13 KÉSZLET OSZTÁLYOK ÉS PÉLDÁK - KULTURÁLIS SZÓKINCS - 2025

A halmazok osztályait többek között egyenlő, véges és végtelen, részhalmazok, üregek, diszjunktív vagy diszjunktív, ekvivalens, egységes, egymásra helyezett vagy egymást átfedő, kongruensek és nem kongrudens csoportokba sorolhatjuk.

A készlet tárgyak gyűjteménye, de új kifejezésekre és szimbólumokra van szükség ahhoz, hogy ésszerűen beszélhessenek a halmazokról. Például azt mondjuk, hogy lókészlet, valós szám, emberkészlet, kutyakészlet stb.

A közönséges nyelven a világ, amelyben élünk, értelme a dolgok osztályozásával történik. A spanyolul sok szó van az ilyen gyűjteményekhez. Például: "madárnyáj", "marhacsorda", "méhek rajta" és "hangyák kolónia".

A matematikában valami hasonló történik a számok, geometriai számok stb. Osztályozásakor. Az ezekben a halmazokban lévő objektumokat set elemeknek nevezzük.

Egy készlet leírása

Egy halmaz leírható az összes elem felsorolásával. Például, S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S az a halmaz, amelynek elemei 1, 3, 5, 7 és 9." A készlet öt elemét vesszők választják el, és zárójelekkel vannak felsorolva.

A halmazt szintén meg lehet határozni, ha szögletes zárójelben bemutatja annak elemeinek meghatározását. Így a fenti S halmaz szintén írható:

S = {10-nél kevesebb páratlan egész szám).

A halmaznak jól definiáltnak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a halmaz elemeinek világosnak és egyértelműnek kell lenniük. Például a {magas emberek} nem halmaz, mert az emberek hajlamosak egyet nem érteni azzal, hogy mit jelent a magas. Példa egy jól meghatározott halmazra

T = {ábécé betűi}.

A készletek típusai

1- Egyenlő készletek

Két halmaz azonos, ha pontosan ugyanazok az elemek.

Például:

• Ha A = {az ábécé magánhangzói} és B = {a, e, i, o, u}, akkor azt mondják, hogy A = B.
• Másrészt a {1, 3, 5} és {1, 2, 3} halmazok nem azonosak, mert eltérő elemekkel rendelkeznek. Ezt {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3} formátumban írják.
• Az elemek zárójelbe írt sorrendjére egyáltalán nem számít. Például: {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Ha egy elem többször megjelenik a listában, akkor csak egyszer számolódik. Például: {a, a, b} = {a, b}.

Az {a, a, b} halmaz csak a a és b két elemet tartalmazza. Az a második említése felesleges ismétlés, és figyelmen kívül hagyható. Általában rossz jelölésnek tekintik, ha egy elemet többször felsorolnak.

2- Végtelen és végtelen halmazok

A véges halmazok azok, ahol a halmaz összes eleme megszámolható vagy felsorolható. Íme két példa:

• {Teljes számok 2 000 és 2 005 között} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004}
• {Teljes számok 2 000 és 3 000 között} = {2 001, 2 002, 2 003,…, 2 999}

A második példában szereplő három „…” pont a készletben szereplő többi 995 számot jelöli. Az összes elemet fel lehetne sorolva, de helytakarékosság érdekében pontok kerültek felhasználásra. Ez a jelölés csak akkor használható, ha teljesen világos, hogy mit jelent, mint ebben a helyzetben.

A halmaz végtelen is lehet - számít az, hogy jól definiálható-e. Íme két példa a végtelen halmazokra:

• {Kettőnél nagyobb vagy egyenlő páros számok és egészek} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
• {2 000-nél nagyobb egész szám} = {2 001, 2 002, 2 003, 2 004,…}

Mindkét készlet végtelen, mivel függetlenül attól, hogy hány elemet próbál felsorolni, a készletben mindig van még olyan elem, amelyet nem lehet felsorolni, függetlenül attól, hogy mennyi ideig próbálkozik. Ezúttal a "…" pontoknak kissé más jelentése van, mert végtelenül sok nem listázott elemet képviselnek.

3- Beállítja az alkészleteket

Az részhalmaz egy halmaz része.

• Példa: A baglyok egy meghatározott madárfaj, tehát minden bagoly egy madár. A halászok nyelvén azt fejezik ki, hogy a baglyok halmaza a madarak halmaza.

Az S halmazt egy másik T halmaz részhalmazának nevezzük, ha S minden eleme T eleme. Ezt a következőképpen írjuk:

• S ⊂ T (Olvassa el az "S egy T részhalmaza")

Az új szimbólum ⊂ azt jelenti, hogy 'egy részhalmaza'. Tehát {baglyok} ⊂ {madarak}, mivel minden bagoly madár.

• Ha A = {2, 4, 6} és B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, akkor A ⊂ B,

Mivel az A minden eleme B elem.

A ⊄ szimbólum azt jelenti, hogy „nem részhalmaza”.

Ez azt jelenti, hogy S legalább egy eleme nem T. eleme. Például:

• {Madarak} ⊄ {Repülő lények}

Mivel a strucc madár, de nem repül.

• Ha A = {0, 1, 2, 3, 4} és B = {2, 3, 4, 5, 6}, akkor A ⊄

Mivel 0 ∈ A, de 0 ∉ B, így olvashatjuk: “0 tartozik az A halmazhoz”, de “0 nem tartozik a B halmazhoz”.

4- Üres készlet

A Ø szimbólum az üres halmazt jelöli, amely olyan készlet, amelynek egyáltalán nincs eleme. Az egész univerzumban semmi sem Ø elem:

• - Ø - = 0 és X ∉ Ø, függetlenül attól, hogy mi lehet X.

Csak egy üres halmaz van, mert két üres halmaz pontosan azonos elemekkel rendelkezik, tehát egyenlőnek kell lenniük egymással.

5- Diszjunkt vagy diszjunktív készlet

Két halmazt diszjunktusnak hívnak, ha nincsenek közös elemei. Például:

• Az S = {2, 4, 6, 8} és T = {1, 3, 5, 7} halmazok nem szétválasztottak.

6- ekvivalens készletek

Azt mondják, hogy A és B egyenértékűek, ha azonos számú elemmel rendelkeznek, vagyis az A halmaz kardinal száma megegyezik a B halmaz kardinális számával, n (A) = n (B). Az egyenértékű készlet jelölésére szolgáló szimbólum „↔”.

• Például:

  A = {1, 2, 3}, tehát n (A) = 3

  B = {p, q, r}, tehát n (B) = 3

  Ezért A ↔ B

7- egységkészletek

Ez egy készlet, amelyben pontosan egy elem van. Más szavakkal, csak egy elem képezi az egészet.

Például:

• S = {a}
• Legyen B = {páros prímszám}

Ezért B egy egységkészlet, mert csak egy prímszám létezik, amely páros, azaz 2.

8- Univerzális vagy referenciakészlet

Az univerzális halmaz az összes objektum gyűjteménye egy adott kontextusban vagy elméletben. A keret összes többi halmaza az univerzális hal részhalmazát képezi, amelyet dőlt betűvel jelölt U betű nevez.

Az U pontos meghatározása a vizsgált kontextustól vagy elmélettől függ. Például:

• U lehet a Föld bolygó összes élőlényének halmaza. Ebben az esetben az összes macska halmaza az U részhalmaza, az összes hal halmaza az U további részhalmaza.
• Ha U az összes állat halmaza a Földön, akkor az összes macskakészlet U részhalmaza, az összes hal halmaza az U további részhalmaza, de az összes fa halmaza nem U részhalmaza

9 - Átfedő vagy átfedő halmazok

Két halmazt, amelyeknek legalább egy eleme közös, átfedő halmazoknak nevezzük.

• Példa: Legyen X = {1, 2, 3} és Y = {3, 4, 5}

A két X és Y halmaznak van egy közös eleme, a 3-as szám. Ezért egymást átfedő halmazoknak nevezzük.

10- kongresszuskészletek.

Ezek azok a halmazok, amelyekben az A minden egyes eleme azonos távolsággal rendelkezik a B képi elemeivel.

• B {2, 3, 4, 5, 6} és A {1, 2, 3, 4, 5}

A 2 és 1, 3 és 2, 4 és 3, 5 és 4, 6 és 5 közötti távolság egy (1) egység, tehát A és B egymással összehangolt halmazok.

11- Nem kongruens készletek

Ezek olyanok, amelyekben az A elem egyes elemei közötti távolságviszony nem azonosítható a B-ben lévő képpel. Példa:

• B {2, 8, 20, 100, 500} és A {1, 2, 3, 4, 5}

A 2 és 1, 8 és 2, 20 és 3, 100 és 4, 500 és 5 közötti távolság eltérő, tehát A és B nem kongruens halmazok.

12- Homogén készletek

Az összes elem, amely a készletből áll, ugyanabba a kategóriába, műfajba vagy osztályba tartozik. Ugyanazon típusúak. Példa:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

A B összes eleme számok, tehát a halmaz homogénnek tekinthető.

13- Heterogén halmazok

A halmaz részét képező elemek különböző kategóriákba tartoznak. Példa:

• A {z, auto, π, épületek, blokk}

Nincs olyan kategória, amelyhez a halmaz összes eleme tartozik, tehát heterogén halmaz.

Irodalom

1. Brown, P. és munkatársai (2011). Készletek és Venn diagramok. Melbourne, Melbourne Egyetem.
2. Végkészlet. Helyreállítva: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. és Hoon, T (2009). Matematikai betekintés Másodlagosan normál (tudományos). Szingapúr, Pearson Education South Asia Pte Ld.
4. Helyreállítva a következőből: searchsecurity.techtarget.com.
5. A készletek típusai. Helyreállítva: math-only-math.com.