KURTOSIS: MEGHATÁROZÁS, TÍPUSOK, KÉPLETEK, PÉLDA ERRE - DUDAS - 2026

A kurtosis vagy kurtosis egy statisztikai paraméter, amelyet egy véletlenszerű változó valószínűség-eloszlásának jellemzésére használnak, jelezve az értékek koncentrációjának a központi mértéke körüli mértékét. Ezt más néven "csúcsminőségűnek" hívják.

A kifejezés a görög "kurtos" -ból származik, amely ívelt jelent, tehát a kurtosis jelzi az eloszlás mutató vagy laposságát, ahogy az a következő ábrán látható:

1. ábra. Különböző típusú kurtosis. Forrás: F. Zapata.

Egy véletlenszerű változó szinte minden értéke hajlamos egy olyan középső érték köré csoportosulni, mint az átlag. De egyes eloszlásokban az értékek szétszórtabbak, mint másokban, laposabb vagy vékonyabb görbéket eredményezve.

Meghatározás

A kurtosis az egyes frekvenciaeloszlásokra jellemző numerikus érték, amelyeket az értékek koncentrációja szerint az átlag körül három csoportba sorolnak:

- Leptokurtic: amelyben az értékek nagyon csoportosulnak az átlag körül, tehát az eloszlás meglehetősen hegyes és karcsú (1. ábra, balra).

- Mesocúrtic: mérsékelt koncentrációval rendelkezik az átlag körül (1. ábra a közepén).

- Platicúrtica: ennek az eloszlásnak szélesebb alakja van, mivel az értékek hajlamosabbak vannak szétszórva (1. ábra jobbra).

Képletek és egyenletek

A kurtózisnak korlátozások nélkül bármilyen értéke lehet. Számítását az adatok továbbításának módjától függően hajtják végre. Az egyes esetekben használt jelölés a következő:

-Kartózis-tényező: g ₂

-Aritmetikai átlag: X vagy x sávval

-I-edik érték: x _i

-Standard eltérés: σ

-Az adatok száma: N

- Az i. Érték gyakorisága: f _i

-Osztály márka: mx _i

Ezzel a jelöléssel bemutatjuk a leggyakrabban használt képleteket a kurtosis megállapításához:

- Kurtosis az adatok bemutatása szerint

Az adatok nem csoportosítva vagy csoportosítva vannak a frekvenciákban

Az adatok időközönként vannak csoportosítva

Túlzott kurtosis

Fisher-féle célzási együtthatónak vagy Fisher-mérőnek is nevezik, és arra használják, hogy összehasonlítsák a vizsgált eloszlást a normál eloszlással.

Ha a felesleges kurtosis 0, akkor normál eloszlás vagy Gauss-csengő jelenlétében vagyunk. Ilyen módon, amikor kiszámítják az eloszlás felesleges kurtózisát, valójában összehasonlítjuk azt a normál eloszlással.

Mind a nem csoportosított, mind az összevont adatok esetében Fisher mutató koefficiense, K-vel jelölve:

K = g ₂ - 3

Most kimutatható, hogy a normál eloszlás kurtosisa 3, tehát ha a Fisher mutató együtthatója 0 vagy közel 0, és mezokruktikus eloszlás van. Ha K> 0, akkor az eloszlás leptokurtikus, és ha K <0, akkor platicúrtikus.

Mi a kurtosis?

A kurtosis a változékonyság mérőszáma, amelyet az eloszlás morfológiájának jellemzésére használnak. Ilyen módon lehet összehasonlítani az azonos átlaggal és ugyanazzal a szórással (a szórás által megadott) szimmetrikus eloszlásokat.

A változékonyság mérése biztosítja az átlagok megbízhatóságát, és segít az eloszlás változásainak ellenőrzésében. Példaként nézzük meg ezt a két helyzetet.

3 osztály fizetése

Tegyük fel, hogy az alábbi ábra ugyanazon vállalat 3 osztályának fizetési eloszlását mutatja:

2. ábra. Három eloszlás különböző kurtózissal szemlélteti a gyakorlati helyzeteket. (Készítette: Fanny Zapata)

Az A görbe a legvékonyabb, és formájából arra lehet következtetni, hogy a részleg legtöbb bére nagyon közel áll az átlaghoz, ezért a legtöbb alkalmazott hasonló kompenzációt kap.

A B osztályban a bérgörbe a normál eloszlást követi, mivel a görbe mezokurtikus, amelyben feltételezzük, hogy a bérek véletlenszerű eloszlása ​​volt.

És végül megvan a C görbe, amely nagyon lapos, jele annak, hogy ebben az osztályban a fizetés tartomány sokkal szélesebb, mint a többiben.

A vizsga eredményei

Tegyük fel, hogy a 2. ábra három görbéje egy adott tantárgy három csoportjának hallgatóinak elvégzett vizsga eredményeit képviseli.

A csoport, amelynek értékelését az A leptokurtic görbe képviseli, meglehetősen homogén, a többség átlagos vagy közeli minősítést kapott.

Az is lehetséges, hogy az eredmény az volt, hogy a tesztkérdések többé-kevésbé azonos nehézségi fokúak voltak.

Másrészről, a C csoport eredményei nagyobb heterogenitást mutatnak a csoportban, amely valószínűleg átlagos diákokat, néhány kedvezőbb helyzetű és természetesen kevésbé figyelmes csoportot tartalmaz.

Vagy azt is jelentheti, hogy a tesztkérdések nagyon különböző nehézségi fokúak.

A B görbe mezokutikus, jelezve, hogy a teszt eredményei a normál eloszlást követik. Ez általában a leggyakoribb eset.

Működő példa a kurtózisra

Keresse meg a fizikai vizsga során egy hallgatócsoport számára a következő osztályzatokra vonatkozó Fisher pontozási együtthatóját 1-10 skálán:

Megoldás

Az előző szakaszokban megadott nem csoportosított adatokra a következő kifejezést kell használni:

K = g ₂ - 3

Ez az érték lehetővé teszi, hogy megismerje a disztribúció típusát.

A g ₂ kiszámításához célszerű rendben, lépésről lépésre elvégezni, mivel több számtani műveletet kell megoldani.

1. lépés

Először kiszámítják az évfolyamok átlagát. N = 11 adat van.

2. lépés

Megtalálható a szórás, amelyre ezt az egyenletet alkalmazzák:

σ = 1,992

Vagy készíthet egy táblát is, amely szintén szükséges a következő lépéshez, és amelybe a szükséges összegzések minden egyes kifejezése meg van írva, kezdve (x _i - X), majd (x _i - X) ² majd (x _i - X) ⁴:

3. lépés

Végezzük el a g ₂ képlet számlálójában feltüntetett összeget. Ehhez az előző táblázat jobb oszlopának eredményét kell használni:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Így:

g ₂ = (1/11) x /1.992 290,15 ⁴ = 1.675

Fisher mutató együtthatója:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Érdekes az eredmény jele, amely, mivel negatív, egy platicúrtikus eloszlásnak felel meg, amelyet úgy lehet értelmezni, mint az előző példában történt: valószínűleg ez egy heterogén kurzus különböző érdeklődésű fokozatú hallgatókkal, vagy a vizsgakérdések különböző nehézségi fokú.

Az olyan táblázatok, mint például az Excel használata nagyban megkönnyíti az ilyen típusú problémák megoldását, és lehetőséget kínál a terjesztés ábrázolására is.

Irodalom

1. Levin, R. 1988. Statisztikák az adminisztrátorok számára. 2.. Kiadás. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Helyreállítva: Economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetry and kurtosis. Helyreállítva: statiszticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Döntéshozatal a menedzsmentben. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Helyreállítva: en.wikipedia.org.