ALAPÉRTELMEZETT ÉS FELESLEGES KÖZELÍTÉS: MI EZ ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2026

Az alul és a túl közelítés egy numerikus módszer, amellyel egy számot különböző pontossági skálák szerint lehet meghatározni. Például a 235,623 szám alapértelmezés szerint közel a 235,6-hoz és a túllépéshez képest 235,7-hez. Ha a tizedik részt hibának tekintjük.

A közelítés abban áll, hogy egy pontos számot helyettesítünk egy másikval, ahol az említett helyettesítésnek meg kell könnyítenie egy matematikai feladat működését, megőrizve a probléma szerkezetét és lényegét.

Forrás: Pexels.

A ≈B

Ez így szól: A Hozzávetőleges B. Ahol "A" a pontos értéket, a "B" pedig a hozzávetőleges értéket képviseli.

Jelentős számok

Azokat az értékeket, amelyekkel egy hozzávetőleges számot meghatározunk, szignifikáns számoknak tekintjük. A példa megközelítésekor négy jelentős számot vettünk. A szám pontosságát a számot meghatározó számszerű szám adja.

A végtelen nullákat, amelyek mind a számtól jobbra és balra elhelyezkedhetnek, nem tekintjük jelentős számnak. A vessző helye nem játszik szerepet a szám jelentős számának meghatározásában.

750385

…. 00,0075038500….

75,038500000…..

750385000…..

….. 000007503850000…..

Mit jelent ez?

A módszer meglehetősen egyszerű; válassza ki a hibakötést, amely nem más, mint a számtartomány, ahol a vágást elvégzi. Ennek a tartománynak az értéke közvetlenül arányos a hozzávetőleges szám hibahatárával.

A fenti példában 235 623 tulajdonosa van ezrediknek (623). Aztán megtörtént a tizedik közelítése. A többletérték (235,7) a legfontosabb értéknek felel meg közvetlenül az eredeti szám tizedjeiben.

Másrészt az alapértelmezett érték (235,6) megfelel a legközelebbi és legjelentősebb tizedrészben megadott értéknek, azaz az eredeti számnak.

A numerikus közelítés a gyakorlatban meglehetősen általános számokkal. Egyéb széles körben alkalmazott módszerek a kerekítés és a csonkítás; amelyek különböző kritériumoknak felelnek meg az értékek hozzárendelésére.

A hibahatár

A numerikus tartomány meghatározásakor, amelyet a szám közelít, majd a számhoz tartozó hibakötést is meghatározza. Ezt egy meglévő vagy jelentős racionális számmal jelöljük a hozzárendelt tartományban.

A kezdeti példában a túllépés (235.7) és alapértelmezés szerint (235.6) által megadott értékek hozzávetőleges hibája 0,1. A statisztikai és a valószínűségi tanulmányokban a hibák számát kétféle módon kezelik; abszolút hiba és relatív hiba.

Mérleg

A közelítési tartományok meghatározásának kritériumai nagymértékben változhatnak és szorosan összefüggenek a közelítendő elem specifikációival. A magas inflációval rendelkező országokban a túlzott közelítések néhány számtartományt figyelmen kívül hagynak, mivel ezek alacsonyabbak, mint az inflációs skála.

Ilyen módon a 100% -ot meghaladó infláció esetén az eladó nem a terméket 50 és 55 dollár közötti értékre állítja, hanem hozzávetőlegesen 100 dollárra állítja be, figyelmen kívül hagyva az egységeket és a tízeket, közvetlenül a százhoz közelítve.

A számológép használata

A hagyományos számológépek magukkal foglalják a FIX módot, ahol a felhasználó beállíthatja az eredmények tizedesjegyeinek számát. Ez hibákat generál, amelyeket figyelembe kell venni a pontos számítások elvégzésekor.

Irracionális számok közelítése

Néhány, a numerikus műveletekben általánosan használt érték tartozik az irracionális számok halmazába, amelynek fő jellemzője, hogy határozatlan számú tizedes pontossággal rendelkezzen.

forrás: Pexels.

Értékek, mint például:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828…
• √2 = 1,414213562…

Általánosak a kísérletekben, és értéküket egy meghatározott tartományban meg kell határozni, figyelembe véve a lehetséges hibákat.

Mire valók?

Az (1 ÷ 3) osztás esetén a kísérletezéssel megfigyelték, hogy a szám meghatározásához csökkenteni kell az elvégzett műveletek számát.

1 ÷ 3 = 0,333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

Bemutatásra kerül egy olyan művelet, amely határozatlan ideig fennmaradhat, ezért valamilyen ponton megközelíteni kell.

Abban az esetben:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

A hibahatárként megállapított bármely pontnál az (1 ÷ 3) pontos értékénél kisebb számot kapunk. Ily módon az összes korábban elvégzett közelítés alapértelmezett (1 ÷ 3) közelítés lesz.

Példák

1. példa

1. A következő számok közül melyik alapértelmezett közelítése: 0.0127

• 0,13
• 0,012; Ez egy alapértelmezett közelítés 0,0127
• 0,01; Ez egy alapértelmezett közelítés 0,0127
• 0,0128

2. példa

1. Az alábbiak közül melyik szám egy felesleges közelítése a 23435

• 24; egy 23,435-et meghaladó közelítés
• 23.4
• 23.44; egy 23,435-et meghaladó közelítés
• 23,5; egy 23,435-et meghaladó közelítés

3. példa

1. Adjon meg egy következő alapértelmezett közelítést a megadott hibahatárral.

• 547.2648…. Ezrekre, századokra és tízesekre.

Ezrek: Az ezredik a vessző utáni első 3 számjegynek felel meg, ahol 999 után jön az egység. Mi jár közelíteni 547.264.

Századok: a vessző utáni első 2 számjegy által jelölve, a századoknak meg kell felelniük, 99-nek az egység eléréséhez. Ilyen módon alapértelmezés szerint megközelíti az 547.26- ot .

Tíz: Ebben az esetben a megkötött hiba sokkal nagyobb, mert a közelítés tartományát a teljes számok határozzák meg. Ha alapértelmezés szerint közelít a tízhez, akkor 540-et kap .

4. példa

1. Határozza meg a következő számokat egy túlzott közelítés segítségével, a megadott hibakötéssel.

• 1204,27317 tizedesre, százra és egyre.

Tizedes: A vessző utáni első számjegyre vonatkozik, ahol az egység 0,9 után áll. A tizedik fölösleges megközelítésekor 1204,3 lesz.

Több száz: Megint megfigyelhető egy hibakötés, amelynek tartománya az ábra egész számán belül van. A többlettel közelítve a százokat 1300-ra állítja. Ez a szám jelentősen különbözik az 1204,27317-től. Emiatt a közelítéseket általában nem alkalmazzák az egész értékekre.

Mértékegységek: Ha túlzottan megközelíti az egységet, akkor 1205 értéket kap .

5. példa

1. A varrónő 135,3 cm hosszú szövetet vág le, hogy 7855 cm ² zászlót készítsen. Mennyit fog mérni a másik oldal, ha olyan hagyományos vonalzót használ, amely millimétert jelez.

Becsülje meg az eredményeket többlet és hiba alapján.

A zászló területe téglalap alakú, és meghatározása a következő:

A = oldal x oldal

oldal = A / oldal

oldal = 7855cm ² / 135,3cm

oldal = 58.05617147 cm

A szabály elismerése miatt milliméterig is adatokat szerezhetünk, amely megfelel a tizedesjegyek tartományának a centiméterhez viszonyítva.

Így az 58cm alapértelmezett közelítés.

Míg az 58.1 túlzott mértékű közelítés.

6. példa

1. Határozzon meg 9 értéket, amelyek pontos számok lehetnek az egyes közelítésekben:

• 34071 eredmények hozzávetőleges ezred által alapértelmezés

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• A 0,012 alapértelmezés szerint a hozzávetőleges ezrednevekből származik

0,0191 0,012099 0,01202

0.01233 0.01223 0.01255

0.01201 0.0121457 0.01297

• A 23.9 a tized túllépéséből adódik

23.801 23.85555 23.81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• Az 58.37 a század többlettel történő közelítésének eredménye

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

7. példa

1. Becsülje meg az egyes irracionális számokat a feltüntetett hibahatár szerint:

• π = 3,141592654….

Alapértelmezés szerint ezrek ezer π = 3.141

Ezred által feleslegben π = 3,142

Századok alapértelmezés szerint π = 3,14

A század feletti π = 3,15

Tizedik alapértelmezés szerint π = 3,1

Tized a π = 3.2 többlettel

• e = 2,718281828…

Ezred által alapértelmezett e = 2,718

Ezred által feleslegben e = 2,719

Alapértelmezés szerint század e = 2,71

Száz száz e- túllépés = 2,72

Tizedik alapértelmezés szerint e = 2,7

Tized a túllépés után e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Ezred által alapértelmezés √2 = 1,414

Több ezer ezer √2 = 1,415 többlettel

Száz száz alapértelmezés szerint √2 = 1,41

Száz száz feletti √2 = 1,42

Tizedik alapértelmezés szerint √2 = 1,4

Tizedek túllépésével √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333…..

Ezrek ezentúl alapértelmezés szerint 1 ÷ 3 = 0,332

Ezrelék a feleslegben 1 ÷ 3 = 0,334

Századok alapértelmezés szerint 1 ÷ 3 = 0,33

Században több, mint 1 ÷ 3 = 0,34

A tizedik alapértelmezés szerint 1 ÷ 3 = 0,3

Tizedek túllépése, ha 1 ÷ 3 = 0,4

Irodalom

1. A matematikai elemzés problémái. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Wroclawi Egyetem. Lengyelország.
2. Bevezetés a logika és a deduktív tudományok módszertanához. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University sajtó.
3. A számtani tanár, 29. kötet. A matematika tanárainak nemzeti tanácsa, 1981. A Michigan-i Egyetem.
4. Tanulási és tanítási számelmélet: Kognitív és oktatási kutatás / szerkesztette Stephen R. Campbell és Rina Zazkis. Ablex kiadó 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.