POISSON ARÁNYA: EGYÜTTHATÓ, KÉPLETEK, ÉRTÉKEK, PÉLDÁK - FIZIKAI - 2025

A Poisson hányados egy méret nélküli mennyiség, amely minden anyagra jellemző. Ez egy anyagdarab deformációjának jelzése az egyes erők kifejtése előtt.

Ha egy anyagdarab, amelyre feszültség vagy nyomás van kitéve, deformálódik, akkor a keresztirányú deformáció és a hosszanti deformáció hányadosa pontosan a Poisson-hányados.

1. ábra. A Poisson aránya a hosszirányú nyújtás és a keresztirányú szűkülés közötti kapcsolatot méri. (Készítette: Ricardo Pérez)

Például egy gumihenger, amely végén feszültségnek van kitéve, hosszirányban nyújtódik, de keresztirányban szűkíthető. Az 1. ábra sávot mutat, amelynek eredeti méretei: L hosszúság és D átmérő.

A rudat a végén T feszültségnek kell kitenni, és ennek következtében nyújtáson megy keresztül, így az új hosszúság L '> L. De feszítéskor átmérője is szűkül az új értékre: D „<D.

A nyújtás (pozitív) és a szűkítő (negatív) hányadosa szorozva (-1) -vel, pozitív szám 0 és 0,5 között. Ez a szám az úgynevezett Poisson-arány ν (görög nu betű).

Poisson-arány formula

A Poisson-arány kiszámításához meg kell határozni a hosszirányú és keresztirányú törzset.

Az ε _L hosszanti törzs a szakasz nyúlik az eredeti hosszal:

ε _L = (L '- L) / L

Hasonlóképpen, az ε _T keresztirányú feszültség a sugárirányú szűkülés az eredeti átmérővel osztva:

ε _T = (D '- D) / D

Ezért a Poisson-arányt a következő képlettel kell kiszámítani:

ν = - ε _T / ε _L

Kapcsolat a rugalmassági modulussal és a merevségi modulussal

A Poisson ν hányadosa a rugalmassági E modullal (vagy Young modulussal) és a G merevségi modulussal függ a következő képlettel:

A Poisson anyagaránya

2. ábra. A rozsdamentes acél Poisson-aránya 0,30 és 0,31 között van. Forrás: Pixabay.

Számítási példák

1. példa

Egy bizonyos műanyag anyagból készült rudak hossza 150 mm, kör keresztmetszete pedig 20 mm átmérőjű. Ha 612,25 kg-f F nyomóerőnek van kitéve, akkor 14 mm-es lerövidülést, és ezzel egyidejűleg a rudat átmérőjének 0,85 mm-es növekedését figyeljük meg.

Kiszámítja:

a) hosszanti törzs.

b) A keresztirányú törzs.

c) Az anyag Poisson-aránya.

d) Young anyag rugalmassági modulusa.

e) A keménység modulusa az adott műanyaghoz.

Megoldás

Emlékezzünk arra, hogy az εL hosszanti törzs a szakasz nyúlik az eredeti hosszal:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Vegye figyelembe, hogy a hosszanti törzs nem méretezett, és ebben az esetben negatív volt, mert a hosszanti mérete csökkent.

B. Megoldás

Hasonlóképpen, az εT keresztirányú feszültség a sugárirányú kúposság, elosztva az eredeti átmérővel:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

A keresztirányú törzs pozitív volt, mivel megnőtt a rudat átmérője.

C. Megoldás

A Poisson-arány kiszámításához nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy azt a keresztirányú deformáció és a hosszanti deformáció hányadosának negatívjaként kell meghatározni:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4555

Nem szabad elfelejteni, hogy a Poisson-arány pozitív méret nélküli szám, és a legtöbb anyag esetében ez 0 és 0,5 között van.

D. Megoldás

Young rugalmassági modulusa, amelyet E betű jelöl, Hooke törvényében az arányosság állandója. E-vel a σL normál feszültség az εL törzshez viszonyítva, az alábbiak szerint:

σL = E εL

A normál feszültséget a normál erő (ebben az esetben a rúd tengelyével párhuzamos) és a keresztmetszeti terület hányadosaként határozzuk meg:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Ebben a gyakorlatban az F erő 612,25 kg-f, amelyet newtonra kell átszámítani, amely az SI erőegység:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

A terület keresztmetszete a következő:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Végül a rúd normál feszültsége:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

A Young rugalmassági modulusának kiszámításához az E-re Hooke-törvény alapján σL = E εL:

E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

E. Megoldás

A G merevségi modulus ezen E képlettel vonatkozik Young E modulusára és Poisson ν arányára:

E / (2 G) = 1 + ν

Innentől G-re megoldhatjuk:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

2. példa

Van egy rézkábel, amelynek átmérője 4 mm és hosszú. Tudva, hogy a Young rézmodulja 110 000 MPa, és Poisson-aránya 0,34, becsülje meg a huzal átmeneti nyújtását és szűkítését, amikor 100 kg-f súlyt lóg rajta.

Megoldás

Először ki kell számítani a normál szakítószilárdságot, amelyet a súly a huzalra gyakorol, a következő képlet alapján:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Az F erő 980 N, és a keresztmetszeti területe:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Akkor a szakító feszültség:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa

A huzal feszültségének kiszámítása

Young rugalmassági modulusa, amelyet E betű jelöl, Hooke törvényében az arányosság állandója, amely a σL normál feszültséget az εL törzshez kapcsolja:

σL = E εL

Onnan a rézhuzal hosszanti feszültsége megoldható:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

A keresztirányú törzs kiszámítása

Másrészt a keresztirányú törzs megismeréséhez a Poisson-arányt kell alkalmazni:

ν = - εT / εL

Végül a keresztirányú törzs:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Az abszolút kábelhossz kiszámítása

Végül a kábel abszolút feszültségének megismeréséhez a következő összefüggést kell alkalmazni:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Vagyis ennél a súlynál a kábel alig feszült meg 0,709 mm-rel.

Az átmérő csökkenésének kiszámítása

Az átmérő abszolút zsugorodásának előállításához a következő képletet használjuk:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0 000964 mm.

Ez az átmérőjű szűkítés annyira kicsi, hogy szabad szemmel nehéz látni, még a mérése nagy pontosságú műszert igényel.

Irodalom

1. Beer F.. Anyagok mechanikája. 5.. Kiadás. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Az anyagok mechanikája. Nyolcadik kiadás. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Anyagok mechanikája. Nyolcadik kiadás. Cengage tanulás. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizika: alapelvek alkalmazásokkal. 6. kiadás, Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Megjegyzések az általános fizikáról. UNAM. 87-98.