HÁNY MEGOLDÁST TARTALMAZ EGY MÁSODLAGOS EGYENLET? - MATEMATIKA - 2025

A kvadratikus egyenletnek vagy a kvadratikus egyenletnek lehet nulla, egy vagy két valós megoldása, az említett egyenletben szereplő együtthatók függvényében.

Ha összetett számokon dolgozik, akkor elmondhatja, hogy minden másodlagos egyenletnek két megoldása van.

Először: a kvadratikus egyenlet az ax² + bx + c = 0 alak egyenlete, ahol a, b és c valós számok és x változó.

Azt mondják, hogy x1 az előző kvadratikus egyenlet megoldása, ha az x helyett x1 helyettesíti az egyenletet, azaz ha a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Ha például az x²-4x + 4 = 0 egyenlettel rendelkezik, akkor x1 = 2 megoldás, mivel (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Éppen ellenkezőleg, ha az x2 = 0-et helyettesítjük, akkor (0) ²-4 (0) + 4 = 4-et kapunk, és mivel 4 ≠ 0, akkor x2 = 0 nem a kvadratikus egyenlet megoldása.

A kvadratikus egyenlet megoldásai

A másodlagos egyenlet megoldásainak száma két esetre osztható:

egy.-

Ha valós számokkal dolgozik, a kvadratikus egyenletek rendelkezhetnek:

-Nulla megoldás: vagyis nincs olyan valós szám, amely kielégíti a kvadratikus egyenletet. Például az x² + 1 = 0 egyenlettel megadott egyenletnek nincs olyan valós száma, amely kielégíti az említett egyenletet, mivel mindkét x² nagyobb vagy nagyobb, mint nulla, és 1 szigorúan nagyobb, mint nulla, tehát összegük nagyobb lesz szigorú, mint nulla.

- Ismétlődő megoldás: van egy valós érték, amely kielégíti a kvadratikus egyenletet. Például az x²-4x + 4 = 0 egyenletre az egyetlen megoldás az x1 = 2.

-Két különböző megoldás: Két érték kielégíti a kvadratikus egyenletet. Például az x² + x-2 = 0 két különböző megoldással rendelkezik, amelyek x1 = 1 és x2 = -2.

2.- Komplex számokban

Ha összetett számokkal dolgozik, a kvadratikus egyenleteknek mindig két megoldása van: z1 és z2, ahol z2 a z1 konjugátuma. Az alábbiakba is sorolhatók:

-Komplexek: a megoldások z = p ± qi formájúak, ahol p és q valós számok. Ez az eset megegyezik az előző lista első esetével.

- Tiszta komplexek: amikor a megoldás valós része nulla, azaz a megoldás formája z = ± qi, ahol q egy valós szám. Ez az eset megegyezik az előző lista első esetével.

-Komplexek, amelyek képzeletbeli része nulla: ha a megoldás komplex része nulla, azaz a megoldás valós szám. Ez az eset megfelel az előző lista utolsó két esetének.

Hogyan találhatók meg a másodfokú egyenlet megoldásai?

A kvadratikus egyenlet megoldásainak kiszámításához az "oldószer" néven ismert képletet kell használni, amely szerint az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldásait a következő képen szereplő kifejezés adja:

A négyzetgyökön belül megjelenő mennyiséget a kvadratikus egyenlet diszkriminátoraként nevezzük, és "d" betűvel jelöljük.

A másodfokú egyenlet a következőkkel rendelkezik:

- Két valós megoldás akkor és csak akkor, ha d> 0.

-A valódi megoldás ismétlődik, ha és csak akkor, ha d = 0.

- Nulla valós megoldás (vagy két komplex megoldás) akkor és csak akkor, ha d <0.

Példák:

-A x² + x-2 = 0 egyenlet megoldásait az alábbiak adják:

-A x²-4x + 4 = 0 egyenletnek ismétlődő megoldása van, amelyet az alábbiak adnak:

-A x² + 1 = 0 egyenlet megoldásait az alábbiak adják:

Amint az utóbbi példában látható, x2 az x1 konjugátuma.

Irodalom

1. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
3. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., és Estrada, R. (2005). Matematika 1. szeptember. Küszöb.
5. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Olyan egyszerű. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria. Pearson oktatás.