MEGHATÁROZÁSI EGYÜTTHATÓ: KÉPLETEK, SZÁMÍTÁS, ÉRTELMEZÉS, PÉLDÁK - DUDAS - 2026

A meghatározási együttható egy 0 és 1 közötti szám, amely azon pontok (X, Y) hányadát képviseli, amelyek követik az adatkészlet illesztésének regressziós sorát két változóval.

Az is ismert, mint az illeszkedés és a jelöli R ². Ennek kiszámításához a regressziós modell által becsült Ŷi adatok varianciája és az adatok Xi-jének megfelelő Yi adatok szórása közötti hányadot kell venni.

R ² = SY / Sy

1. ábra. Négy adatpár korrelációs együtthatója. Forrás: F. Zapata.

Ha az adatok 100% -a a regressziós függvény vonalán van, akkor a meghatározási együttható 1 lesz.

Éppen ellenkezőleg, ha egy adatsorra és egy bizonyos illeszkedési függvényre az R ² együttható 0,5-nek mutatkozik, akkor azt mondhatjuk, hogy az illeszkedés 50% -nak megfelelő vagy jó.

Hasonlóképpen, ha a regressziós modell 0,5-nél alacsonyabb R ² értékeket ad, ez azt jelzi, hogy a választott beállítási funkció nem alkalmazkodik kielégítően az adatokhoz, ezért meg kell keresni egy másik beállítási funkciót.

És amikor a kovariancia vagy a korrelációs együttható általában nulla, akkor a változók X és Y az adatok független, és így R ² szintén általában nulla.

Hogyan lehet kiszámítani a meghatározási együtthatót?

Az előző szakaszban azt mondták, hogy a meghatározási együtthatót úgy kell kiszámítani, hogy meghatározzuk a varianciák hányadosát:

- Az Y változó regressziós függvénye

-A Yi változó értéke, amely az N adatpár Xi minden változójának felel meg.

Matematikai szempontból így néz ki:

R ² = SY / Sy

Ebből a képletből következik, hogy R ² jelentése az aránya a variancia magyarázható a regressziós modell. Alternatív megoldásként az R ² kiszámítása az alábbi képlettel történik, amely teljesen megegyezik az előzővel:

R ² = 1 - (Sε / Sy)

Ahol Sε az εi = Ŷi - Yi maradványok szórását jelenti, míg Sy az adatok Yi értékeinek halmazát jelenti. Az Ŷi meghatározására a regressziós függvényt alkalmazzuk, amely azt jelenti, hogy Ŷi = f (Xi).

Az Yi adatkészlet szórását i-vel 1-ről N-re a következő módon kell kiszámítani:

Sy =

És akkor hasonló módon járjon el az Sŷ vagy az Sε esetében.

Szemléltető eset

Annak érdekében, hogy megmutassuk a meghatározási együttható kiszámításának részleteit, a következő négy adatpárt vesszük:

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) és (4, 7)}.

Ehhez az adatkészlethez lineáris regressziós illesztést javasolunk, amelyet a legkisebb négyzetek módszerével kapunk:

f (x) = 2,1 x - 1

Ezt a beállítási funkciót alkalmazva a nyomatékot kapjuk:

(X, Ŷ): {(1, 1.1); (2, 3.2); (3, 5.3) és (4, 7.4)}.

Ezután kiszámoljuk X és Y számtani átlagát:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Variance Sy

Sy = / (4-1) =

= = 7583

Variancia Sŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7,35

Meghatározási együttható R ²

R ² = SY / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97

Értelmezés

Az előző szegmensben szemléltetett esethez tartozó meghatározási együttható 0,98 volt. Más szavakkal, a függvényen keresztüli lineáris beállítás:

f (x) = 2,1x-1

98% -ban megbízható abban, hogy megmagyarázza azokat az adatokat, amelyekkel a legkisebb négyzetek módszerével nyertük.

A meghatározási együttható mellett van egy lineáris korrelációs együttható, vagy más néven Pearson-együttható. Ezt az együtthatót, r-rel jelölve, a következő összefüggéssel kell kiszámítani:

r = Sxy / (Sx Sy)

Itt a számláló az X és Y változók közötti kovarianciát képviseli, míg a nevező az X változó standard deviációjának és az Y változó standard eltérésének szorzata.

Pearson-együttható értéke -1 és +1 között lehet. Ha ez az együttható +1-re hajlik, akkor közvetlen lineáris korreláció van X és Y között. Ha inkább -1-re hajlik, akkor van egy lineáris korreláció, de amikor X növekszik, Y csökken. Végül, közel 0-hoz, nincs korreláció a két változó között.

Meg kell jegyezni, hogy a meghatározási együttható egybeesik a Pearson együttható négyzetével, csak akkor, ha az elsőt egy lineáris illesztés alapján számították ki, de ez az egyenlőség nem vonatkozik más nemlineáris illesztésekre.

Példák

- 1. példa

A középiskolás diákok egy csoportja elhatározta az inga periódusának empirikus törvényét annak hosszának függvényében. E cél elérése érdekében mérések sorozatát hajtják végre, amelyben mérik az inga lengésének idejét különböző hosszúságokra, a következő értékekkel:

Hossz (m)	Időszak (ok)
0.1	0.6
0.4	1.31
0.7	1,78
egy	1.93
1.3	2.19
1.6	2,66
1.9	2,77
3	3,62

Felkérjük, hogy készítsen szórási diagramot az adatokból, és végezzen egy lineáris illesztést regresszió segítségével. Mutassa meg a regressziós egyenletet és annak meghatározási együtthatóját is.

Megoldás

2. ábra. Az 1. feladat megoldási grafikonja. Forrás: F. Zapata.

Meglehetősen magas (95%) meghatározási együtthatót lehet megfigyelni, így azt lehet gondolni, hogy a lineáris illeszkedés optimális. Ha azonban a pontokat együtt nézzük, úgy tűnik, hogy hajlamosak lefelé görbülni. Ezt a részletet a lineáris modell nem veszi figyelembe.

- 2. példa

Az 1. példában szereplő adatokhoz készítsen egy szórt diagramot az adatokból. Ebben az esetben, az 1. példával ellentétben, regressziós korrekciót kell kérni egy potenciális függvény felhasználásával.

3. ábra. A 2. feladat megoldási grafikonja. Forrás: F. Zapata.

Mutassa meg az illesztési funkciót és annak meghatározási együtthatóját R ².

Megoldás

A potenciális függvény f (x) = ^B tengely alakú, ahol A és B olyan állandók, amelyeket a legkisebb négyzetek módszerével határoznak meg.

Az előző ábra a potenciális funkciót és annak paramétereit, valamint a meghatározási együtthatót mutatja nagyon magas, 99% -os érték mellett. Vegye figyelembe, hogy az adatok a trendvonal görbületét követik.

- 3. példa

Az 1. és a 2. példa ugyanazon adatainak felhasználásával végezzen egy második fokú polinom illesztést. Mutassa a grafikonot, az illeszkedő polinomot és a megfelelő R ² meghatározási együtthatót.

Megoldás

4. ábra: A 3. feladat megoldási grafikonja. Forrás: F. Zapata.

A második fokú polinom illesztéssel láthat egy trendvonalat, amely jól illeszkedik az adatok görbületéhez. A meghatározási együttható emellett a lineáris illeszkedés felett és a potenciális illesztés alatt van.

Fit összehasonlítás

A bemutatott három illeszkedés közül a legnagyobb a meghatározási együtthatója a potenciális illeszkedés (2. példa).

A potenciál illeszkedése egybeesik az inga fizikai elméletével, amely - amint az ismert - megállapítja, hogy az inga periódusa arányos a hosszának négyzetgyökével, az arányosság állandója 2π / √g, ahol g a gravitáció gyorsulása.

Az ilyen típusú potenciális illeszkedés nemcsak a legnagyobb meghatározási együtthatóval rendelkezik, hanem az exponencia és az arányosság konstansa megegyezik a fizikai modellel.

Következtetések

-A regressziós beállítás meghatározza annak a funkciónak a paramétereit, amelynek célja az adatok magyarázata a legkisebb négyzetek módszerével. Ez a módszer azt jelenti, hogy minimalizáljuk az adatkorrekció Y értéke és az Yi értéke közötti kvadratikus különbség összegét az adatok Xi értékeihez. Ez határozza meg a hangolási funkció paramétereit.

- Mint láttuk, a leggyakoribb beállítási függvény a vonal, de nem ez az egyetlen, mivel a kiigazítások polinomiális, potenciális, exponenciális, logaritmikus és mások is lehetnek.

- Mindenesetre a meghatározási együttható az adatoktól és a kiigazítás típusától függ, és jelzi az alkalmazott kiigazítás jóságát.

-Végül, a meghatározási együttható az adatok Y-értéke közötti teljes variabilitás százalékát mutatja az adott X-hez igazítás Ŷ-értékéhez viszonyítva.

Irodalom

1. González C. Általános statisztikák. Helyreállítva: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IIER. Aragóni Egészségtudományi Intézet. Helyreállítva: ics-aragon.com
3. Salazar C. és Castillo S. A statisztika alapelvei. (2018). Helyreállítva: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Meghatározási együttható. Helyreállítva: superprof.es
5. USAC. Leíró statisztikai kézikönyv. (2011). Helyreállítva: statistika.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Meghatározási együttható. Helyreállítva: es.wikipedia.com.