KÖRKÖRÖS PERMUTÁCIÓK: BIZONYÍTÉK, PÉLDÁK, MEGOLDOTT GYAKORLATOK - DUDAS - 2026

A körkörös permutációk a halmaz összes elemének különféle csoportosítási módjai, amikor körökbe rendezik őket. Az ilyen permutációban a sorrend számít, és az elemek nem ismétlődnek.

Tegyük fel például, hogy szeretné tudni az egytől négyig terjedő számjegyek elkülönített tömbjeinek számát, és mindegyik számot rombusz egyik csúcsába kell helyezni. Ez összesen 6 intézkedés lenne:

Nem szabad összekeverni, hogy az első számú esetben a rombusz felső pozíciója minden esetben rögzített helyzetben van. A körkörös permutációkat nem változtatja meg a tömb forgása. A következők egy vagy ugyanazon permutáció:

Demo és képletek

A rombusz csúcsain elhelyezkedő különféle négyjegyű kör alakú tömbök példájában a tömbök (6) száma így található:

1- A négy számjegy bármelyikét veszi ki kezdőpontként bármelyik csúcsnál, és a következő csúcsra lép. (nem számít, ha az óramutató járásával megegyezően vagy az óramutató járásával megegyezően van elforgatva)

2- 3 lehetőség van hátra a második csúcs kiválasztására, akkor 2 lehetőség van a harmadik csúcs kiválasztására, és természetesen csak egy választási lehetőség van a negyedik csúcshoz.

3- Így a (4 - 1) P (4 - 1) -vel jelölt kör alakú permutációk számát az egyes pozíciókban szereplő választási lehetőségek szorzata adja:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 különböző négyjegyű kör alakú tömb.

Általában a kör összes permutációja, amelyet egy halmaz összes n elemével el lehet érni:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Vegye figyelembe, hogy (n - 1)! Ezt n tényezőnek nevezik, és az összes szám szorzatát rövidíti az (n - 1) számtól az első számig, beleértve.

Példák

1. példa

Hány különböző módon kell 6 embernek ülnie egy kör alakú asztalnál?

Meg szeretné találni, hogy hányféle módon ülhet egy kerek asztal körül 6 ember.

Ülési módok száma = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Ülési módok száma = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 különféle módon

2. példa

Hány különböző módon kell öt embernek elhelyezkednie egy ötszög csúcsán?

Az ötszög mindegyik csúcsán 5 ember elhelyezkedésének módját kell megkeresni.

A helymeghatározási lehetőségek száma = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

A helymeghatározási lehetőségek száma = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 különböző út

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Az ékszerész 12 különféle drágakövet szerez be, hogy azokat az óra órájára tegye, amelyet egy európai ország királyi házának elõkészítése céljából készít.

a) Hányféle módon kell elrendeznie a köveket az órán?

b) Hány különböző alakú, ha a tizenkét óráig tartó kő egyedi?

c) Hány különböző alakú, ha a kő 12-kor egyedülálló, és a kő a másik három sarokpontban (3, 6 és 9 órakor); Van három különleges kő, amelyek cserélhetők, és a többi órát a többi kőből osztják ki?

megoldások

a) Az összes kört az óra kerületén elrendezésének módját kérik; vagyis az összes rendelkezésre álló kört tartalmazó kör alakú elrendezések száma.

Az órák elrendezéseinek száma = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Az óra javításai száma = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Az órák elrendezéseinek száma = 39976800 különböző alak

b) Kíváncsi, hogy létezik-e különféle rendrendelési mód, tudva, hogy a 12 órás fogantyún található kő egyedi és rögzített; azaz a fennmaradó 11 köveket tartalmazó kör alakú elrendezések száma.

Az órák elrendezéseinek száma = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Az órás javítások száma = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Az órák elrendezéseinek száma = 3 628 800 különböző alak

c) végül az összes kő megrendelésének számos módját keresik, kivéve a rögzített 12 órát, a 3, 6 és 9 követ, amelyekben 3 követ kell egymáshoz rendelni; vagyis 3! elrendezési lehetőségek és a fennmaradó 8 kört tartalmazó kör alakú elrendezések száma.

Javítások száma az órában = 3! * = 3! * (8–1)!

Az órák elrendezéseinek száma = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Az órák elrendezéseinek száma = 241920 különböző alak

- 2. gyakorlat

A társaság irányítóbizottsága 8 tagból áll és ovális asztalnál ülnek.

a) Hány különböző formája van az asztal körül az elrendezésnek a bizottságban?

b) Tegyük fel, hogy az elnök bármelyik bizottsági ülésen az asztal elején ül, hány különféle elrendezési formát képvisel a bizottság többi tagja?

c) Tegyük fel, hogy az alelnök és a titkár az elnök mindkét oldalán ülnek bármely bizottsági ülésen.

megoldások

a) Meg akarjuk találni a különböző módszereket a bizottság 12 tagjának az ovális asztal körül történő elrendezésére.

A bizottsági megállapodások száma = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

A bizottsági megállapodások száma = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

A bizottsági megállapodások száma = 39976800 különféle forma

b) Mivel a bizottság elnöke rögzített helyzetben van, megkérdezzük, hogy hány módon rendezzük meg a fennmaradó 11 bizottsági tagot az ovális asztal körül.

A bizottsági megállapodások száma = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

A bizottsági megállapodások száma = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

A bizottsági megállapodások száma = 3 628 800 különféle forma

c) Az elnök rögzített helyzetben helyezkedik el, és oldalán az alelnök és a titkár két lehetőséggel rendelkezik: jobboldalon alelnök és bal oldalon titkárnő, baloldali alelnök és jobb oldalon titkárnő. Ezután meg akarja találni a különböző módszereket a bizottság fennmaradó 9 tagjának az ovális asztal körül történő elrendezésére, és meg kell szorozni az alelnök és a titkárnő két formájával.

A bizottsági megállapodások száma = 2 * = 2 *

A bizottsági ülések száma = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

A bizottsági megállapodások száma = 80640 különféle forma

Irodalom

1. Boada, A. (2017). Az ismétléses permutáció használata kísérletek oktatásaként. Vivat Academia Magazine. Helyreállítva a researchgate.net webhelyről.
2. Canavos, G. (1988). Valószínűség és statisztika. Alkalmazások és módszerek. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). A társadalomtudományokban nem alkalmazott statisztikai módszerek. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statisztika. Negyedik kiadás McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Igen, Ka. (2007). Valószínűség és statisztikák a mérnökök és tudósok számára. Nyolcadik Pearson Education Nemzetközi Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Az üzleti és a gazdasági statisztikák. Harmadik kiadás McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutáció. Helyreállítva az en.wikipedia.org webhelyről.