A Bayes-tétel egy olyan eljárás, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kifejezzük egy adott B véletlen esemény feltételes valószínűségét az A és B esemény valószínűség-eloszlása szempontjából, mivel csak az A valószínűségi eloszlása van.
Ez a tétel nagyon hasznos, mivel köszönhetően összekapcsolhatjuk annak valószínűségét, hogy egy A esemény történik, tudva, hogy B történt, azzal a valószínűséggel, hogy az ellenkezője fordul elő, azaz hogy B előfordul az A-val.
Bayes-tétel Thomas Bayes tiszteletes, egy 18. századi angol teológus ezüst állítása, amely szintén matematikus volt. Számos teológiai munkát írt, de ma már néhány matematikai értekezésről ismert, amelyek közül a fent említett Bayes-tétel kiemelkedik a legfontosabb eredményként.
Bayes ezt az elméletet az „Egy esszé egy probléma megoldására a lehetőségek doktrínájában” című, 1763-ban kiadott, 1763-ban kiadott tanulmányában tárgyalta, amelyre nagyszámú fejlesztés történt. tanulmányok alkalmazásokkal a tudás különböző területein.
Magyarázat
Először, e tétel jobb megértése érdekében szükség van néhány valószínűségi elmélet alapvető fogalmára, különös tekintettel a feltételes valószínűség szorzó tételére, amely kimondja, hogy
Az S és az S minta terepi tetszőleges eseményeihez.
És a partíciók meghatározása, amely azt mondja nekünk, hogy ha az S mintaterületben A 1, A 2,…, A n események vannak, akkor ezek S partíciót képeznek, ha az A i kölcsönösen kizárják egymást, és uniójuk S.
Tekintettel erre, legyen B egy újabb esemény. Tehát láthatjuk B-t
Amennyiben egy i metszette B egymást kizáró események.
És ennek következtében
Ezután a szorzási tétel alkalmazásával
Másrészről, az A feltételes valószínűségét a B határozza meg
Megfelelően helyettesítve van minden i-re
Bayes-tétel alkalmazásai
Ennek az eredménynek köszönhetően a kutatócsoportoknak és a különféle vállalatoknak sikerült fejleszteniük a tudáson alapuló rendszereket.
Például a betegségek tanulmányozásakor a Bayes-tétel segít felmérni annak valószínűségét, hogy egy betegséget egy adott tulajdonsággal rendelkező embercsoportban találnak meg, adatokként véve a betegség globális arányát és az említett jellemzők túlsúlyát egészséges és beteg emberek.
Másrészt a csúcstechnológiák világában befolyásolta a nagyvállalatokat, amelyek ennek eredményeként „tudás-alapú” szoftvert fejlesztettek ki.
Napi példaként van a Microsoft Office asszisztens. Bayes-tétel segít a szoftvernek felmérni a felhasználó által felvetett problémákat, és meghatározni, hogy milyen tanácsot adjon neki, és így jobb szolgálatot tudjon nyújtani a felhasználói szokásoknak megfelelően.
Figyelemre méltó, hogy ezt a formulát a közelmúltban nem vették figyelembe, főleg azért, mert amikor ezt az eredményt 200 évvel ezelőtt fejlesztették ki, kevés gyakorlati alkalmazásuk volt számukra. Korunkban azonban a nagy technológiai fejlődésnek köszönhetően a tudósok megtalálták a módját ennek az eredménynek a gyakorlatba történő átültetésére.
Megoldott gyakorlatok
1. Feladat
Egy mobiltelefon-társaságnak két A és B gépe van. A gyártott mobiltelefonok 54% -át A gép, a többi a B gépet gyártja. Nem minden elõállított mobiltelefon jó állapotban.
Az A által gyártott hibás mobiltelefonok aránya 0,2 és B aránya 0,5. Mi a valószínűsége annak, hogy egy gyári mobiltelefon hibás? Mi a valószínűsége annak, hogy tudva, hogy egy mobiltelefon hibás, az A gépről származik?
Megoldás
Itt van egy kísérlete, amely két részből áll; az első részben az események történnek:
A: az A gép által készített cella
B: a B gép által készített cella
Mivel az A gép a mobiltelefonok 54% -át, a fennmaradó részt a B gép állítja elő, ebből következik, hogy a B gép a mobiltelefonok 46% -át teszi ki. Ezen események valószínűségét megadjuk, nevezetesen:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
A kísérlet második részének eseményei a következők:
D: hibás mobiltelefon.
E: nem hibás mobiltelefon.
Amint a nyilatkozatban szerepel, ezen események valószínűsége az első részben elért eredménytől függ:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Ezen értékek felhasználásával meghatározhatók az események kiegészítésének valószínűségei is, azaz:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
és
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Most a D esemény a következőképpen írható:
A szorzási tétel használata a feltételes valószínűségi eredményekhez:
Ezután az első kérdésre válaszolnak.
Most csak a P (AD) értéket kell kiszámítanunk, amelyre a Bayes-tételt alkalmazzuk:
Bayes-tételnek köszönhetően kijelenthető, hogy annak valószínűsége, hogy az A gép egy mobiltelefon készül, tudva, hogy a mobiltelefon hibás, 0,319.
2. gyakorlat
Három doboz tartalmaz fekete-fehér golyókat. Mindegyik összetétele a következő: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Az egyik dobozt véletlenszerűen választják ki, és véletlenszerűen húznak egy labdát, amely fehérnek bizonyul. Mi a doboz, amelyet valószínűleg választottak?
Megoldás
Az U1, U2 és U3 használatával a kiválasztott mezőt is ábrázoljuk.
Ezek az események az S partícióját képezik és ellenőrizhető, hogy P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, mivel a doboz kiválasztása véletlenszerű.
Ha B = {a húzott labda fehér}, akkor P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4 lesz.
Szeretnénk megszerezni annak valószínűségét, hogy a labdát kivettük a dobozból Ui, tudva, hogy az említett labda fehér, azaz P (Ui -B), és megnézheti, melyik a három érték közül a legmagasabb, hogy tudjon A doboz valószínűleg a golyó kinyerése.
Bayes-tétel alkalmazása az első dobozhoz:
És a másik kettő számára:
P (U2-B) = 2/6 és P (U3-B) = 1/6.
Ezután az első doboz közül a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy a dákógolyó kinyerésére választották meg.
Irodalom
- Kai Lai Chung. Elemi valószínűségi elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen: Diszkrét matematika és alkalmazásai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 A diszkrét matematika megoldott problémái. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Elméleti és valószínűségi problémák. McGraw-Hill.