ANTIDERIVATÍV: KÉPLETEK ÉS EGYENLETEK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - MATEMATIKA - 2025

Az f (x) függvény F (x) antiderivatíváját szintén primitívnek vagy egyszerűen az említett függvény határozatlan integrálának nevezzük, ha egy adott I intervallumban teljesül, hogy F´ (x) = f (x)

Vegyük például a következő funkciót:

f (x) = 4x ³

Ennek a függvénynek az antiderivatívája az F (x) = x ⁴, mivel az F (x) differenciálásakor a hatalmak deriválási szabálya alapján:

Pontosan f (x) = 4x ³ -ot kapunk.

Ez azonban csak az f (x) sok antiderivatívájának egyike, mivel ez a másik funkció: G (x) = x ⁴ + 2 szintén azért van, mert amikor a G (x) x-et megkülönböztetjük, ugyanazt kapjuk vissza f (x).

Nézzük meg:

Ne feledje, hogy egy állandó deriváltja 0. Ezért bármilyen konstansot hozzáadhatunk az x ⁴ kifejezéshez, és annak deriváltja 4x ³ marad.

Megállapítottuk, hogy az F (x) = x ⁴ + C általános alak bármely függvénye, ahol C egy valós állandó, f (x) antiderivatívájaként szolgál.

A fenti szemléltető példát így lehet kifejezni:

dF (x) = 4x ³ dx

Az antiderivatívumot vagy a határozatlan integrált ∫ szimbólummal fejezzük ki, ezért:

F (x) = ∫ 4x ³ dx = x ⁴ + C

Ahol az f (x) = 4x ³ függvényt integrandnak nevezzük, C pedig az integráció állandóját.

Példák antiderivatívákra

1. ábra. Az antiderivatívum nem más, mint határozatlan integrál. Forrás: Pixabay.

Egyes esetekben egy funkció antiderivatívumának megtalálása egyértelmű, ha a származékok jól ismertek. Például engedjük, hogy az f (x) = sin x függvény legyen, annak antiderivatívája egy másik F (x) függvény, oly módon, hogy differenciálva f (x) -ot kapunk.

Ez a funkció lehet:

F (x) = - cos x

Ellenőrizzük, hogy igaz-e:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Ezért tudunk írni:

Sensen x dx = -cos x + C

A származékok ismerete mellett van néhány alapvető és egyszerű integrációs szabály is az antiderivatívum vagy a határozatlan integrál megtalálásához.

Legyen k valós állandó, akkor:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Ha a h (x) függvény kifejezhető két függvény összeadásával vagy kivonásával, akkor határozatlan integrálja:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Ez a linearitás tulajdonsága.

Az integrálok hatalmi szabályát így lehet megállapítani:

N = -1 esetén a következő szabályt kell alkalmazni:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Könnyű bebizonyítani, hogy az ln x deriváltja pontosan x ^-1.

Differenciál egyenletek

A differenciálegyenlet az, amelyben az ismeretlen származékként található.

Az előző elemzésből kiderül, hogy a deriváltnak fordított művelete az antiderivatív vagy határozatlan integrál.

Legyen f (x) = y´ (x), vagyis egy adott függvény deriváltja. A következő jelölést használhatjuk a származék jelölésére:

Az azonnal következik, hogy:

A differenciálegyenlet ismeretlen az y (x) függvény, amelynek származéka f (x). Megoldásához az előző kifejezést mindkét oldal integrálja, ami egyenértékű az antiderivatívum alkalmazásával:

A bal oldali integrált az 1. integrációs szabály oldja meg k = 1 értékkel, így megoldva a kívánt ismeretlent:

És mivel C egy valós állandó, tudni kell, hogy melyik a megfelelő minden esetben, az utasításnak elegendő kiegészítő információt kell tartalmaznia a C érték kiszámításához. Ezt nevezzük a kezdeti feltételnek.

Mindezen alkalmazásokra példákat látunk a következő szakaszban.

Antiderivatív gyakorlatok

- 1. Feladat

Az integrációs szabályokat alkalmazva kapja meg az adott függvények következő antiderivatívumait vagy határozatlan integrálokat, az eredmények minél egyszerűbbé tétele mellett. Kényelmes az eredményt deriválással ellenőrizni.

2. ábra. Az antiderivatívumok vagy a meghatározott integrálok gyakorlása. Forrás: Pixabay.

Megoldás

Először a 3. szabályt alkalmazzuk, mivel az integrand két kifejezés összegét tartalmazza:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Az első integrálra a teljesítményszabály vonatkozik:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

A második integrált 1. szabályt alkalmazzuk, ahol k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

És most az eredmények hozzáadódnak. A két állandó egybe van csoportosítva, általánosan C néven:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

B. Megoldás

Linearitás szerint ez az integrál három egyszerűbb integrálásra bontható, amelyekre a teljesítményszabályt kell alkalmazni:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Vegye figyelembe, hogy minden egyes integrálnál állandó az integráció, ám ezek egyetlen C hívással találkoznak.

C. Megoldás

Ebben az esetben kényelmes a szorzás elosztó tulajdonságát alkalmazni az integrand kifejlesztésére. Ezután a hatalomszabályt alkalmazzuk az egyes integrálok külön-külön történő megtalálására, mint az előző gyakorlatban.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

A figyelmes olvasó megjegyzi, hogy a két központi kifejezés hasonló, ezért azok integrálása előtt csökkennek:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

E. Megoldás

Az integrál megoldásának egyik módja az erő fejlesztése, amint ezt a d) példában tettük. Mivel azonban az exponens magasabb, tanácsos a változót megváltoztatni, hogy ne kelljen ilyen hosszú fejlesztést végezni.

A változó változása a következő:

u = x + 7

Ezt a kifejezést mindkét fél számára:

du = dx

Az integrált egyszerűbbé alakítja az új változóval, amelyet a teljesítményszabály segítségével oldunk meg:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Végül a változás visszatér az eredeti változóhoz való visszatéréshez:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- 2. gyakorlat

Egy részecske kezdetben nyugalomban van, és az x tengely mentén mozog. Gyorsulását t> 0 esetén az a (t) = cos t függvény adja. Ismert, hogy t = 0-nál a helyzet x = 3, a Nemzetközi Rendszer egységeiben. Megkérjük, hogy keresse meg a részecske v (t) sebességét és x (t) helyzetét.

Megoldás

Mivel a gyorsulás az idő függvényében az első deriváció, a következő differenciálegyenlet létezik:

a (t) = v´ (t) = cos t

Ebből következik, hogy:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Másrészt tudjuk, hogy a sebesség viszont a pozíció deriváltja, ezért újraintegrálunk:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Az integráció állandói az állításban megadott információk alapján kerülnek meghatározásra. Először is azt mondja, hogy a részecske kezdetben nyugalomban volt, tehát v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Akkor x (0) = 3 van:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

A sebesség- és helyzetfunkciók határozottan a következők:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Irodalom

1. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoral Nemzeti Egyetem.
2. Larson, R. 2010. Egy változó kiszámítása. 9.. Kiadás. McGraw Hill.
3. Matematika szabad szövegek. Antiderivatives. Helyreállítva: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivált. Helyreállítva: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Határtalan integráció. Helyreállítva: es.wikipedia.org.