A vektortér egy nem üres V = { u, v, w, ……} halmaz, amelynek elemei vektorok. Néhány fontos műveletet elvégeznek velük, amelyek közül kiemelkedik a következők:

- Összegezzen két u + v vektor között z eredményt , amelynek z a V halmazhoz tartozik .

- az α valós szám szorozása v vektorral: α v, amely újabb vektort eredményez, és tartozik V-hez.

A vektor tér művészi jövőképe. Forrás: Pixabay

Egy vektor jelöléséhez félkövér betűt alkalmazunk (v egy vektor), és skalárok vagy számok esetén görög betűk (α egy szám).

Axiómák és tulajdonságok

A vektortér megadásához a következő nyolc axiómának kell lennie:

1-összetétel: u + v = v + u

2-tranzitivitás: (u + v) + w = u + (v + w)

3 - A 0 nullvektor létezik úgy, hogy 0 + v = v

4 -Ellenkező létezése: v ellentéte (- v), mivel v + (- v) = 0

A termék 5-eloszlása ​​a vektorösszeghez viszonyítva: α (u + v) = α u + α v

A termék 6-eloszlása ​​a skaláris összegre vonatkoztatva: (α + β) v = α v + β v

A skaláris termék 7-asszociativitása: α (β v) = (α β) v

8 - Az 1 szám a semleges elem, mivel: 1 v = v

Példák vektorterekre

1. példa

Az (R²) síkban lévő vektorok egy példa a vektortérre. A síkban lévő vektor egy geometriai objektum, amelynek nagysága és iránya van. Egy orientált szegmens képviseli, amely az említett síkhoz tartozik, és a méretével arányos méretű.

A síkban lévő két vektor összegét úgy definiálhatjuk, mint a második vektor geometriai transzlációs műveletét az első után. Az összeg eredménye az az orientált szegmens, amely az első kezdetétől kezdődik és a második végéig ér.

Az ábrán látható, hogy az R2-ben megadott összeg kommutív.

2. ábra: A síkban lévő vektorok vektor teret képeznek. Forrás: saját készítésű.

Az α szám és egy vektor szorzata szintén meghatározásra kerül. Ha a szám pozitív, akkor megtartják az eredeti vektor irányát, és a mérete α-szorosa az eredeti vektornak. Ha a szám negatív, akkor az irány fordított, és a kapott vektor mérete a szám abszolút értéke.

Bármely v vektorral szemben lévő vektor - v = (- 1) v.

A nullvektor egy pont az R² síkban, és a vektor nulla-szorosa adja a nullvektort.

Mindent, amit elmondtak, a 2. ábra szemléltet.

2. példa

Az összes kettővel vagy annál kevesebb polinom P halmaza, beleértve a nulla fokot is, olyan halmazt képez, amely kielégíti a vektortér összes axiómáját.

Legyen P (x) = polinom a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Két polinom összegét definiáljuk: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

A P halmazhoz tartozó polinomok összege kommutációs és tranzitív.

A P halmazhoz tartozó nullpolinom az, amelynek összes együtthatója nulla:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

A polinom által alkotott skaláris α összegét a következőképpen határozzuk meg: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

A P (x) ellentétes polinomja -P (x) = (-1) P (x).

A fentiek összességéből következik, hogy az összes kettőnél kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinom P halmaza vektorveret jelent.

3. példa

Az m sor xn oszlopok minden mátrixának M halmaza, amelynek elemei valós számok, valós vektorteret alkotnak, a mátrixok és a szám szorzatának mátrix általi összeadásának műveletei szempontjából.

4. példa

A valós változó folyamatos függvényeinek F halmaza vektorteret képez, mivel meghatározható két függvény összege, a skalár szorozása függvény, null függvény és szimmetrikus függvény alapján. Teljesítik a vektorteret jellemző axiómákat is.

A vektor tér alapja és mérete

Bázis

A vektortér alapját úgy határozzuk meg, hogy lineárisan független vektorok halmazát képezzük úgy, hogy egy lineáris kombinációjukból a vektortér bármelyik vektorát elő lehet állítani.

Két vagy több vektor lineáris kombinálása abból áll, hogy a vektorokat megszorozzuk valamilyen skalárral, majd összevesszük azokat vektorokkal.

Például az R3 által alkotott három dimenziójú vektorok vektorterületében az i, j, k egységvektorok által meghatározott kanonikus bázist használjuk.

Ahol i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Ezek a derékszögű vagy a kanonikus vektorok.

Bármely olyan vektor V tartozó R³ van írva, mint V = a i + b j + c k, amely egy lineáris kombinációja a bázis vektorok i, j, k. A skalárt vagy az a, b, c számokat V derékszögű komponenseinek nevezzük.

Azt is mondják, hogy a vektor tér alapvektorai a vektor tér generátor halmazát alkotják.

Dimenzió

A vektor tér mérete az adott tér vektor alapjának a bíboros száma; vagyis az említett bázist alkotó vektorok száma.

Ez a bíboros az a vektortér lineárisan független vektorok maximális száma, és ezzel egyidejűleg a vektorok minimális száma, amelyek az adott tér generátorkészletét képezik.

A vektortér alapjai nem különlegesek, de ugyanazon vektortér minden alapja azonos dimenzióval rendelkezik.

Vektor alterület

A V vektorverek S vektorveremű altere a V részhalmaza, amelyben ugyanazokat a műveleteket határozzuk meg, mint a V-ben, és teljesíti az összes vektorteret axiómát. Ezért az S alterület szintén vektortér lesz.

Példa a vektor alterületre azok a vektorok, amelyek az XY síkhoz tartoznak. Ez az altér egy olyan dimenziós vektortér részhalmaza, amely nagyobb, mint az XYZ háromdimenziós térhez tartozó vektorok halmaza.

Az S vektorverek S1 vektor-alterületének egy másik példáját, amelyet az összes 2 × 2 mátrix valós elemekkel képez, az alábbiakban definiáljuk:

Másrészről, az alábbiakban meghatározott S2, bár az S részhalmaza, nem alkot vektoros alteret:

Megoldott gyakorlatok

-1. Feladat

Legyen V1 vektorok ((1, 1, 0)); V2 = (0, 2, 1) és V3 = (0, 0, 3) R3-ban.

a) Mutassa meg, hogy lineárisan függetlenek?

b) Mutassuk meg, hogy képeznek-e alapot az R3-ban, mivel bármilyen hármas (x, y, z) V1, V2, V3 lineáris kombinációjaként írható.

c) Keresse meg a V = (-3,5,4) hármas összetevőit a V1, V2, V3 alapban.

Megoldás

A lineáris függetlenség igazolásának kritériuma a következő α, β és γ egyenletkészlet létrehozása

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Ha a rendszer egyetlen megoldása az α = β = γ = 0, akkor a vektorok lineárisan függetlenek, különben nem.

Az α, β és γ értékének megszerzéséhez a következő egyenletrendszert javasoljuk:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Az első α = 0-hoz vezet, a második α = -2 ∙ β-hoz, de mivel α = 0, akkor β = 0. A harmadik egyenlet azt sugallja, hogy γ = (- 1/3) β, de mivel β = 0, akkor γ = 0.

Válasz neki

Megállapítottam, hogy ez egy lineárisan független R3 vektorok halmaza.

B. Válasz

Írjuk a hármat (x, y, z) V1, V2, V3 lineáris kombinációjaként.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Hol van:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Az első α = x, a második β = (yx) / 2, a harmadik γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Ily módon megtaláltuk az R3 hármasainak α, β és γ generátorait

C válasz

Keressük tovább a V = (-3,5,4) hármas komponenseit a V1, V2, V3 alapban.

A fentiekben megadott kifejezésekben szereplő megfelelő értékeket a generátorokkal helyettesítjük.

Ebben az esetben: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Vagyis:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Végül:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Megállapítottuk, hogy V1, V2, V3 alapot képeznek a 3. dimenzió R³ vektorterében.

- 2. gyakorlat

A P (t) = t² + 4t -3 polinomot fejezzük ki P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t és P3 (t) = t + 3 lineáris kombinációjával.

Megoldás

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

ahol az x, y, z számokat meg kell határozni.

Ha kifejezéseket megszorozzuk és csoportosítjuk ugyanazzal a fokkal t-ben, akkor az alábbiakat kapjuk:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Ami a következő egyenletrendszerhez vezet:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Az egyenletrendszer megoldásai a következők:

x = -3, y = 2, z = 4.

Vagyis:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- 3. gyakorlat

Mutassuk meg, hogy a v1 vektorok (1, 0, -1, 2); R2 v2 = (1, 1, 0, 1) és v3 = (2, 1, -1, 1) egyenesen függetlenek.

Megoldás

A v1, v2, v3 három vektort lineárisan kombináljuk és megköveteljük, hogy a kombináció adja hozzá R⁴ null elemét

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Vagyis, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Ez a következő egyenletrendszerhez vezet:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Az első és a negyedik kivonásakor a következőket kapjuk: -a + c = 0, amely azt jelenti, hogy a = c.

De ha a harmadik egyenletet nézzük meg, akkor van a = -c. Az a = c = (- c) tartása csak akkor lehetséges, ha c értéke 0, tehát a szintén 0.

a = c = 0

Ha ezt az eredményt beillesztjük az első egyenletbe, akkor arra következtethetünk, hogy b = 0.

Végül a = b = c = 0, tehát arra lehet következtetni, hogy a v1, v2 és v3 vektorok lineárisan függetlenek.

Irodalom

1. Lipschutz, S. 1993. Lineáris algebra. Második kiadás. McGraw-Hill. 167-198.