MATEMATIKAI ELVÁRÁSOK: KÉPLET, TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK, GYAKORLAT - DUDAS - 2026

Az X véletlen változó matematikai várakozását vagy várható értékét E (X) -vel jelöljük, és a véletlen esemény bekövetkezésének valószínűsége és az említett esemény szorzata közötti szorzatként definiáljuk.

Matematikai formában a következőképpen fejezik ki:

1. ábra. A matematikai elvárásokat széles körben használják a tőzsdén és a biztosításban. Forrás: Pixabay.

Ahol x _i az esemény értéke és P (x _i) annak bekövetkezésének valószínűsége. Az összegzés kiterjed az összes X értékre, és ha ezek végesek, akkor a megadott összeg konvergál az E (X) értékkel, de ha az összeg nem konvergál, akkor a változónak egyszerűen nincs várt értéke.

Ha ez egy folyamatos x változó, akkor a változónak végtelen értékei lehetnek, és az integrálok helyettesítik az összegzéseket:

Itt f (x) képviseli a valószínűségi sűrűségfüggvényt.

Általában véve a matematikai elvárás (amely súlyozott átlag) nem egyenlő a számtani átlaggal vagy az átlaggal, kivéve, ha olyan diszkrét eloszlásokkal foglalkozunk, amelyekben minden esemény egyformán valószínű. Akkor, és csak akkor:

Ahol n a lehetséges értékek száma.

A koncepció nagyon hasznos a pénzügyi piacokon és a biztosítótársaságokon, ahol gyakran nincs bizonyosság, de vannak valószínűségek.

A matematikai elvárások tulajdonságai

A matematikai elvárások legfontosabb tulajdonságai között kiemelkednek a következők:

- Jel: ha X pozitív, akkor E (X) is pozitív.

- Állandó várható értéke: k valós állandó várható értéke az állandó.

- Linearitás az összegben: egy véletlenszerű változó várakozása, amely viszont két X és Y változó összegét jelenti, a várakozások összege.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Szorzás konstanssal: ha a véletlen változó kX formájú, ahol k állandó (valós szám), akkor a várt értéken kívül esik ki.

- A termék várható értéke és a változók közötti függetlenség: ha egy véletlen változó az X és Y véletlen változók szorzata, amelyek függetlenek, akkor a termék várható értéke a várt értékek szorzata.

Általában, ha Y = g (X):

- Rendezés várható értékben: ha X ≤ Y, akkor:

Mivel vannak mindegyikük várható értékei.

A fogadás matematikai elvárása

Amikor a híres csillagász Christian Huygens (1629-1695) nem figyelt az égbolton, több tudományág mellett a szerencsejátékok valószínűségének tanulmányozására szentelte magát. Ez volt az, aki bevezette 1656-ban a matematikai remény fogalmát: Érvelés a szerencsejátékokról.

2. ábra. Christiaan Huygens (1629-1625) ragyogó és sokoldalú tudós volt, akinek tartozunk a várható érték fogalmának.

Huygens megállapította, hogy a fogadások a várt érték alapján három módon osztályozhatók:

-Játékok előnnyel: E (X)> 0

- Tisztességes fogadások: E (X) = 0

-Játék hátrányos helyzetben: E (X) <0

A probléma az, hogy egy szerencsejátékban a matematikai elvárásokat nem mindig könnyű kiszámítani. És amikor csak tudsz, az eredmény néha csalódást okoz azok számára, akik kíváncsi, hogy fogadnak-e vagy sem.

Próbáljunk meg egy egyszerű tét: fej vagy farok és a vesztes fizet 1 dollár kávét. Mi a fogadás várható értéke?

Nos, a fejek gördülésének valószínűsége ½, ami megegyezik a farokkal. A véletlen változó 1 dollár nyereséget vagy 1 dollár veszteséget jelent, a nyereséget a + jel, a veszteséget pedig a jel jelöli.

Az információkat egy táblázatban rendezzük:

Szorozzuk meg az oszlopok értékeit: 1. ½ = ½ és (-1). ½ = -½, és végül hozzáadjuk az eredményeket. Az összeg 0 és tisztességes játék, amelyben a résztvevők várhatóan sem nyernek, sem veszítenek.

A francia rulett és a lottó hátrányos játékok, amelyekben a legtöbb fogadó veszít. Később egy kissé összetettebb tét van a megoldott gyakorlatok részben.

Példák

Íme néhány egyszerű példa, amelyekben a matematikai elvárások intuitív koncepciója tisztázza a fogalmat:

1. példa

Először egy becsületes halál dobásával kezdjük. Mi az indulás várható értéke? Nos, ha a szerszám becsületes és 6 fejjel rendelkezik, akkor az a valószínűsége, hogy bármely érték (X = 1, 2, 3… 6) gördül, 1/6, így:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

3. ábra: Az őszinte szerszámgömbön a várt érték nem lehetséges érték. Forrás: Pixabay.

A várt érték ebben az esetben megegyezik az átlaggal, mivel mindkét oldal azonos valószínűséggel lép ki. De az E (X) nem lehetséges érték, mivel egyetlen fej sem ér 3.5 értéket. Néhány eloszlásban ez teljesen lehetséges, bár ebben az esetben az eredmény nem sokkal segíti a fogadót.

Nézzünk meg egy másik példát a két érme dobásával kapcsolatban.

2. példa

Két becsületes érmét dobnak a levegőbe, és az X véletlen változót a hengerelt fejek számával határozzuk meg. A következő események fordulhatnak elő:

-Nem fej áll fel: 0 fej, ami megegyezik a 2 farokkal.

- 1 fej és 1 bélyeg vagy farok jön ki.

- Két arc jelenik meg.

Legyen C egy fej és T egy pecsét, ezeket az eseményeket leíró mintaterület a következő:

S _m = {Seal-Seal; Seal-Face; Arc-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Az események valószínűsége a következő:

P (X = 0) = P (T), P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C) P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C), P (C) = ½. ½ = ¼

A táblázat a kapott értékekkel van felépítve:

Az elején megadott meghatározás szerint a matematikai elvárást a következőképpen kell kiszámítani:

Helyettesítő értékek:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ezt az eredményt a következőképpen kell értelmezni: ha egy embernek elegendő ideje van sok kísérlet elvégzésére a két érme dobásával, akkor várhatóan megkapja a fejét minden egyes dobásnál.

Tudjuk azonban, hogy 2 címkével történő kiadás teljesen lehetséges.

A feladat megoldódott

Két becsületes érme dobásakor a következő tét történik: ha 2 fej jön ki, akkor 3 dollárt nyer, ha 1 fej jön ki, akkor 1 dollárt nyer, de ha két bélyeg jön ki, 5 dollárt kell fizetnie. Számítsa ki a fogadás várható nyereményét.

4. ábra. A fogadástól függően a matematikai elvárások megváltoznak, amikor két őszinte érmét dobnak. Forrás: Pixabay.

Megoldás

Az X véletlen változó az az érték, amelyet a pénz vesz a tétben, és a valószínűségeket az előző példában kiszámították, tehát a tét táblázat:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Mivel a várt érték 0, ez tisztességes játék, tehát itt a fogadónak várhatóan nem nyer és nem veszít sem. A tét összegét azonban megváltoztathatjuk, hogy a tét hátrányos vagy hendikep játék legyen.

Irodalom

1. Brase, C. 2009. Érthető statisztika. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Bevezetés a véletlen változó várható értékének vagy matematikai elvárásának fogalmába. Helyreállítva: personal.us.es.
3. Statisztika LibreTexts. A diszkrét véletlenszerű változók várható értéke. Helyreállítva: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elemi statisztikák. 11-én. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a tudomány és a technika számára. 8.. Kiadás. Pearson oktatás.