meg, jelezve, hova megy.

A vektorok osztályozása

Általában a vektorokat a következők szerint osztályozzák:

Rögzített vektor

Ez az, amelynek alkalmazási (származási) pontja rögzített; vagyis továbbra is kapcsolódik egy térbeli ponthoz, tehát nem mozoghat benne.

Ingyenes vektor

Az űrben szabadon mozoghat, mivel eredete bármely pontba mozog, anélkül hogy megváltoztatná a modult, irányát vagy irányát.

Csúszka vektor

Ez az, amely a működési vonal mentén átviheti eredetét anélkül, hogy megváltoztatná a modult, irányát vagy irányát.

A vektorok tulajdonságai

A vektorok fő tulajdonságai között szerepelnek a következők:

Vektorok csapata

Ezek azok a szabad vektorok, amelyeknek ugyanaz a modulja, iránya (vagy párhuzamosak) és értelme, mint egy csúszó vektornak vagy egy rögzített vektornak.

Ekvivalens vektorok

Abban az esetben fordul elő, amikor két vektornak azonos iránya van (vagy párhuzamosak), azonos értelemben vannak, és annak ellenére, hogy eltérő modulokkal és alkalmazási pontokkal rendelkeznek, ugyanazokat a hatásokat idézik elő.

Vektor egyenlőség

Ezeknek ugyanaz a modulja, iránya és értelme, még akkor is, ha a kiindulási pontok eltérőek, ami lehetővé teszi egy párhuzamos vektor számára, hogy önmagát lefordítsa anélkül, hogy befolyásolná.

Ellenkező vektorok

Ők ugyanaz a modul és irány, de jelentése ellentétes.

Egységvektor

Ebben az esetben a modul megegyezik az (1) egységgel. Ezt úgy érik el, hogy a vektort elosztják a modullal, és felhasználják a vektor irányának és érzékelésének meghatározására, akár síkban, akár térben, az alap vagy a normalizált egységvektorok felhasználásával, amelyek:

Null vektor

Ez az, amelynek modulus értéke 0; azaz a kiindulási és a vége egybeesik.

A vektor komponensei

A vektor komponensei a vektor vetületének azon értékei, amelyek a referenciarendszer tengelyén vannak; A vektor bomlásától függően, amely lehet két vagy háromdimenziós tengelyen, két vagy három komponenst kap.

A vektor komponensei valós számok, amelyek lehetnek pozitívak, negatívak vagy akár nulla is (0).

Tehát, ha van egy Ā vektor, amelynek eredete egy téglalap alakú koordinátarendszerben van a xy síkban (kétdimenziós), akkor az x tengelyen lévő vetület Āx, az y tengelyen pedig a Āy. Így a vektort az összetevő vektorjainak összegével fejezzük ki.

Példák

Első példa

Van egy vektor, amely az eredetből indul, és megadjuk annak végeinek koordinátáit. Így az vektor = Ā (_{x x}, A _y) = (4, 5) cm.

Ha Â vektor a háromdimenziós x, y, z háromszögű háromszög koordináta-rendszer kiindulási pontján (egy másik pontig (P)) működik, tengelyének vetületei: Āx, Āy és Āz; így a vektort három komponensvektorának összegével fejezzük ki.

Második példa

Van egy vektor, amely az eredetből indul, és megadjuk annak végeinek koordinátáit. Tehát a vektor A = (A _x, A _y, A _z) = (4, 6, -3) cm.

A téglalap alakú koordinátákkal rendelkező vektorok alapvektorukban fejezhetők ki. Ehhez az egyes koordinátákat csak meg kell szorozni a megfelelő egységvektorukkal oly módon, hogy a sík és a tér esetében a következők legyenek:

Síkra: = = A _x i + A _y j.

A szóköznél: = = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektoros műveletek

Sok mennyiség rendelkezik modullal, érzéssel és iránygal, például gyorsulás, sebesség, elmozdulás, erő, többek között.

Ezeket a tudomány különféle területein alkalmazzák, és ezek alkalmazásához bizonyos esetekben olyan műveleteket kell végrehajtani, mint például a vektorok és a skalárok összeadása, kivonása, szorzata és osztása.

vektorok összeadása és kivonása

A vektorok összeadását és kivonását egyetlen algebrai műveletnek tekintik, mivel az kivonás összegként írható; Például az Ā és Ē vektorok kivonása kifejezhető:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Különböző módszerek vannak a vektorok összeadásának és kivonásának végrehajtására: lehetnek grafikusak vagy analitikusak.

Grafikai módszerek

Használható, amikor egy vektornak van modulja, iránya és iránya. Ehhez vonalakat húzunk, amelyek egy ábrát alkotnak, amely később segít meghatározni az eredményt. A legismertebbek a következők:

Parallelogram módszer

Két vektor összeadásához vagy kivonásához a koordinátatengelyen egy közös pontot választanak, amely a vektorok kiindulási pontját képviseli, megtartva annak modulját, irányát és irányát.

Ezután a vonalakat a vektorokkal párhuzamosan húzzuk, hogy párhuzamos képet képezzenek. A kapott vektor az átló, amely mindkét vektor kiindulási pontjától a párhuzamos diagram csúcsáig megy:

Háromszög módszer

Ebben a módszerben a vektorokat egymás után helyezik el, megtartva moduljaikat, irányaikat és irányaikat. A kapott vektor az első vektor származási helyének a második vektor végével való összekapcsolása lesz:

elemzési módszerek

Két vagy több vektor hozzáadható vagy kivonható geometriai vagy vektor módszerrel:

Geometriai módszer

Ha két vektor háromszöget vagy párhuzamos képet alkot, akkor az m).push ({});

- Skaláris eloszlási tulajdonság: ha egy vektort megszorozzunk két skalár összegével, akkor ez egyenlő a vektor szorzásával minden skalár esetében.

Vektorok szorzata

A vektorok szorzása vagy szorzata összeadás vagy kivonás formájában valósítható meg, de ha így csináljuk, elveszíti a fizikai jelentését, és az alkalmazásokban szinte soha nem található meg. Ezért a leggyakrabban használt terméktípusok a skaláris és a vektortermékek.

Skaláris termék

Két vektor ponttermékének is nevezik. Ha két vektor moduljait megszorozzuk a közöttük kialakított legkisebb szög koszinussal, akkor skalárt kapunk. Skaláris szorzat kifejezéséhez két vektor között egy pontot helyeznek el közöttük, és ez a következőképpen határozható meg:

A két vektor közötti szög értéke attól függ, hogy párhuzamosak vagy merőlegesek; így tehát:

- Ha a vektorok párhuzamosak és azonos érzéssel bírnak, akkor a koszinusz 0º = 1.

- Ha a vektorok párhuzamosak és ellentétes irányúak, akkor a koszinusz 180º = -1.

- Ha a vektorok merőlegesek, koszinusz 90 ° = 0.

Ezt a szöget is kiszámíthatjuk, tudva, hogy:

A ponttermék a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

- Kommutív tulajdonság: a vektorok sorrendje nem változtatja meg a skalárt.

-Disztributív tulajdonság: Ha a skalárt megszorozzuk két vektor összegével, akkor ez egyenlő az egyes vektorok skalárának szorzásával.

Vektor termék

Vektoros szorzás, vagy két A és B vektor keresztterméke új C vektort eredményez, és a vektorok közötti kereszt felhasználásával fejeződik ki:

Az új vektornak megvannak a maga sajátosságai. Úgy:

- Irány: ez az új vektor merőleges lesz a síkra, amelyet az eredeti vektorok határoznak meg.

- Irány: ezt a jobb kéz szabályával határozzák meg, ahol az A vektort B felé forgatják, jelezve a forgatás irányát az ujjakkal, és a vektor irányát a hüvelykujj jelöli.

- A modul: azt az AxB vektorok moduljainak szorzata határozza meg, az ezen vektorok közötti legkisebb szög szinuszával. Ezt fejezik ki:

A két vektor közötti szög értéke attól függ, hogy párhuzamosak vagy merőlegesek-e. Tehát lehetséges a következő megállapítása:

- Ha a vektorok párhuzamosak és azonos érzékszervi, szinusz 0º = 0.

- Ha a vektorok párhuzamosak és ellentétes irányúak, akkor a szinusz 180º = 0.

- Ha a vektorok merőlegesek, a szinusz 90º = 1.

Amikor egy vektorterméket alapvektorukban fejezzük ki, akkor: