- jellemzők
- típusai
- Első osztályú
- Második osztályos
- Oldószer
- Legmagasabb fokozat
- Megoldott gyakorlatok
- Első gyakorlat
- Megoldás
- Második gyakorlat
- Megoldás
- Irodalom
A polinomi egyenletek egy olyan állítás, amely felveti a két kifejezés vagy tag egyenlõségét, ahol az egyenlõség mindkét oldalát alkotó kifejezések közül a P (x) polinomok közül a legkevesebb az egyik. Ezeket az egyenleteket a változóik mértékének megfelelően nevezzük el.
Általában az egyenlet egy olyan kifejezés, amely megállapítja a két kifejezés egyenlőségét, ahol ezek közül legalább egyikben ismeretlen nagyságok vannak, amelyeket változónak vagy ismeretlennek hívnak. Bár sokféle egyenlet létezik, általában két típusba sorolhatók: algebrai és transzcendens.
A polinomiális egyenletek csak algebrai kifejezéseket tartalmaznak, amelyeknek az egyenletben egy vagy több ismeretlen lehet. Az exponens (fok) szerint meg lehet osztani: első fokozatba (lineáris), második fokozatba (kvadratikus), harmadik fokozatba (köbméter), negyedik fokozatba (negyedik fokozatba), öt fokkal nagyobb vagy azzal egyenlő fokra és irracionálisra.
jellemzők
A polinomi egyenletek olyan kifejezések, amelyeket két polinom közötti egyenlőség alkot; vagyis az ismeretlen értékek (változók) és a rögzített számok (együtthatók) közötti szorzás véges összegeivel, ahol a változók exponensek lehetnek, és értékük pozitív egész szám lehet, beleértve a nullát is.
A kitevők meghatározzák az egyenlet mértékét vagy típusát. A legmagasabb exponenciájú kifejezésben szereplő kifejezés a polinom abszolút fokát jelöli.
A polinomiális egyenleteket algebrai néven ismerjük, együtthatóik lehetnek valós vagy komplex számok, a változók pedig ismeretlen számok, amelyeket egy betű ábrázol, például: "x".
Ha az (x) változó értékét P (x) -ben helyettesíti, az eredmény nulla (0), akkor ezt az értéket megfelel az egyenletnek (ez megoldás), és általában a polinom gyökerének nevezik.
Polinomi egyenlet kidolgozásakor meg kell találni az összes gyökeret vagy megoldást.
típusai
Többféle polinomi egyenlet létezik, amelyeket a változók száma és az azok exponenciájának szintje alapján különböztetünk meg.
Így a polinomi egyenletek - amennyiben az első kifejezés egy egyetlen ismeretlen polinommal rendelkezik, figyelembe véve, hogy fokának bármilyen természetes száma lehet (n), a második tagja pedig nulla -, a következőképpen fejezhető ki:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Ahol:
- egy N, egy n-1 és a 0 valós együtthatók (számok).
- az n eltér nullától.
- Az n kitevő pozitív egész szám, amely jelzi az egyenlet mértékét.
- x a keresendő változó vagy ismeretlen.
A polinomi egyenlet abszolút vagy nagyobb mértéke az az exponens, amelynek a legnagyobb értéke van a polinomot alkotók közül; így az egyenleteket a következőképpen osztályozzuk:
Első osztályú
Az első fokú polinomi egyenletek, más néven lineáris egyenletek, amelyekben a fok (a legnagyobb exponens) 1-gyel egyenlő, a polinom P (x) = 0 formájú; y egy lineáris és független kifejezésből áll. Írta:
ax + b = 0.
Ahol:
- a és b valós számok és a ≠ 0.
- ax a lineáris kifejezés.
- b a független kifejezés.
Például a 13x - 18 = 4x egyenlet.
A lineáris egyenletek megoldásához az ismeretlen x-t tartalmazó összes kifejezést át kell adni az egyenlőség egyik oldalára, és azoknak, amelyeknek nincsenek, a másik oldalra kell haladniuk annak megoldása és a megoldás elérése érdekében:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Tehát az adott egyenletnek csak egy megoldása vagy gyöke van, amely x = 2.
Második osztályos
Másodfokú polinomi egyenletek, más néven kvadratikus egyenletek, amelyekben a fok (a legnagyobb exponens) egyenlő 2-vel, a polinom P (x) = 0 formájú, és egy kvadratikus kifejezésből áll, egy lineáris és egy független. A következőképpen fejeződik ki:
ax 2 + bx + c = 0.
Ahol:
- a, b és c valós számok és a ≠ 0.
- a 2. tengely a másodfokú kifejezés, és az „a” a kvadratikus kifejezés együtthatója.
- bx a lineáris kifejezés, és "b" a lineáris kifejezés együtthatója.
- c a független kifejezés.
Oldószer
Általában az ilyen típusú egyenletek megoldására az x egyenletből történő kitisztításával kerül sor, és ezt az alábbiak szerint oldhatónak nevezzük:
Ott (b 2 - 4ac) az egyenlet diszkriminánsának nevezik, és ez a kifejezés határozza meg az egyenlet megoldásainak számát:
- Ha (b 2 - 4ac) = 0, akkor az egyenletnek egyetlen kettős megoldása lesz; vagyis két egyenlő megoldással fog rendelkezni.
- Ha (b 2 - 4ac)> 0, akkor az egyenletnek két különböző valós megoldása lesz.
- Ha (b 2 - 4ac) <0, az egyenletnek nincs megoldása (két különbözõ komplex megoldás lesz).
Például a 4x 2 + 10x - 6 = 0 egyenlettel oldjuk meg először az a, b és c kifejezéseket, majd helyettesítjük a képletben:
a = 4
b = 10
c = -6.
Vannak esetek, amikor a második fokú polinomi egyenletek nem mindhárom kifejezéssel rendelkeznek, és ezért oldják meg őket eltérően:
- Abban az esetben, ha a kvadratikus egyenletek nem rendelkeznek lineáris kifejezéssel (azaz b = 0), akkor az egyenletet ax 2 + c = 0-ban fejezzük ki. Megoldásához oldjuk meg x 2-re, és alkalmazzuk a négyzetgyökereket minden tagban, emlékezve arra, hogy figyelembe kell venni az ismeretlen két lehetséges jeleit:
tengely 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Például 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Ha a kvadratikus egyenletnek nincs önálló kifejezése (azaz c = 0), akkor az egyenletet ax 2 + bx = 0-ban fejezzük ki. Ennek megoldásához az első tagban az ismeretlen x közös tényezőjét kell vennünk; Mivel az egyenlet nulla, igaz, hogy a tényezők legalább egyikének 0-nak kell lennie:
ax 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Így:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Például: van az egyenlet 5x 2 + 30x = 0. Először faktor:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Két tényezőt generálunk, amelyek xy (5x + 30). Úgy gondolják, hogy ezek egyike nulla, a másik megoldódik:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Legmagasabb fokozat
A magasabb fokú polinomi egyenletek azok, amelyek a harmadik foktól kezdve tovább mennek, és ezek kifejezhetők vagy megoldhatók az általános fokú polinomi egyenlettel:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Ezt azért használják, mert a kettőnél nagyobb fokú egyenlet a polinom faktorizálásának eredménye; vagyis azt egy vagy annál nagyobb polinomok szorzásával fejezik ki, de valódi gyökerek nélkül.
Az ilyen típusú egyenletek megoldása közvetlen, mivel két tényező szorzata nullának felel meg, ha valamelyik tényező nulla (0); ezért meg kell oldani a talált polinomi egyenletek mindegyik tényezőjét nullával.
Például van a harmadik fokú egyenlet (köbös) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Ennek megoldásához a következő lépéseket kell követni:
- A kifejezések csoportosítva:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2) + (4x + 4) = 0.
- A tagokat felbontják, hogy megkapják az ismeretlen közös tényezőjét:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Ily módon két tényezőt kapunk, amelyeknek nullának kell lennie:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Látható, hogy az (x 2 + 4) = 0 tényező nem lesz valódi megoldás, míg az (x + 1) = 0 tényező nem. Tehát a megoldás:
(x + 1) = 0
x = -1.
Megoldott gyakorlatok
Oldja meg a következő egyenleteket:
Első gyakorlat
(2x 2 + 5) * (X - 3) * (1 + x) = 0.
Megoldás
Ebben az esetben az egyenletet a polinomok szorzásával fejezzük ki; vagyis tényleges. Megoldásához minden tényezőt nullával kell egyenlővé tenni:
- 2x 2 + 5 = 0, akkor nincs megoldás.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Tehát az adott egyenletnek két megoldása van: x = 3 és x = -1.
Második gyakorlat
x 4 - 36 = 0.
Megoldás
Polinomot kaptunk, amelyet át lehet írni négyzetkülönbségként, hogy gyorsabb megoldást érjünk el. Így az egyenlet:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Az egyenletek megoldásának megtalálásához mindkét tényezőt nullára kell állítani:
(x 2 + 6) = 0, nincs megoldása.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Így a kezdeti egyenletnek két megoldása van:
x = √6.
x = - √6.
Irodalom
- Andres T. (2010). Matematikai olimpia tresure. Springer. New York.
- Angel, AR (2007). Elemi algebra. Pearson Oktatás,.
- Baer, R. (2012). Lineáris algebra és projektív geometria. Courier Corporation.
- Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
- Castaño, HF (2005). Matematika a számítás előtt. Medellini Egyetem.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olimpiai előkészítő matematikai kézikönyv. Jaume I. Egyetem
- Kreemly Pérez, ML (1984). I. magasabb algebra
- Massara, NC-L. (ezerkilencszázkilencvenöt). Matematika 3.