YOUNG MODULJA: SZÁMÍTÁS, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2025

A Youngi-modulus vagy rugalmassági modulus az az állandó, amely a húzót vagy a kompressziót összekapcsolja a hosszúság megfelelő növekedésével vagy csökkenésével, amelynek tárgya ezen erő alatt van.

A tárgyakra kifejtett külső erők nemcsak megváltoztathatják mozgásuk állapotát, hanem képesek megváltoztatni alakjukat, akár törni vagy törni is.

1. ábra. A macska mozgása tele van rugalmassággal és kegyelemmel. Forrás: Pixabay.

A Young modulusát megvizsgálják az anyagban bekövetkező változások, amikor külső szakító- vagy nyomóerőt alkalmaznak. Nagyon hasznos olyan témákban, mint a mérnöki munka vagy az építészet.

A modell a nevét Thomas Young (1773-1829) brit tudósának köszönheti, aki az egyik olyan anyagvizsgálatot végzett, amely a különféle anyagok merevségének mérését javasolta.

Mi a Young modellje?

Young modellje a merevség mértékét mutatja. Az alacsony merevségű (piros) anyagokban nagyobb deformáció van meghosszabbítás vagy nyomóterhelés alatt. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Mennyit deformálhat egy tárgy? Ezt a mérnökök gyakran meg akarják tudni. A válasz az anyag tulajdonságaitól és a méretétől függ.

Össze lehet hasonlítani például két, különböző méretű alumínium rudat. Mindegyik eltérő keresztmetszetű és hosszúságú, és mindkettőnek ugyanaz a húzóerő van kitéve.

A várható viselkedés a következő:

- Minél nagyobb a rúd vastagsága (keresztmetszete), annál kevésbé nyújtható.

- Minél hosszabb a kezdeti hosszúság, annál nagyobb a végső szakasz.

Ennek van értelme, mert elvégre a tapasztalatok azt mutatják, hogy egy gumiszalag deformálása nem ugyanaz, mint egy acélrúddal való próbálkozás.

Az anyag rugalmassági modulusának nevezett paraméter jelzi annak rugalmasságát.

Hogyan számítják ki?

Orvosként Young meg akarta tudni az artériák rugalmasságának szerepét a vérkeringés jó teljesítményében. Tapasztalatai alapján a következő empirikus kapcsolatot fejezte be:

Grafikusan ábrázolhatjuk az anyag viselkedését stressz hatása alatt, ahogy az a következő ábrán látható.

2. ábra: Az anyag feszültségének és feszültségének grafikonja. Forrás: saját készítésű.

A származástól az A pontig

Az első szakaszban, amely a kiindulási ponttól az A pontig megy, a grafikon egy egyenes. A Hooke törvény ott érvényes:

F = kx

Ahol F az az erő, amely visszaállítja az anyagot eredeti állapotába, x az általa tapasztalt deformáció, és k állandó, amely a stressznek kitett tárgytól függ.

Az itt figyelembe vett deformációk kicsik és a viselkedés tökéletesen rugalmas.

A-ból B-be

A-tól B-ig az anyag rugalmasan viselkedik, de a stressz és a feszültség közötti kapcsolat már nem lineáris.

B-től C-ig

A B és a C pont között az anyag folyamatosan deformálódik, és nem képes visszatérni eredeti állapotába.

C-től

Ha az anyag tovább nyúlik a C ponttól, akkor az eltörik.

Matematikailag Young megfigyelései a következőképpen foglalhatók össze:

Stressz in Feszültség

Ahol az arányosság állandója pontosan az anyag rugalmassági modulusa:

Stressz = Rugalmasság modulusa x Deformáció

Az anyagok deformálásának számos módja van. A stressz három leggyakoribb típusa, amely egy tárgynak van kitéve:

- Feszültség vagy nyújtás.

- Tömörítés.

- Vágás vagy nyírás.

Az egyik stressz, amelyet az anyagok általában ki vannak téve, például a polgári építésben vagy az autóalkatrészekben, a vontatás.

képletek

Amikor egy L hosszúságú tárgy meg van feszítve vagy feszítve, akkor olyan vonóerőnek van kitéve, amely hosszának változását okozza. A helyzet diagramját a 3. ábra szemlélteti.

Ez megköveteli, hogy a végére F nagyságrendű erőt alkalmazzon terület egységenként a nyújtáshoz, oly módon, hogy új hossza L + DL legyen.

A tárgy deformálására tett erőfeszítés csak ez az egységnyi területre eső erő, míg a tapasztalt feszültség ΔL / L.

3. ábra: Egy vontatásnak vagy nyújtásnak kitett tárgy meghosszabbodást tapasztal. Forrás: saját készítésű.

Young modulusának Y-ként való kifejezése és a fentiek szerint:

A válasz abban rejlik, hogy a törzs a relatív törzset jelzi az eredeti hosszához viszonyítva. Ez nem ugyanaz, mint egy 1 m-es rudak, amelyek meghosszabbodnak vagy összehúzódnak 1 cm-rel, mivel a 100 méter hosszú szerkezet ugyanúgy deformálódik 1 cm-rel.

Az alkatrészek és szerkezetek megfelelő működéséhez tűréshatár van a megengedett relatív deformációkkal szemben.

Az egyenlet a deformáció kiszámításához

Ha a fenti egyenletet a következőképpen elemezzük:

- Minél nagyobb a keresztmetszet, annál kisebb az alakváltozás.

- Minél hosszabb, annál nagyobb a deformáció.

- Minél nagyobb a Young modulus, annál kisebb a deformáció.

A stressz mértékegységei newton / négyzetméternek felelnek meg (N / m ²). Ezenkívül ezek a nyomás mértékegységei is, amelyek a Nemzetközi Rendszerben Pascal nevet viselnek. Az ΔL / L törzs viszont nem méretező, mert két hosszúság hányadosa.

Az angol rendszer egységei lb / in ^2, és ezeket szintén nagyon gyakran használják. Az egyikre a másikra való átváltási tényező: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Ez azt eredményezi, hogy a Young modulusának nyomásegysége is van. Végül, a fenti egyenlet kifejezhető Y-re történő megoldás céljából:

Az anyagtudományban ezeknek a különféle erőfeszítésekre adott rugalmas reagálása fontos az egyes alkalmazásokhoz legmegfelelőbb kiválasztáshoz, legyen szó repülőgép-szárny gyártásáról vagy gépjármű-csapágy gyártásáról. A felhasználásra kerülő anyag tulajdonságai meghatározóak az elvárt válasz szempontjából.

A legjobb anyag kiválasztásához meg kell ismerni azokat a feszültségeket, amelyeknek egy bizonyos darabot ki kell vetni; és következésképpen válassza ki azt az anyagot, amelynek a tulajdonságai a legjobban megfelelnek a tervnek.

Például a repülőgép szárnyának erősnek, könnyűnek és hajlékonynak kell lennie. Az épületek építéséhez felhasznált anyagoknak nagyrészt ellen kell állniuk a szeizmikus mozgásoknak, ám ezeknek is rugalmasnak kell lenniük.

A repülőgép szárnyait tervező mérnököknek, valamint azoknak, akik építőanyagokat választanak, a 2. ábrán bemutatotthoz hasonló módon kell használniuk a feszültség-törés grafikonokat.

Az anyag legfontosabb elasztikus tulajdonságainak meghatározása speciális laboratóriumokban végezhető. Ezért vannak szabványosított tesztek, amelyeknek alávetik a mintákat, amelyekre különféle feszültségeket kell alkalmazni, majd megmérik a kapott deformációkat.

Példák

Mint már fentebb említettük, az Y nem a tárgy méretétől vagy alakjától függ, hanem az anyag tulajdonságaitól.

Egy másik nagyon fontos megjegyzés: Ahhoz, hogy a fenti egyenlet alkalmazható legyen, az anyagnak izotropnak kell lennie, vagyis tulajdonságainak változatlanoknak kell maradniuk.

Nem minden anyag izotropikus: vannak olyanok, amelyek rugalmas reakciója bizonyos irányparaméterektől függ.

Az előző szegmensekben elemzett deformáció csak egy a sok közül, amelyeknek az anyag ki lehet téve. Például a nyomóterhelés szempontjából ez ellentétes a húzófeszültséggel.

A megadott egyenletek mindkét esetben érvényesek, és Y értékei szinte mindig azonosak (izotrop anyagok).

Figyelemre méltó kivétel a beton vagy a cement, amely jobban ellenáll a nyomásnak, mint a tapadásnak. Ezért meg kell erősíteni, ha a nyújtáshoz ellenállás szükséges. Erre az anyag az acél, mivel nagyon jól ellenáll a nyújtásnak vagy a tapadásnak.

A stressznek kitett szerkezetekre példaként említhetők az oszlopok és ívek, a klasszikus építőelemek sok ősi és modern civilizációban.

4. ábra: A Pont Julien, római építkezés Kr. E. 3-ból Dél-Franciaországban.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

A hangszerben lévő 2,0 m hosszú acélhuzal 0,03 mm sugarú. Ha a kábel 90 N feszültség alatt van: mennyi változik a hossza? Adatok: Young acélmodulja 200 x ¹⁰⁹ N / m ²

Megoldás

Ki kell számolni a keresztmetszeti területet A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x 10 - ⁹ m ²

A stressz egy egységnyi területre eső stressz:

Mivel a húr feszültség alatt áll, ez azt jelenti, hogy meghosszabbodik.

Az új hosszúság L = L _o + DL, ahol L _o a kezdeti hosszúság:

L = 2,32 m

2. gyakorlat

A márványoszlop, amelynek keresztmetszeti területe 2,0 m ^2, 25 000 kg tömegű. Megtalálja:

a) A gerinc erőfeszítései.

b) Törzs.

c) Mennyivel rövidebb az oszlop, ha magassága 12 m?

Megoldás

a) Az oszlop erőfeszítése a 25000 kg súlyának köszönhető:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Ezért az erőfeszítés:

b) A törzs ΔL / L:

c) ΔL a hosszúság variációja:

ΔL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x ^10-5 m = 0,0294 mm.

A márványoszlop várhatóan nem csökken jelentősen. Vegye figyelembe, hogy bár Young modulusa alacsonyabb a márványban, mint az acélban, és hogy az oszlop sokkal nagyobb erőt is támogat, hosszúsága szinte nem változik.

Másrészt, az előző példa kötélénél a variáció sokkal érzékenyebb, bár az acél sokkal magasabb Young modulusmal rendelkezik.

Nagy keresztmetszeti területe beavatkozik az oszlopba, ezért sokkal kevésbé deformálható.

Thomas Youngról

1822-ben Thomas Young arcképe. Thomas Lawrence / Nyilvános

A rugalmassági modulust Thomas Young (1773-1829), a sokoldalú brit tudós elnevezése alapján kapta, aki sok területen nagyban hozzájárult a tudományhoz.

Fizikusként Young nem csak a fényhullám jellegét tanulmányozta, amelyet a híres kettős résű kísérlet mutatott ki, hanem orvos és nyelvész, és még a híres Rosetta-kőn még az egyiptomi hieroglifák megismerésében is segített.

Tagja volt a Királyi Társaságnak, a Svéd Királyi Tudományos Akadémiának, az Amerikai Művészeti és Tudományos Akadémiának vagy a Francia Tudományos Akadémianak, többek között a nemesi tudományos intézményeknek.

Meg kell azonban jegyezni, hogy a modell koncepcióját korábban Leonhar Euler (1707-1873) fejlesztette ki, és hogy a tudósok, mint például Giordano Riccati (1709-1790), már elvégeztek egy kísérletet, amely Young modelljét a gyakorlatba átültette..

Irodalom

1. Bauer, W. 2011. Fizika a mérnöki és tudományos munkához. 1. kötet. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fizika: alapelvek alkalmazásokkal. Hatodik kiadás. Prentice Hall. 238-249.