SZÁMLÁLÁSI TECHNIKÁK: TECHNIKÁK, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - DUDAS - 2026

A számlálási technikák egy valószínűségi módszer sorozatát képezik, amely megszámolja a lehetséges elrendezések számát egy objektumkészletben vagy több halmazban. Ezeket akkor használják, amikor a számlák manuális elvégzése sok objektum és / vagy változó miatt bonyolulttá válik.

Például a probléma megoldása nagyon egyszerű: képzelje el, hogy a főnöke kéri, hogy számolja meg az elmúlt órában megérkezett legújabb termékeket. Ebben az esetben megszámolhatja a termékeket egyenként.

Képzelje el azonban, hogy ez a probléma: a főnöke kéri, hogy számolja meg, hány öt azonos típusú termékből álló csoport alakítható ki azokkal, amelyek az elmúlt órában megérkeztek. Ebben az esetben a számítás bonyolult. Az ilyen típusú helyzetekre úgynevezett számlálási technikákat alkalmaznak.

Ezek a technikák különböznek, de a legfontosabb két alapelvre oszlik: a szorzó és az adalék; permutációk és kombinációk.

Szorzó elv

Alkalmazások

A szorzó elv az adalékanyaggal együtt alapvető fontosságú a számlálási technikák működésének megértéséhez. A szorzó esetében az alábbiakból áll:

Képzeljük el egy olyan tevékenységet, amely magában foglal egy meghatározott számú lépést (az összeget „r” -ként jelöljük), ahol az első lépés N1 módon hajtható végre, a második lépés N2 módban, az „r” lépés pedig számtalan módon. Ebben az esetben a tevékenységet a műveletből származó alakzatok számával hajthatjuk végre: N1 x N2 x ……….x Nr alakzatok

Ez az oka annak, hogy ezt az elvet szorzónak nevezzük, és ez azt jelenti, hogy a tevékenység elvégzéséhez szükséges minden egyes lépést egymás után kell végrehajtani.

Példa

Képzeljük el egy embert, aki iskolát akar építeni. Ehhez vegye figyelembe, hogy az épület alapja kétféle módon építhető fel: cementből vagy betonból. Ami a falakat illeti, cementből vagy téglából készülhetnek.

A tetőt illetően ez lehet cementből vagy horganyzott lemezből. Végül, a végső festés csak egy módon végezhető el. Felmerül a következő kérdés: Hány módon kell neki építenie az iskolát?

Először megvizsgáljuk a lépések számát, amelyek az alap, a falak, a tető és a festék lennének. Összesen 4 lépés, tehát r = 4.

Az alábbiakban felsoroljuk az N-ket:

N1 = az alap felépítésének módjai = 2

N2 = a falak építésének módja = 3

N3 = a tető elkészítésének módja = 2

N4 = festési módok = 1

Ezért a lehetséges alakzatok számát a fent leírt képlet alapján számítanák ki:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 iskolai oktatási módszer.

Az additív elv

Alkalmazások

Ez az elv nagyon egyszerű, és abban áll, hogy ha ugyanazon tevékenység elvégzéséhez többféle alternatíva áll fenn, akkor a lehetséges módszerek az alternatívák végrehajtásának különböző lehetséges módjainak összegéből állnak.

Más szavakkal, ha egy tevékenységet három alternatívával akarunk végrehajtani, ahol az első alternatíva M módon, a második N módon és az utóbbi W módon hajtható végre, a tevékenység elvégezhető: M + N + ……… + W alakú.

Példa

Képzeljük el ezúttal egy olyan személyt, aki teniszütőt akar vásárolni. Ehhez három márka közül választhat: Wilson, Babolat vagy Head.

Amikor elmész a boltba, észreveszi, hogy a Wilson ütő kétféle méretű fogantyúval vásárolható meg, L2 vagy L3 négy különböző modellben, és felfűzhető vagy megfeszíthető.

A Babolat ütőnek viszont három fogantyúja van (L1, L2 és L3), kétféle modell létezik, és ezenkívül húzható vagy megfeszíthető is.

A fej ütő, maga a rész, csak egy fogantyúval, az L2-vel, két különféle modellben kapható, és csak nem csavarozható. A kérdés: Hány módon lehet ennek a személynek megvásárolni ütőjét?

M = a Wilson ütő kiválasztásának módjainak száma

N = a Babolat ütő kiválasztásának lehetőségei

W = A fej ütő kiválasztásának módjai

A szorzó elvét hajtjuk végre:

M = 2 x 4 x 2 = 16 alak

N = 3 x 2 x 2 = 12 módon

S = 1 x 2 x 1 = 2 módon

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 módon választhat ütőt.

Annak megismeréséhez, hogy mikor kell alkalmazni a szorzót és az adalékanyagot, csak azt kell megvizsgálnia, hogy a tevékenységnek van-e végrehajtási lépése, és ha több alternatíva is létezik, akkor az adalékanyag.

permutációk

Alkalmazások

Ahhoz, hogy megértsük, mi a permutáció, fontos, hogy elmagyarázza, mi a kombináció, hogy megkülönböztesse őket és tudja, mikor kell használni őket.

A kombináció olyan elemek elrendezése lenne, amelyekben nem érdekel minket az a helyzet, amelyet mindegyikük elfoglal.

Másrészt a permutáció olyan elemek elrendezése lenne, amelyekben érdekli az a helyzet, amelyet mindegyikük elfoglal.

Tegyünk egy példát a különbség jobb megértése érdekében.

Példa

Képzeljük el egy 35 tanulói osztályt, amely a következő helyzetekben működik:

1. A tanár azt akarja, hogy három tanulója segítsen neki megőrizni az osztálytermet, vagy szükség esetén anyagot adja ki a többi tanulónak.
2. A tanár ki akarja nevezni az osztály küldötteit (elnököt, asszisztenst és pénzügyészt).

A megoldás a következő:

1. Képzeljük el, hogy szavazás útján Juanot, Maríát és Lucíát választják az osztály takarítására vagy az anyagok átadására. Nyilvánvaló, hogy a három lehetséges hallgató közül három csoportot is fel lehet alakítani.

Az alábbiakat kell feltennünk magunknak: az egyes hallgatók rendje vagy pozíciója fontos-e őket kiválasztva?

Ha gondolkodunk rajta, látjuk, hogy ez tényleg nem fontos, mivel a csoport egyformán felel a két feladatért. Ebben az esetben ez egy kombináció, mivel nem érdekli az elemek helyzete.

1. Képzeljük el tehát, hogy Juanot választják elnökének, Maria asszisztensnek, Lucia pedig pénzügyi szereplőnek.

Ebben az esetben a rendelés számít? A válasz igen, mert ha megváltoztatjuk az elemeket, akkor az eredmény is megváltozik. Vagyis ha ahelyett, hogy Juan-t elnökévé tennék, asszisztensnek, és María-t az elnöknek, a végső eredmény megváltozik. Ebben az esetben ez egy permutáció.

Amint megértjük a különbséget, megkapjuk a képleteket a permutációkhoz és a kombinációkhoz. Először azonban meg kell határoznunk az "n!" Kifejezést. (ene faktorialis), mivel ezt a különböző képletekben fogják használni.

n! = a termék 1-től n-ig.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

Használata valós számokkal:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

A permutációk képlete a következő:

nPr = n! / (nr)!

Ezzel megtudhatjuk az elrendezéseket, ahol a sorrend fontos, és ahol az n elem különbözik.

kombinációk

Alkalmazások

Mint korábban már kommentáltuk, a kombinációk olyan elrendezések, amelyekben nem érdekel az elemek elhelyezkedése.

A képlete a következő:

nCr = n! / (nr)! r!

Példa

Ha 14 diák akar önként jelentkezni az osztálytermi takarítás céljából, hány takarító csoportot lehet létrehozni, ha minden csoportnak 5 főnek kell lennie?

A megoldás tehát a következő:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 csoport

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

Forrás: Pixabay.com

Az anyja felkéri Nataliát, hogy menjen egy élelmiszerboltba, és vásároljon neki egy szódat a lehűléshez. Amikor Natalia italot kért a jegyzőtől, azt mondja, hogy négy üdítőital háromféle, háromféle és három méretű.

Az üdítő italok íze lehet: kóla, citrom, narancs és menta.

A kóla típusai lehetnek: szokásos, cukor- és koffeinmentes.

A méretek lehetnek: kicsi, közepes és nagy.

Natalia édesanyja nem határozta meg, hogy milyen üdítőt akar. Hány módon kell Natalinak megvennie az italt?

Megoldás

M = A kóla kiválasztásakor kiválasztható méret és típusszám.

N = A méret és típus száma, amelyet a citrom-szóda kiválasztásakor választhat.

W = A narancssárga szóda kiválasztásakor kiválasztható méret és típusszám.

Y = méret- és típusszám, amelyet kiválaszthat a menta szóda kiválasztásakor.

A szorzó elvét hajtjuk végre:

M = 3 × 3 = 9 módon

N = 3 × 3 = 9 módon

W = 3 × 3 = 9 módon

Y = 3 × 3 = 9 módon

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 módszer a szóda kiválasztására.

2. gyakorlat

Forrás: pixabay.com

Egy sportklub ingyenes hozzáférést biztosító műhelyeket hirdet a gyermekek számára korcsolyázás megtanulására. 20 gyermeket vesznek fel, ezért úgy döntenek, hogy felosztják őket tíz fő két csoportra, hogy az oktatók kényelmesebben tanítsák az osztályokat.

Viszont úgy döntenek, hogy meghúzzák, hogy melyik csoportba kerül minden gyermek. Hány különböző csoportba léphet be egy gyermek?

Megoldás

Ebben az esetben a válasz megtalálásának módja a kombinációs technika, amelynek képlete a következő volt: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (gyermekek száma)

r = 10 (csoportméret)

20C10 = 20! / (20-10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184 756 csoport.

Irodalom

1. Jeffrey, RC, Valószínűség és az ítélet művészete, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Bevezetés a valószínűségi elméletbe és annak alkalmazásába", (Vol. 1), 3. kiadás, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). Msgstr "Logikai alapok és a szubjektív valószínűség mérése". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert Robert.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Bevezetés a matematikai statisztikákba (6. kiadás). Felső Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) A sejtés tudománya: bizonyítékok és valószínűségek Pascal előtt, Johns Hopkins University Press.