- Tulajdonságok
- A szorzás általános szabálya
- Példák a feltételes valószínűségre
- - 1. példa
- Készenléti táblázat
- - 2. példa
- A feladat megoldódott
- Megoldás
- B. Megoldás
- C. Megoldás
- Irodalom
A feltételes valószínűség egy bizonyos esemény bekövetkezésének lehetősége, mivel egy másik feltételként jelentkezik. Ez a kiegészítő információ módosíthatja (vagy nem módosíthatja) azt a felfogást, hogy valami történni fog.
Például feltehetjük magunknak a kérdést: "Mi a valószínűsége, hogy ma esik, mivel két napig nem esett?" Az az esemény, amelynek valószínűségét szeretnénk megtudni, az, hogy ma esik, és a válasz feltételezéséhez szükséges kiegészítő információ az, hogy „két napja esett nem”.

1. ábra A feltételezett valószínűség példája annak a valószínűsége, hogy ma esni fog, mivel tegnap esett. Forrás: Pixabay.
Legyen egy valószínűségi hely of (mintaterület), ℬ (véletlenszerű események) és P (minden esemény valószínűsége), valamint a and-hoz tartozó A és B eseményekből áll.
Az A előfordulásának feltételezett valószínűségét, tekintettel arra, hogy B történt, és amelyet P (A│B) -nek jelölünk, a következőképpen kell meghatározni:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A és B) / P (B)
Ahol: P (A) az A előfordulásának valószínűsége, P (B) a B esemény valószínűsége és különbözik 0-tól, és P (A∩B) az A és B metszéspontjának valószínűsége, azaz, mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége (közös valószínűség).
Ez egy kifejezés Bayes-tételnek, amelyet két eseményre alkalmaztak, és amelyet az angol teológus és matematikus Thomas Bayes 1763-ban javasolt.
Tulajdonságok
-Minden feltételes valószínűség 0 és 1 között van:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-A „A” esemény bekövetkezésének valószínűsége nyilvánvalóan 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Ha két esemény kizárólagos, vagyis olyan események, amelyek nem következhetnek be egyszerre, akkor az egyik feltételezett valószínűsége 0, mivel az metszéspont nulla:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Ha B egy A részhalmaza, akkor a feltételes valószínűsége is 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Fontos
P (A│B) általában nem egyenlő a P (B│A) -val, ezért vigyáznunk kell, hogy ne változtassuk meg az eseményeket a feltételes valószínűség megállapításakor.
A szorzás általános szabálya
Sokszor meg akarja találni a P (A∩B) valószínűséget, nem pedig a feltételes valószínűséget. Ezután a következő tétel segítségével:
P (A∩B) = P (A és B) = P (A│B). P (B)
A tétel három A, B és C eseményre bővíthető:
P (A∩B∩C) = P (A és B és C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
Különböző eseményekre, például A 1, A 2, A 3 és több, ez a következőképpen fejezhető ki:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n) = P (A 1). P (A 2 │A 1). P (A 3 │A 1 ∩ A 2)… P (A n ││ A 1 ∩ A 2 ∩… A n-1)
Ha sorrendben és különböző szakaszokban zajló eseményekről van szó, akkor kényelmes az adatokat diagramra vagy táblára rendezni. Ez megkönnyíti a kért valószínűség elérésének lehetőségeinek megjelenítését.
Példa erre a fa diagram és a kontingencia táblázat. Az egyik közül a másik felépíthető.
Példák a feltételes valószínűségre
Nézzünk néhány olyan helyzetet, amelyben az egyik esemény valószínűségét megváltoztatja egy másik esemény:
- 1. példa
Az édesboltban kétféle süteményt kínálnak: eper és csokoládé. A mindkét nemből származó 50 ügyfél preferenciáinak regisztrálásával a következő értékeket határozták meg:
-27 nő, közülük 11 inkább eper torta és 16 csokoládé.
-23 férfi: 15 válasszon csokoládét és 8 eper.
A valószínűsége annak, hogy egy ügyfél választott egy csokoládés süteményt, meghatározható Laplace-féle szabály alkalmazásával, amely szerint bármely esemény valószínűsége:
P = a kedvező események száma / az események összes száma
Ebben az esetben az 50 vásárló közül összesen 31 részesíti előnyben a csokoládét, tehát a valószínűsége P = 31/50 = 0,62. Vagyis az ügyfelek 62% -a kedveli a csokoládés süteményt.
De mi lenne más, ha az ügyfél nő? Ez egy feltételes valószínűség esete.
Készenléti táblázat
Az ilyen rendkívüli táblázat segítségével az összegek könnyen megjelennek:

Ezután megfigyeljük a kedvező eseteket és alkalmazzuk Laplace-szabályt, de először az eseményeket határozzuk meg:
-B a "női ügyfél" esemény.
-A "nőnek inkább" a csokoládétorta "esemény.
Megyünk a "nők" feliratú oszlophoz, és ott látjuk, hogy az összesen 27.
Ezután a "csokoládé" sorban keresik a kedvező esetet. Ezen események közül 16 van, tehát a kívánt valószínűség közvetlenül:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
A nők 59,24% -a kedveli a csokoládés süteményt.
Ez az érték megegyezik, ha ellentmondjuk a feltételes valószínűség eredetileg megadott meghatározásának:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Gondoskodunk róla, hogy Laplace szabályát és a táblázat értékeit használjuk:
P (B) = 27/50
P (A és B) = 16/50
Ahol P (A és B) annak valószínűsége, hogy az ügyfél inkább a csokoládét részesíti előnyben, és nő. Most az értékek helyébe lépnek:
P (A│B) = P (A és B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.
Bebizonyosodott, hogy ugyanaz az eredmény.
- 2. példa
Ebben a példában a szorzás szabálya érvényes. Tegyük fel, hogy a boltokban három méretben található nadrág: kicsi, közepes és nagy.
Egy olyan tételben, amelyben összesen 24 nadrág van, amelyekből 8 méret van, és mindegyik vegyes, mi lenne annak valószínűsége, hogy kettőt kinyernének, és hogy mindkettő kicsi volt?
Egyértelmű, hogy egy kis nadrág eltávolításának valószínűsége az első kísérletnél 8/24 = 1/3. Most a második kivonás az első esemény feltétele, mivel egy nadrág eltávolításakor már nem 24, hanem 23. És ha egy kis nadrágot eltávolítunk, akkor 8 helyett 7 van.
Az A esemény egy kis nadrágot húz, miután az első próbálkozásnál újat húzott. És a B esemény történik először a kis nadrággal. Így:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Végül a szorzási szabály használatával:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
A feladat megoldódott
A kereskedelmi légi járatok pontosságának vizsgálatában a következő adatok állnak rendelkezésre:
-P (B) = 0,83, annak a valószínűsége, hogy egy sík időben felszáll.
-P (A) = 0,81, az időben történő leszállás valószínűsége.
-P (B∩A) = 0,78 annak a valószínűsége, hogy a repülés időben érkezik, és időben felszáll.
Felkérjük a következők kiszámítását:
a) Mi a valószínűsége, hogy a repülőgép időben leszáll, mivel időben felszállt?
b) A fenti valószínűség megegyezik-e azzal a valószínűséggel, hogy időben elhagytad, ha időben sikerült leszállni?
c) És végül: milyen valószínűséggel érkezik meg időben, tekintettel arra, hogy nem távozott időben?

2. ábra. A kereskedelmi repülések pontossága fontos, mivel a késedelmek millió dollárt vesztegetnek. Forrás: Pixabay.
Megoldás
A kérdés megválaszolásához a feltételes valószínűség definícióját használjuk:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A és B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
B. Megoldás
Ebben az esetben a meghatározásban szereplő eseményeket kicserélik:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A és B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630
Vegye figyelembe, hogy ez a valószínűség kissé eltér az előzőtől, amint arra már rámutattunk.
C. Megoldás
Az idő elhagyásának valószínűsége 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, P (B C) -nek nevezzük, mert ez a kiegészítő esemény az időben történő felszállás. A kívánt feltételes valószínűség:
P (A│B C) = P (A∩B C) / P (B C) = P (A és B C) / P (B C)
Másrészről:
P (A∩B C) = P (leszállás időben) - P (leszállás időben és felszállás időben) = 0,81-0,78 = 0,03
Ebben az esetben a feltételes valószínűség várható:
P (A│B C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
Irodalom
- Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum sorozat: Valószínűség. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. A valószínűség elmélete. Szerkesztői Limusa.
- Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.
- Wikipedia. Feltételes valószínűség. Helyreállítva: es.wikipedia.org.
