- Sarrus szabály
- A determinánsok típusai
- Az 1. dimenzió meghatározója
- A 2. dimenzió meghatározója
- A 3. dimenzió meghatározója
- Irodalom
A 3 × 3 determinánsok eredményének kiszámításához a Sarrus szabályt kell használni. Ezeket használják a lineáris egyenletek megoldására és annak kompatibilitására.
A kompatibilis rendszerek megkönnyítik a megoldás beszerzését. Ezeket arra is használják, hogy meghatározzák, hogy a vektorkészletek lineárisan függetlenek-e, és hogy képezzék a vektortér alapját.
Ezek az alkalmazások a mátrixok megfordíthatatlanságán alapulnak. Ha a mátrix szabályos, akkor annak determinánsa különbözik a 0-tól. Ha szinguláris, akkor a determináns értéke 0. A determinánsok csak négyzetes mátrixokban számíthatók ki.
Bármely rendű mátrixok kiszámításához a Laplace-tétel felhasználható. Ez a tétel lehetővé teszi a nagy dimenziós mátrixok egyszerűsítését olyan kis determinánsok összegében, amelyeket a fő mátrixból lebontunk.
Azt állítja, hogy a mátrix determinánsa egyenlő az egyes sorok vagy oszlopok szorzatának szorzatával, szorozva a szomszédos mátrix determinánsának.
Ez csökkenti a determinánsokat úgy, hogy az n fokú determináns az n-1 n meghatározójává válik. Ha ezt a szabályt egymás után alkalmazzuk, akkor meghatározhatjuk a 2. (2 × 2) vagy a 3. (3 × 3) dimenzió meghatározóit, ahol számítása sokkal könnyebb.
Sarrus szabály
Pierre Frederic Sarrus 19. századi francia matematikus volt. A matematikai értekezésének többsége az egyenletek megoldási módszerein és a variációk számításán alapszik, a numerikus egyenletekön belül.
Az egyik értekezésében a mechanika egyik legbonyolultabb rejtvényét oldotta meg. A csuklós darabok problémáinak megoldására Sarrus bevezette az alternatív egyenes vonalú mozgások átalakítását, egyenletes kör alakú mozgásokkal. Ezt az új rendszert Sarrus mechanizmusnak nevezik.
A matematikus számára a leghíresebb kutatás az volt, amelyben a determinánsok kiszámításának új módszerét vezette be a „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations” (Új egyenletmegoldási módszer) cikkben, amelyet az 1833. év. A lineáris egyenletek megoldásának ilyen módját Sarrus szabályának nevezik.
A Sarrus-szabály lehetővé teszi a 3x3-as mátrix determinánsának kiszámítását, anélkül, hogy Laplace-tételt kellene használni, és egy sokkal egyszerűbb és intuitívabb módszert vezet be. Sarrus szabályának ellenőrzéséhez a 3. dimenzió bármely mátrixát vesszük:
Meghatározó tényezőjének kiszámítása a fő átlóságainak szorzata alapján történik, kivonva a fordított átlók szorzatát. Ez a következő lenne:
Sarrus szabálya lehetővé teszi számunkra, hogy sokkal könnyebb látást szerezzünk a determináns átlóinak kiszámításakor. Egyszerűbbé válna az, ha az első két oszlopot hozzáadjuk a mátrix hátoldalához. Ilyen módon világosabbá válik, hogy mely termékek fõ átlói és melyek inverzek a termék kiszámításához.
Ezen a képen láthatjuk Sarrus szabályának alkalmazását, az 1. és a 2. sort is belefoglalva a kezdeti mátrix grafikus ábrázolása alá. Ily módon a fő átlók a három átló, amelyek először jelennek meg.
A három hátsó átló viszont azok, amelyek először jelennek meg a hátulján.
Ilyen módon az átlók vizuálisabban jelennek meg, anélkül, hogy megnehezítik a determináns felbontását, és megpróbálják kideríteni, hogy a mátrix mely elemei tartoznak az egyes átlókhoz.
Amint az a képen látható, kiválasztjuk az átlókat és kiszámoljuk az egyes függvények eredményét. A kék színű átlók összeadják azokat. Ezek összegére kivonjuk a vörös színű átlók értékét.
A tömörítés megkönnyítése érdekében numerikus példát használhatunk, ahelyett, hogy algebrai és altermékeket használnánk.
Ha például bármilyen 3 × 3 mátrixot veszünk:
A Sarrus szabályának alkalmazásához és szemrevételezésebb módon történő megoldásához az 1. és a 2. sort a 4. és az 5. sorba kell foglalni. Fontos, hogy az 1. sor a 4., a 2. sor az 5. helyzetben maradjon. Mivel ha cseréljük őket, a Sarrus-szabály nem lesz hatékony.
A determináns kiszámításához a mátrixunk a következő lenne:
A számítás folytatásához meg fogjuk szorozni a fő átlós elemek elemeit. A balról induló leszármazottak pozitív jele lesz; míg a jobbról induló fordított átlók negatív jellel vannak ellátva.
Ebben a példában a kéknek pozitív jele van, a pirosnak pedig negatív jele van. A Sarrus-szabály végső kiszámítása így néz ki:
A determinánsok típusai
Az 1. dimenzió meghatározója
Ha a mátrix mérete 1, akkor a mátrix így néz ki: A = (a)
Ezért annak meghatározója a következő lenne: det (A) = -A- = a
Összefoglalva: az A mátrix determinánsa megegyezik az A mátrix abszolút értékével, amely ebben az esetben a.
A 2. dimenzió meghatározója
Ha átjutunk a 2. dimenzió mátrixaiba, akkor a következő típusú mátrixokat kapjuk:
Ahol annak meghatározója meghatározásra kerül:
Ennek a determinánsnak a felbontása a fő átlójának szorzásán alapszik, kivonva a szoros átló szorzását.
Mnemonikusként az alábbi diagram segítségével emlékezhetünk annak meghatározójára:
A 3. dimenzió meghatározója
Ha a mátrix mérete 3, a kapott mátrix ilyen típusú lenne:
Ennek a mátrixnak a meghatározóját Sarrus szabálya alapján oldják meg:
Irodalom
- Jenny Olive (1998) Matematika: A tanulók túlélési útmutatója. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30 másodperces matematika: A matematika 50 legjobban szem előtt tartó elmélete. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) Tanulmány a 3 × 3 mátrix determinánsainak kiszámításáról. Lap Lambert Tudományos Kiadó.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinánsok és mátrixok. Pass közzététel.
- Jesse Russell (2012) Sarrus szabálya.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Bevezetés a lineáris algebrába. ESIC szerkesztőség.