AKUT HÁROMSZÖG: JELLEMZŐK ÉS TÍPUSOK - MATEMATIKA - 2025

Az akut háromszögek azok, amelyek három belső szöge akut szögek; vagyis ezen szögek mértéke kevesebb mint 90 °. Ha nincs derékszögünk, akkor a Pythagora-tétel nem érvényes erre a geometriai alakra.

Ezért, ha valamiféle információt szeretnénk kapni bármely oldaláról vagy szögéről, akkor más tételeket kell használnunk, amelyek lehetővé teszik számunkra az adatok elérését. Használhatjuk a szinusz tételt és a koszinusz tételt.

jellemzők

A tulajdonságok között, amelyeket ez a geometriai ábra mutat, kiemelhetjük azokat, amelyeket az egyszerű tény ad, hogy háromszög. Ezek között van:

- A háromszög sokszög, amelynek három oldala és három szöge van.

- Három belső szöge összege egyenlő 180 ° -kal.

- Két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik.

Példaként nézzük meg az alábbi ABC háromszöget. Általában oldalainkat kisbetűvel, szögeinket nagybetűvel azonosítjuk oly módon, hogy az egyik oldal és az ellentétes szög azonos betűvel rendelkezzen.

A már megadott jellemzőkből tudjuk, hogy:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b és b + c> a

A fő jellemző, amely megkülönbözteti ezt a háromszögtípust a többitől, az, hogy amint már említettük, belső szöge akut; vagyis az egyes szögek mértéke kisebb, mint 90 °.

Az akut háromszögek a tompa háromszögekkel együtt (azokban, amelyek egyik szöge nagyobb, mint 90 °) a ferde háromszögek halmaza. Ez a készlet nem derékszögű háromszögekből áll.

Mivel az ferde háromszögek részei, képeseknek kell lennünk az akut háromszögekkel kapcsolatos problémák megoldására is, a szinusz-tételt és a koszinusz-tételt kell használni.

Szinusz tétel

A szinusz tétel azt mondja nekünk, hogy az egyik oldal és a szemközti szög szinuszához viszonyított aránya megegyezik a háromszög három csúcsa által alkotott kör sugárának kétszeresével. Vagyis:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Koszinózis tétel

Másrészt a koszinusz-tétel megadja nekünk a három egyenlőséget bármely ABC háromszögre:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Ezek a tételek a szinusz és a koszinusz törvényeként is ismertek.

Az akut háromszögek másik jellemzője, hogy ezek kettő egyenlő, ha megfelelnek a következő kritériumok valamelyikének:

- Ha ugyanaz a három oldaluk.

- Ha az egyik oldaluk és két egyenlő szög egymással vannak.

- Ha két azonos oldaluk és egy szöge van.

típusai

Az akut háromszögek oldaluk szerint osztályozhatók. Ezek lehetnek:

Egyenoldalas akut háromszögek

Ezek olyan akut háromszögek, amelyeknek mindkét oldala megegyezik, és ezért minden belső szöge azonos értékű, azaz A = B = C = 60 ° fok.

Példaként vegyük a következő háromszöget, amelynek a, b és c oldalának értéke 4.

Egyszögletű akut háromszögek

Ezeknek a háromszögeknek az akut belső szögeken kívül az is jellemző, hogy két azonos oldalukkal rendelkeznek, és a harmadik, amelyet általában alapként vesznek, eltérőek.

Az ilyen típusú háromszögekre példa lehet olyan, amelynek alapja 3 és a másik két oldala 5-ös értékkel rendelkezik. Ezekkel a mérésekkel az egyenlő oldalakkal szemben ellentétes szögek lennének, 72,55 ° -kal, és a az alap 34,9 ° lenne.

Scalene akut háromszögek

Ezek azok a háromszögek, amelyeknek mindkét oldala külön-külön van. Ezért annak összes szöge, amellett, hogy kisebb, mint 90 °, kettőtől kettőig is különbözik.

A DEF háromszög (amelynek méretei d = 4, e = 5 és f = 6, szögei D = 41,41 °, E = 55,79 ° és F = 82,8 °) jó példa egy akut háromszögre. egyenlőtlen oldalú.

Az akut háromszögek felbontása

Mint már említettük, az akut háromszöget érintő problémák megoldásához a szinusz és a koszinusz tételeket kell használni.

1. példa

Ha egy ABC háromszöget kapunk, amelynek szöge A = 30 °, B = 70 ° és oldal a = 5cm, meg akarjuk tudni a C szög és a b és c oldal értékét.

Első lépésként azt a tényt használjuk, hogy egy háromszög belső szögeinek összege 180 °, hogy megkapjuk a C szög értékét.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Töröljük a C-t és:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Mivel a három szöget és az egyik oldalt már ismerjük, a szinusz tétel segítségével meghatározhatjuk a fennmaradó oldalak értékét. A tétel szerint:

a / sin (A) = b / sin (B) és a / sin (A) = c / (sin (C)

Elkülönítjük b-et az egyenletből, és a következőkre maradunk:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Most csak a c értékét kell kiszámítanunk. Az előző esethez hasonlóan járunk el:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Így megkapjuk a háromszög összes adatát. Mint látjuk, ez a háromszög a skála akut háromszög kategóriájába tartozik.

2. példa

Ha egy DEF háromszöget kapunk d = 4cm, e = 5cm és f = 6cm oldalakkal, meg akarjuk tudni az említett háromszög szögeinek értékét.

Ebben az esetben a koszinusz törvényt fogjuk használni, amely azt mondja nekünk, hogy:

d ² = e ² + f ² - ² efcos (D)

Ebből az egyenletből meg tudjuk oldani a cos (D) értéket, amelynek eredményeként:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Ezért D≈ 41,41 ° -unk van

A senom tétel felhasználásával a következő egyenletet kapjuk:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

A bűnre (E) megoldva:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 = 0,827

Ezért van E≈55,79 °

Végül, ha egy háromszög belső szögeinek összege 180 °, akkor F≈82,8 ° lesz.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reprint ed.). Előrehalad.
2. Leake, D. (2006). Háromszögek (ábrázolva). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel (2003). Sík metrikus geometria
4. Ruiz Á. És Barrantes, H. (2006). Geometries. CR technológia.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometria és analitikus geometria. Pearson oktatás.