A binomiális eloszlás egy valószínűség-eloszlás, amely alapján kiszámítják az események bekövetkezésének valószínűségét, feltéve, hogy azok kétféle módon történnek: siker vagy kudarc.
Ezek a megnevezések (siker vagy kudarc) teljesen önkényesek, mivel nem feltétlenül jelentenek jó vagy rossz dolgokat. Ebben a cikkben felvázoljuk a binomiális eloszlás matematikai formáját, majd az egyes kifejezések jelentését részletesen ismertetjük.
1. ábra: A sajtológörgő olyan jelenség, amelyet a binomiális eloszlás felhasználásával lehet modellezni. Forrás: Pixabay.
Egyenlet
Az egyenlet a következő:
X = 0, 1, 2, 3….n értékkel, ahol:
- P (x) annak a valószínűsége, hogy pontosan x sikert ér el n kísérlet vagy próba között.
- x az a változó, amely leírja az érdeklődés jelenségét, a siker számának megfelelően.
- n a kísérletek száma
- p a siker valószínűsége 1 kísérletnél
- q a kudarc valószínűsége 1 kísérletnél, ezért q = 1 - p
A felkiáltójel "!" a tényező jelölésére szolgál, tehát:
0! = 1
egy! = 1
kettő! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Stb.
Koncepció
A binomiális eloszlás nagyon helyénvaló azoknak a helyzeteknek a leírására, amelyekben egy esemény bekövetkezik vagy nem fordul elő. Ha előfordul, akkor sikerrel jár, ha nem, akkor kudarcot jelent. Ezenkívül a siker valószínűségének mindig állandónak kell maradnia.
Vannak olyan jelenségek, amelyek megfelelnek ezeknek a feltételeknek, például egy érme dobása. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a "siker" arcot kap. A valószínűség ½ és nem változik, függetlenül attól, hogy hányszor dobják fel az érmét.
A becsületes szerszámgörgő egy másik jó példa arra, hogy egy bizonyos terméket jó darabokra és hibás darabokra oszthatunk és a rulettkerék forgatása közben fekete helyett pirosra váltunk.
jellemzők
A binomiális eloszlás jellemzőit az alábbiak szerint foglalhatjuk össze:
- Minden eseményt vagy megfigyelést kivonnak egy végtelen populációból pótlás nélkül vagy egy véges populációból pótlással.
- Csak két lehetőséget vesznek fontolóra, amelyek kölcsönösen kizárják egymást: siker vagy kudarc, amint azt az elején kifejtettük.
- A siker valószínűségének állandónak kell lennie minden megfigyelés során.
- Minden esemény eredménye független más eseménytől.
- A binomiális eloszlás átlaga np
- A szórás a következő:
Alkalmazási példa
Vegyünk egy egyszerű rendezvényt, amelyben előfordulhat, hogy 2 fejet kap 5 azáltal, hogy háromszor behúz egy becsületes die-t. Mi a valószínűsége annak, hogy 3 dobáskor 2-ből 5-et kapnak?
Számos módon lehet ezt elérni, például:
- Az első két dobás 5, az utolsó pedig nem.
- Az első és az utolsó öt, de a középső nem.
- Az utolsó két dobás 5 és az első nem.
Vegyük például az első leírt szekvenciát, és számoljuk ki annak előfordulásának valószínűségét. Az a valószínűsége, hogy 5 fejet kap az első dobásnál 1/6, és a második pedig, mivel ezek független események.
Az a valószínűsége, hogy az utolsó tekercsen 5-től eltérő fejet kap az 1 - 1/6 = 5/6. Ezért annak a valószínűsége, hogy ez a sorozat megjelenik, a valószínűségek szorzata:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Mi a helyzet a másik két szekvenciával? Ugyanaz a valószínűségük: 0,023.
És mivel összesen 3 sikeres szekvenciánk van, a teljes valószínűség:
2. példa
Az egyik egyetem azt állítja, hogy a főiskolai kosárlabda csapat hallgatóinak 80% -a végzett. Egy vizsgálat során az említett kosárlabdacsapathoz tartozó 20 hallgató akadémiai nyilvántartását megvizsgálják, akik egy ideje jelentkeztek az egyetemen.
A 20 hallgató közül 11 fejezte be tanulmányait és 9 távozott.
2. ábra: Szinte minden olyan hallgató, aki a főiskolai csapat végzettségét játszik. Forrás: Pixabay.
Ha az egyetem állítása igaz, akkor a 20-ból kosárlabdázó és diplomás hallgatók számának binomiális eloszlása n = 20 és p = 0,8 legyen. Mi a valószínűsége annak, hogy a 20 játékosból pontosan 11 végez?
Megoldás
A binomiális eloszlásban:
3. példa
A kutatók tanulmányt készítettek annak meghatározására, hogy vannak-e szignifikáns különbségek az érettségi arányban a speciális programokon keresztül befogadott orvostanhallgatók és a rendszeres felvételi kritériumok alapján felvett orvostanhallgatók között.
A végzettséget 94% -nak találták a speciális programokon keresztül felvett hallgatók orvosai számára (az American Medical Association folyóiratának adatai alapján).
Ha 10 speciális programból véletlenszerűen választják ki a hallgatókat, akkor találja meg annak valószínűségét, hogy legalább 9 hallgató diplomázott.
b) Nem lenne szokatlan, ha 10 diákot véletlenszerűen választanak ki a speciális programokból, és úgy találják, hogy csak 7 közülük végzett diplomát?
Megoldás
Annak valószínűsége, hogy egy speciális programon keresztül felvételt nyert hallgató 94/100 = 0,94. N = 10 hallgatót választunk a speciális programokból, és meg akarjuk találni annak valószínűségét, hogy legalább 9 közülük diplomás.
A binomiális eloszlásban azután a következő értékeket kell helyettesíteni:
b)
Irodalom
- Berenson, M. 1985. Gazdálkodási és közgazdasági statisztika. Interamericana SA
- MathWorks. Binomiális eloszlás. Helyreállítva: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statisztika menedzsment és közgazdaságtan számára. 3.. kiadás. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Alkalmazott alapstatisztikák. 2.. Kiadás.
- Triola, M. 2012. Elemi statisztika. 11-én. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomiális eloszlás. Helyreállítva: es.wikipedia.org