ELMÉLETI VALÓSZÍNŰSÉG: HOGYAN LEHET MEGSZEREZNI, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - DUDAS - 2026

Az S elméleti (vagy Laplace) valószínűségét, hogy az S eseménymintához tartozó E esemény bekövetkezzen, amelyben minden eseménynek azonos a valószínűsége, matematikai jelöléssel: P (E) = n (E) / N (S)

Ahol P (E) az E esemény lehetséges kimenetelének hányadosaként megadott valószínűség, amelyet n (E) -nek nevezünk, és elosztva az S mintaterületen található lehetséges eredmények N (S) számával.

1. ábra: A hatoldalas szerszám dobásakor az elméleti valószínűsége, hogy a három ponttal ellátott fej tetején van, ⅙. Forrás: Pixabay.

Az elméleti valószínűség 0 és 1 közötti valós szám, de gyakran százalékban fejezik ki, ebben az esetben a valószínűség 0 és 100% közötti érték lesz.

Az esemény bekövetkezésének valószínűségének kiszámítása nagyon sok területen, például kereskedelemben, biztosítótársaságokban, szerencsejátékokban és még sok másban nagyon fontos.

Hogyan szerezzük meg az elméleti valószínűséget?

Illusztráló eset a tombola vagy lottó eset. Tegyük fel, hogy 1000 jegyet adnak ki egy okostelefon sorsolásához. Mivel a rajz véletlenszerűen történik, bármelyik jegynek esélye van győztesre.

A következő elméleti valószínűség-számítás elvégzéséhez annak valószínűségének megállapítása érdekében, hogy egy 81-es számú jegyet vásárló személy nyertes:

P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%

A fenti eredményt a következőképpen értelmezzük: ha a sorsolást végtelenül sokszor megismételjük, akkor minden 1000-szeres 81-es jegyet átlagosan egyszer választunk ki.

Ha valaki valamilyen okból megvásárolja az összes jegyet, akkor biztos lehet abban, hogy megnyerte a díjat. A díj nyerésének valószínűségét, ha az összes jegy megvan, az alábbiak szerint számítják ki:

P (1000) = 1000/1000 = 1 = 100%.

Vagyis az 1 vagy 100% valószínűség azt jelenti, hogy teljesen biztos, hogy ez az eredmény megtörténik.

Ha valaki 500 jegy tulajdonosa, akkor a nyerés vagy a veszítés esélye azonos. A díj elnyerésének elméleti valószínűségét ebben az esetben a következőképpen kell kiszámítani:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Aki nem vásárol jegyet, nincs esélye megnyerni, és elméleti valószínűségét a következőképpen határozza meg:

P (0) = 0/1000 = 0 = 0%

Példák

1. példa

Van egy érme, egyik oldalán arccal, másik oldalán pajzs vagy pecsét. Az érme dobásakor mi az elméleti valószínűsége annak, hogy az érmék felbukkannak?

P (arc) = n (arc) / N (arc + pajzs) = ½ = 0,5 = 50%

Az eredményt a következőképpen kell értelmezni: ha hatalmas számú dobálást hajtanak végre, akkor átlagosan minden 2 dobásnál egyikük fejlõdik.

Százalékban kifejezve az eredményt úgy értelmezzük, hogy egy végtelenül nagy számú dobás esetén átlagosan 100 közül 50-ből 50 vezet fejet.

2. példa

Egy dobozban 3 kék golyó, 2 piros golyó és 1 zöld van. Mi az elméleti valószínűsége annak, hogy ha kivesz egy márványt a dobozból, akkor piros lesz?

2. ábra. A színes gömbök kinyerésének valószínűsége. Forrás: F. Zapata.

Az a valószínűsége, hogy vörös színűvé válik:

P (piros) = a kedvező esetek száma / a lehetséges esetek száma

Vagyis:

P (piros) = a piros gömbök száma / a gömbök teljes száma

Végül a vörös márvány húzásának valószínűsége:

P (piros) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Míg annak valószínűsége, hogy egy zöld márvány rajzolásakor:

P (zöld) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Végül a vakolat kivonásánál a kék márvány megszerzésének elméleti valószínűsége:

P (kék) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Vagyis minden 2 próbálkozás esetén az eredmény kék lesz az egyikben és egy másik színben egy másik kísérletben, azzal a feltevéssel, hogy az extrahált márvány helyére kerül, és hogy a kísérletek száma nagyon-nagyon nagy.

Feladatok

1. Feladat

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a sajtológörgő 4-nél kisebb vagy annál nagyobb értéket kap.

Megoldás

Az esemény bekövetkezésének valószínűségének kiszámításához az elméleti valószínűség meghatározását kell alkalmazni:

P (≤4) = a kedvező esetek száma / a lehetséges esetek száma

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

2. gyakorlat

Keresse meg annak a valószínűségét, hogy egy normál hatszögű szerszám két egymást követő dobásakor az 5 ötször kétszer gurul.

Megoldás

A feladat megválaszolásához készítsen egy táblázatot, amely bemutatja az összes lehetőséget. Az első számjegy az első szerszám eredményét jelzi, a második a másik eredményét.

Az elméleti valószínűség kiszámításához meg kell tudnunk a lehetséges esetek számát, ebben az esetben, amint az az előző táblázatból látható, 36 lehetőség létezik.

A táblázatot is megfigyelve megállapítható, hogy a két egymást követő induláskor 5 eseményre kedvező esetek száma csak 1, színes színnel kiemelve, ezért ennek az eseménynek a valószínűsége:

P (5 x 5) = 1/36.

Ezt az eredményt el lehet érni az elméleti valószínűség egyik tulajdonságának felhasználásával is, amely kimondja, hogy két független esemény együttes valószínűsége az egyes valószínűségeik szorzata.

Ebben az esetben annak a valószínűsége, hogy az első dobás 5-es gurul, ⅙. A második dobás teljesen független az elsőtől, ezért az a valószínűsége, hogy az 5-et a másodikba gördítik, szintén ⅙. Tehát a kombinált valószínűség:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

3. gyakorlat

Keresse meg annak valószínűségét, hogy 2-nél kisebb szám gördül az első dobásnál, és 2-nél nagyobb szám gördül a második dobásnál.

Megoldás

Ismét el kell készíteni a lehetséges események tábláját, ahol alá vannak húzva azok, amelyekben az első dobás kevesebb volt, mint a 2, a másodikban pedig nagyobb, mint 2.

Összességében a 36-ból 4 lehetőség van. Vagyis ennek az eseménynek a valószínűsége:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

A valószínűségi tétel felhasználásával, amely kimondja:

Ugyanezt az eredményt kapjuk:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Az ezzel az eljárással kapott érték egybeesik az előző eredménnyel, a valószínűség elméleti vagy klasszikus meghatározása alapján.

4. gyakorlat

Mennyire valószínű, hogy két kocka gördítésekor az értékek összege 7.

Megoldás

A megoldás megtalálására ebben az esetben a lehetőségek táblázata készült, amelyekben színesként vannak jelölve azok az esetek, amelyek megfelelnek annak a feltételnek, hogy az értékek összege 7 legyen.

A táblázatot tekintve 6 eset számolható, tehát a valószínűsége:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Irodalom

1. Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum sorozat: Valószínűség. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. A valószínűség elmélete. Szerkesztői Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.