PERMUTÁCIÓK ISMÉTLÉS NÉLKÜL: KÉPLETEK, BIZONYÍTÁS, GYAKORLATOK, PÉLDÁK - DUDAS - 2026

Az n elem megismétlése nélküli permutáció a különféle elemek különböző csoportjai, amelyek abból származnak, hogy egyetlen elem nem ismétlődik meg, csak az elemek elhelyezési sorrendjének változtatásával.

Az ismétlés nélküli permutációk számának meghatározásához a következő képletet kell használni:

Pn = n!

Melyik kiterjesztett lenne Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Tehát az előző gyakorlati példában ezt a következőképpen alkalmaznánk:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 különféle négyjegyű szám.

Ezek összesen a 24 tömb: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Mint látható, semmilyen esetben sem ismétlődik, mivel 24 különböző szám.

Demo és képletek

24 Négy különböző ábra elrendezése

Konkrétabban elemezzük a 24 különböző négyjegyű elrendezés példáját, amelyek a 2468 számjegyűekből alakíthatók ki. Az elrendezések száma (24) a következőképpen ismert:

Az első számjegy kiválasztásához 4 lehetőség közül választhat, amelyből három opció marad a második kiválasztásához. Két számjegy már be van állítva, és 2 lehetőség marad a harmadik számjegy kiválasztására. Az utolsó számjegynek csak egy választási lehetősége van.

Ezért a permutációk számát, amelyet P4 jelöl, az egyes pozíciókban szereplő választási lehetőségek szorzata adja:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 különféle négyjegyű szám

Általában a különböző permutációk vagy elrendezések száma, amelyek végrehajthatók egy adott halmaz összes n elemével:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Az n kifejezés n faktornak nevezik, és az összes természetes szám szorzata, amely az n és az első szám között helyezkedik el, beleértve mindkettőt.

12 különféle ábra elrendezése

Tegyük fel, hogy szeretné tudni, hogy milyen permutációk vagy kétjegyű számok alakíthatók ki a 2468 számjegyével.

Ez összesen 12 intézkedés lenne: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

4 lehetőség közül választhat az első számjegy kiválasztásához, amelyből 3 számjegy marad a második kiválasztásához. Ezért a négy számból álló kettővel elvégzett permutációk számát, amelyeket 4P2-vel jelölnek, az egyes pozíciókban szereplő választási lehetőségek szorzata adja meg:

4P2 = 4 * 3 = 12 különböző kétjegyű szám

Általában az a különféle permutáció vagy elrendezés, amelyek egy adott halmazban összesen n elemével elvégezhetők:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

A fenti kifejezést az n! N teljesítéséhez! be kell írni:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Azok a tényezők, amelyeket hozzáadunk, viszont faktorokat képviselnek:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Így, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Innen

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Példák

1. példa

Hány különböző ötbetű betűkombinációt lehet készíteni a KEY szó betűivel?

Meg szeretnénk találni, hogy hány különböző betűből álló öt betű kombinációt lehet létrehozni a KEY szó öt betűjével; vagyis az ötbetű tömbök száma, amelyek tartalmazzák a KEY szóban rendelkezésre álló összes betűt.

5 betűs szó száma = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 különböző ötbetű betűkombináció.

Ezek a következők lennének: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… összesen 120 különféle betűkombináció.

2. példa

15 számozott golyó van, és szeretné tudni, hogy hány különféle 3 golyócsoportot lehet építeni a 15 számozott golyóval?

Meg szeretné találni a három gömbből álló csoportok számát, amelyeket a 15 számozott golyóval el lehet készíteni.

3 golyóból álló csoportok száma = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

3 golyóból álló csoportok száma = 15 * 14 * 13 = 2730 3 golyóból álló csoport

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

A gyümölcsbolt kiállítási standdal rendelkezik, amely egy sor rekeszből áll, amelyek a helyiség előcsarnokában helyezkednek el. Egy nap alatt a zöldség zöldségfélét megvásárolja: narancs, banán, ananász, körte és alma.

a) Hányféle módon kell megrendelnie a kiállítási standot?

b) Hányféle módon kell megrendelnie az állványt, ha az említett (5) gyümölcsön kívül azon a napon kapta: mangot, őszibarackot, szamócát és szőlőt (4)?

a) Szeretnénk megtalálni a megjelenítési sorban lévő összes gyümölcs rendezésének különböző módjait; vagyis az 5 gyümölcstermék elrendezéseinek száma, amely magában foglalja az adott napon az összes értékesíthető gyümölcsöt.

Az állvány elrendezésének száma = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Az állványrendezés száma = 120 módszer az állvány bemutatására

b) Szeretnénk megtalálni a különböző módok számát az összes gyümölcs megrendeléséhez a kijelző sorban, ha 4 további cikket adnának hozzá; vagyis a 9 gyümölcstermék elrendezéseinek száma, amely magában foglalja az adott napon az összes értékesíthető gyümölcsöt.

Az állvány elrendezésének száma = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Az állvány elrendezéseinek száma = 362 880 módszer az állvány bemutatására

2. gyakorlat

Egy kis élelmiszerboltnak van egy telek, amelyben elegendő hely van 6 jármű parkolására.

a) Hány különböző módon lehet megrendelni a járművek rendeltetését a telken?

b) Tegyük fel, hogy egy szomszédos földterületet szereznek, amelynek méretei lehetővé teszik a 10 jármű parkolását. Hány különböző jármű-elrendezési formát lehet választani?

a) Meg szeretnénk találni, hogy a földterületen elhelyezésre kerülő 6 jármű megrendelésének hány különféle módja van.

A 6 jármű elrendezéseinek száma = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

A 6 jármű elrendezéseinek száma = 720 különféle módon lehet megrendelni a 6 járművet a telekbe.

b) Szeretnénk megtalálni a 10 jármű megrendelésének különböző módjait, amelyek a telek kibővítése után elhelyezhetők a telekben.

A 10 jármű elrendezésének száma = P10 = 10!

A jármű elrendezésének száma = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

A 10 jármű elrendezéseinek száma = 3 628 800 különféle módon rendelhető meg a 10 jármű a földterületen.

3. gyakorlat

A virágüzlet 6 különböző színű virággal rendelkezik, hogy csak 3 színű nemzetek virágos zászlóit készítsék. Ha tudjuk, hogy a színek sorrendje fontos a zászlókban, a) Hány különböző zászló készíthető 3 színből a 6 rendelkezésre álló színben?

b) Az eladó 2 kiegészítő színű virágot vásárol a már meglévő 6-hoz, most hány különböző zászló készíthető 3 színből?

c) Mivel nyolc színben van, úgy dönt, hogy kibővíti zászlóinak kínálatát.Hány különböző négyszínű zászlót készíthet?

d) Hány a 2 színből?

a) Szeretnénk megtalálni a különböző színű, 3 színű zászló számát, amelyek a 6 rendelkezésre álló szín közül választhatók.

Háromszínű zászlók száma = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Háromszínű zászlók száma = 6 * 5 * 4 = 120 zászlók

b) Meg szeretné tudni, hogy hány különböző színű zászló létezik a 8 elérhető szín közül, amelyek elkészíthetők.

Háromszínű zászlók száma = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Háromszínű zászlók száma = 8 * 7 * 6 = 336 zászlók

c) Ki kell számítani a különböző négyszínű zászlók számát, amelyeket a 8 rendelkezésre álló szín közül választhat.

4 színű zászlók száma = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4 színű zászlók száma = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 zászlók

d) Meg szeretné határozni a készíthető különféle 2 színű zászlók számát, ha kiválasztja a 8 rendelkezésre álló szín közül.

2 színű zászló száma = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Kétszínű zászlók száma = 8 * 7 = 56 zászlók

Irodalom

1. Boada, A. (2017). Az ismétléses permutáció használata kísérletek oktatásaként. Vivat Academia Magazine. Helyreállítva a researchgate.net webhelyről.
2. Canavos, G. (1988). Valószínűség és statisztika. Alkalmazások és módszerek. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). A társadalomtudományokban nem alkalmazott statisztikai módszerek. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statisztika. Negyedik kiadás McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Igen, Ka. (2007). Valószínűség és statisztikák a mérnökök és tudósok számára. Nyolcadik Pearson Education Nemzetközi Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Az üzleti és a gazdasági statisztikák. Harmadik kiadás McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutáció. Helyreállítva az en.wikipedia.org webhelyről.