HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS: KÉPLETEK, EGYENLETEK, MODELL - DUDAS - 2025

A hipergeometrikus eloszlás egy diszkrét statisztikai függvény, amely alkalmas a véletlenszerű kísérletekben a valószínűség kiszámítására két lehetséges kimenetel alapján. Az alkalmazás feltétele az, hogy kicsi populációk legyenek, amelyekben a kivonásokat nem helyettesítik, és a valószínűségek nem állandóak.

Ezért, ha a populáció egy elemét úgy választják meg, hogy megismerje egy adott tulajdonság eredményét (igaz vagy hamis), akkor ugyanazt az elemet nem lehet újból megválasztani.

1. ábra. Az ilyen csavarpopulációban biztosan vannak hibás példányok. Forrás: Pixabay.

Természetesen a következő választott elem valószínűbb valódi eredményt kapni, ha az előző elem negatív eredménnyel jár. Ez azt jelenti, hogy a valószínűség változik, amikor az elemeket kivonják a mintából.

A hipergeometrikus eloszlás fő alkalmazási területei: a kis lélekszámú folyamatok minőség-ellenőrzése és a szerencsejátékok valószínűségének kiszámítása.

Ami a matematikai függvényt határozza meg, amely meghatározza a hipergeometrikus eloszlást, három paraméterből áll, amelyek a következők:

- A népességi elemek száma (N)

- A minta mérete (m)

- A vizsgált tulajdonság kedvező (vagy kedvezőtlen) eredményével járó események száma a teljes populációban (n).

Képletek és egyenletek

A hipergeometrikus eloszlás képlete P valószínűséget ad, hogy egy adott jellemző x kedvező esetei fordulnak elő. A kombinatorikus számok alapján matematikai módon írhatja:

Az előző kifejezésben N, n és m paraméterek, és x maga a változó.

- A teljes népesség N.

- Egy bizonyos bináris karakterisztika pozitív eredményeinek száma a teljes népességhez képest n.

-A mintában szereplő elemek mennyisége m.

Ebben az esetben X egy véletlenszerű változó, amely x értéket vesz fel, és P (x) jelzi a vizsgált jellemző x kedvező eseteinek előfordulásának valószínűségét.

Fontos statisztikai változók

A hipergeometrikus eloszlás további statisztikai változói:

- Átlagos μ = m * n / N

- variancia σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- σ szórás, amely a variancia négyzetgyöke.

Modell és tulajdonságok

A hipergeometrikus eloszlás modelljének eléréséhez az x méretű mintában x kedvező eset megszerzésének valószínűségétől indulunk. Ez a minta olyan elemeket tartalmaz, amelyek megfelelnek a vizsgált tulajdonságnak, és azokat, amelyek nem felelnek meg.

Emlékezzünk arra, hogy n az előnyös esetek számát jelenti az N elem teljes populációjában. Akkor a valószínűséget így kell kiszámítani:

A fentiek kombinatorikus számokkal kifejezve a következő valószínűség-eloszlási modellt kapjuk:

A hipergeometrikus eloszlás főbb tulajdonságai

Ezek a következők:

- A mintának mindig kicsinek kell lennie, még akkor is, ha nagy a populáció.

- A minta elemeit egyenként vonják ki, anélkül, hogy azokat visszavonnák a populációba.

- A vizsgálandó tulajdonság bináris, vagyis csak két értéket vehet fel: 1 vagy 0, vagy igaz vagy hamis.

Az egyes elemkitermelési lépésekben a valószínűség az előző eredményektől függően változik.

Közelítés a binomiális eloszlás alapján

A hipergeometrikus eloszlás másik tulajdonsága, hogy közelíthető a binomiális eloszlással, amelyet Bi jelölünk, mindaddig, amíg az N populáció nagy és legalább tízszeresére nagyobb, mint az m minta. Ebben az esetben a következőképpen néz ki:

Annak valószínűsége, hogy a mintában x = 3 csavar hibás: P (500, 5, 60, 3) = 0,0129.

A valószínűsége annak, hogy a minta hatvan közül x = 4 csavar hibás: P (500, 5, 60; 4) = 0,0008.

Végül annak a valószínűsége, hogy a minta x = 5 csavarja hibás: P (500, 5, 60; 5) = 0.

De ha tudni akarja annak valószínűségét, hogy abban a mintában több mint 3 hibás csavar van, akkor meg kell szereznie az összesített valószínűséget, hozzáadásával:

Ezt a példát a 2. ábra szemlélteti, amelyet a GeoGebra, az iskolákban, intézetekben és egyetemeken széles körben használt ingyenes szoftver felhasználásával nyertünk.

2. ábra. Példa a hipergeometrikus eloszlásra. Készítette: F. Zapata és a GeoGebra.

2. példa

Egy spanyol pakliban 40 kártya van, ebből 10 aranyat, a fennmaradó 30 pedig nem. Tegyük fel, hogy véletlenszerűen 7 kártyát húzunk abból a pakliból, amelyeket nem építünk be újra a pakliba.

Ha X a 7 húzott kártyán lévõ aranyszám, akkor annak valószínûségét, hogy x aranyat fog szerezni egy 7 kártyás húzásban, a P hipergeometriai eloszlás adja (40,10,7; x).

Lássuk ezt így: Hogy kiszámoljuk annak valószínűségét, hogy 7 aranyat hordozunk egy 7 kártyás rajzban, a hipergeometriai eloszlás képletét használjuk a következő értékekkel:

És az eredmény: 4,57% valószínűség.

De ha tudni akarja a 4nél több kártya megszerzésének valószínűségét, akkor hozzá kell adnia:

Megoldott gyakorlatok

A következő gyakorlatsor célja a cikkben bemutatott fogalmak szemléltetése és beillesztése. Fontos, hogy az olvasó megpróbálja egyedül megoldani őket, mielőtt a megoldást megnézné.

1. Feladat

Az óvszergyár megállapította, hogy egy adott gép által gyártott 1000 óvszer közül 5 hibás. A minőség-ellenőrzés érdekében véletlenszerűen 100 óvszert vesznek, és a tételt elutasítják, ha legalább egy vagy több hibás. Válasz:

a) Mi az a lehetőség, hogy sok 100-at eldobnak?

b) Ez a minőség-ellenőrzési kritérium hatékony?

Megoldás

Ebben az esetben nagyon nagy kombinatorikus számok jelennek meg. A számítás nehéz, ha nincs megfelelő szoftvercsomagja.

Mivel azonban nagy a populáció és a minta tízszer kisebb, mint a teljes populáció, akkor a hipergeometrikus eloszlás közelítését használhatjuk a binomiális eloszlás alapján:

A fenti kifejezésben C (100, x) egy kombinatorikus szám. Ezután az egynél több hibának valószínűségét így kell kiszámítani:

Kiváló közelítés, ha összehasonlítjuk a hipergeometriai eloszlás alkalmazásával kapott értékkel: 0,4102

Azt mondhatjuk, hogy 40% -os valószínűséggel 100 profilaktikus tételt el kell dobni, ami nem túl hatékony.

De ha egy kicsit kevésbé igényes a minőség-ellenőrzési folyamatban, és a 100 tételből csak akkor dobja el, ha kettő vagy több hiányosság van, akkor a tétel selejtezésének valószínűsége mindössze 8% -ra csökken.

2. gyakorlat

Egy műanyag tömbgép úgy működik, hogy minden 10 darabból deformálódik. 5 darabból álló mintában mennyire valószínű, hogy csak egy darab hibás?

Megoldás

Népesség: N = 10

Minden hibánál n-nek száma n: n = 1

A minta mérete: m = 5

Ezért 50% -kal valószínű, hogy egy 5-ös mintában egy blokk deformálódik.

3. gyakorlat

A fiatal középiskolai végzettek találkozóján 7 hölgy és 6 úriember vesz részt. A lányok közül 4 humán és 3 tudományt tanul. A fiúcsoportban 1 humanitárius és 5 természettudományi. Számítsa ki a következőt:

a) Három lány véletlenszerű kiválasztása: mennyire valószínű, hogy valamennyien tanulnak humanitárius ismereteket?

b) Ha véletlenszerűen választják ki a baráti találkozón három résztvevőt: Mi az esély, hogy közülük három, nemtől függetlenül, mindhárom, vagy humán tudományt is tanul mindháromnak?

c) Most válasszon két barátot véletlenszerűen, és hívja xre a "humanitárius ismeretek számát" véletlenszerű változót. A két kiválasztott között határozza meg x átlagát vagy várható értékét és σ ^ 2 varianciát.

Megoldás

A most használt értékek:

-Populáció: N = 14

-A betűk tanulmányozásának minősége: n = 6 és a

- A minta mérete: m = 3.

- Barátok száma, akik humán tudományt tanulnak: x

Ennek értelmében x = 3 azt jelenti, hogy mindhárom tanulmányozza a humán tudományokat, x = 0 azt jelenti, hogy egyik sem tanulmányozza a humán tudományokat. Az a valószínűség, hogy mindhárom vizsgálja ugyanazt, az összeg adja:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099

Akkor 21% -kal valószínűsítjük, hogy három, véletlenszerűen kiválasztott találkozón résztvevők ugyanazt tanulmányozzák.

C. Megoldás

Itt vannak a következő értékek:

N = 14 teljes baráti populáció, n = 6 a humán tudományt tanulmányozó népesség teljes száma, a minta mérete m = 2.

A remény:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0,8572

És a szórás:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0,4521

Irodalom

1. Diszkrét valószínűség-eloszlások. Helyreállítva: biplot.usal.es
2. Statisztika és valószínűség. Hipergeometrikus eloszlás. Helyreállítva: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Hipergeometrikus eloszlás. Helyreállítva: ugr.es
4. Geogebra. Klasszikus geogebra, valószínűségi számítás. Helyreállítva a geogebra.org webhelyről
5. Próbálj egyszerűen. Megoldották a hipergeometrikus eloszlás problémáit. Helyreállítva: probafacil.com
6. Minitab. Hipergeometrikus eloszlás. Helyreállítva: support.minitab.com
7. Vigo Egyetem. Fő diszkrét eloszlások. Helyreállítva: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Statisztika és kombinatorika. Helyreállítva: vitutor.net
9. Weisstein, Eric W. Hipergeometrikus eloszlás. Helyreállítva: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Hipergeometrikus eloszlás. Helyreállítva: es.wikipedia.com