KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ: KÉPLETEK, SZÁMÍTÁS, ÉRTELMEZÉS, PÉLDA - DUDAS - 2026

A statisztikai korrelációs együttható olyan mutató, amely megmutatja két X és Y kvantitatív változó hajlamát arra, hogy közöttük lineáris vagy arányos kapcsolat legyen.

Általában az X és Y változópárok ugyanazon populáció két jellemzője. Például X lehet egy személy magassága és Y súlya.

1. ábra. Korrelációs együttható négy adatpárra (X, Y). Forrás: F. Zapata.

Ebben az esetben a korrelációs együttható azt jelzi, hogy van-e tendencia egy adott populációban a magasság és a tömeg közötti arányos kapcsolat felé.

Pearson lineáris korrelációs koefficiense r kisbetűvel van jelölve, minimális és maximális értéke pedig -1 és +1.

Az r = +1 érték azt jelzi, hogy az (X, Y) párok halmaza tökéletesen illeszkedik, és amikor X növekszik, Y ugyanolyan arányban növekszik. Másrészt, ha történt, hogy r = -1, akkor a párok halmaza is tökéletesen igazodik, de ebben az esetben, ha X növekszik, Y ugyanolyan arányban csökken.

2. ábra. A lineáris korrelációs együttható különböző értékei. Forrás: Wikimedia Commons.

Másrészt az r = 0 érték azt jelzi, hogy az X és Y változók között nincs lineáris korreláció. Míg r = +0,8 érték azt jelzi, hogy az (X, Y) párok hajlamosak az egyik oldalán csoportosulni, és egy másik vonal.

Az r korrelációs együttható kiszámítására szolgáló képlet a következő:

Hogyan lehet kiszámítani a korrelációs együtthatót?

A lineáris korrelációs együttható egy statisztikai mennyiség, amelyet beépítenek a tudományos számológépekbe, a legtöbb táblázatba és a statisztikai programokba.

Kényelmes azonban tudni, hogy hogyan alkalmazza azt a képletet, amely azt definiálja, és ehhez egy kis adatsoron elvégzett részletes számítás kerül bemutatásra.

És ahogy az előző szakaszban elmondták, a korrelációs együttható az Sxy kovariancia, elosztva az X változók S és az Y változó Sx szórásainak szorzatával.

Kovariancia és variancia

A Sxy kovariancia:

Sxy = / (N-1)

Ahol az összeg 1-től N adatpárig terjed (Xi, Yi). és az Xi és Yi adatok számtani közepei.

Az X változó standard eltérése a Xi adatkészlet szórásának négyzetgyöke, i-vel 1-től N-ig:

Sx = √

Hasonlóképpen, az Y változó szórása a Yi adatkészlet szórásának négyzetgyöke, i-vel 1-től N-ig:

Sy = √

Szemléltető eset

Annak érdekében, hogy részletesen megmutassuk, hogyan kell kiszámítani a korrelációs együtthatót, a következő négy adatpárt vesszük

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) és (4, 7)}.

Először kiszámoljuk X és Y számtani átlagát az alábbiak szerint:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Ezután kiszámítják a fennmaradó paramétereket:

Kovariancia Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10,5 / 3 = 3,5

A szórás Sx

Sx = √ = √ = 1,29

Szabványos szórás Sy

Sx = √ =

√ = 2,75

R korrelációs együttható

r = 3,5 / (1,29 * 2,75) = 0,98

Értelmezés

Az előző eset adatsorában erőteljes lineáris összefüggést figyeltünk meg az X és Y változók között, ami egyaránt megjelenik a szórási diagramban (az 1. ábrán látható) és a korrelációs együtthatóban, amely egy érték nagyon közel áll az egységhez.

Amennyiben a korrelációs együttható közelebb van 1-hez vagy -1-hez, annál értelmesebb az adatok sorba illesztése, a lineáris regresszió eredménye.

Lineáris regresszió

A lineáris regressziós vonalat a legkisebb négyzetek módszerével kapjuk. amelyben a regressziós vonal paramétereit az N adatok becsült Y értéke és Yi közötti különbség négyzetének összegének minimalizálásával nyerik.

Másrészt az y = a + bx regressziós vonal a és b paraméterei, amelyeket a legkisebb négyzetek módszerével kaptak, a következők:

* b = Sxy / (Sx ²) a lejtőn

* a = - b a regressziós vonal és az Y tengely metszéspontjára.

Emlékezzünk arra, hogy Sxy a fent definiált kovariancia, és Sx ² a fent definiált szórás szórása vagy négyzete. és az X és Y adatok számtani közepei.

Példa

A korrelációs együtthatót annak meghatározására használják, hogy két változó között van-e lineáris korreláció. Ez akkor alkalmazandó, ha a vizsgált változók mennyiségi jellegűek, továbbá feltételezzük, hogy normál típusú eloszlást követnek.

Az alábbiakban bemutatunk egy szemléltető példát: az elhízás mértékének mértéke a testtömeg-index, amelyet úgy kapunk, hogy az ember súlyát kilogrammban elosztjuk négyzetméter mértékegységük négyzetméretével.

Szeretné tudni, hogy van-e szoros kapcsolat a testtömeg-index és a vérben a HDL-koleszterin koncentrációja között, millimól literben mérve. Ebből a célból tanulmányt készítettek 533 embertől, amelyet a következő grafikon foglal össze: minden pont egy személy adatait ábrázolja.

3. ábra: A BMI és a HDL koleszterin vizsgálata 533 betegnél. Forrás: Aragóni Egészségtudományi Intézet (IACS).

A grafikon gondos megfigyelése azt mutatja, hogy van egy bizonyos (nem nagyon markáns) lineáris trend a HDL koleszterin koncentráció és a testtömeg index között. Ennek a trendnek a kvantitatív mértéke a korrelációs együttható, amely ebben az esetben r = -0,276.

Irodalom

1. González C. Általános statisztikák. Helyreállítva: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IIER. Aragóni Egészségtudományi Intézet. Helyreállítva: ics-aragon.com
3. Salazar C. és Castillo S. A statisztika alapelvei. (2018). Helyreállítva: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Korrelációs együttható. Helyreállítva: superprof.es
5. USAC. Leíró statisztikai kézikönyv. (2011). Helyreállítva: statistika.ingenieria.usac.edu.gt
6. Wikipedia. Pearson korrelációs együtthatója. Helyreállítva: es.wikipedia.com.