FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG: KÉPLET ÉS EGYENLETEK, TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK - DUDAS - 2026

A feltételes valószínűség egy bizonyos esemény bekövetkezésének lehetősége, mivel egy másik feltételként jelentkezik. Ez a kiegészítő információ módosíthatja (vagy nem módosíthatja) azt a felfogást, hogy valami történni fog.

Például feltehetjük magunknak a kérdést: "Mi a valószínűsége, hogy ma esik, mivel két napig nem esett?" Az az esemény, amelynek valószínűségét szeretnénk megtudni, az, hogy ma esik, és a válasz feltételezéséhez szükséges kiegészítő információ az, hogy „két napja esett nem”.

1. ábra A feltételezett valószínűség példája annak a valószínűsége, hogy ma esni fog, mivel tegnap esett. Forrás: Pixabay.

Legyen egy valószínűségi hely of (mintaterület), ℬ (véletlenszerű események) és P (minden esemény valószínűsége), valamint a and-hoz tartozó A és B eseményekből áll.

Az A előfordulásának feltételezett valószínűségét, tekintettel arra, hogy B történt, és amelyet P (A│B) -nek jelölünk, a következőképpen kell meghatározni:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A és B) / P (B)

Ahol: P (A) az A előfordulásának valószínűsége, P (B) a B esemény valószínűsége és különbözik 0-tól, és P (A∩B) az A és B metszéspontjának valószínűsége, azaz, mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége (közös valószínűség).

Ez egy kifejezés Bayes-tételnek, amelyet két eseményre alkalmaztak, és amelyet az angol teológus és matematikus Thomas Bayes 1763-ban javasolt.

Tulajdonságok

-Minden feltételes valószínűség 0 és 1 között van:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-A „A” esemény bekövetkezésének valószínűsége nyilvánvalóan 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Ha két esemény kizárólagos, vagyis olyan események, amelyek nem következhetnek be egyszerre, akkor az egyik feltételezett valószínűsége 0, mivel az metszéspont nulla:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Ha B egy A részhalmaza, akkor a feltételes valószínűsége is 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Fontos

P (A│B) általában nem egyenlő a P (B│A) -val, ezért vigyáznunk kell, hogy ne változtassuk meg az eseményeket a feltételes valószínűség megállapításakor.

A szorzás általános szabálya

Sokszor meg akarja találni a P (A∩B) valószínűséget, nem pedig a feltételes valószínűséget. Ezután a következő tétel segítségével:

P (A∩B) = P (A és B) = P (A│B). P (B)

A tétel három A, B és C eseményre bővíthető:

P (A∩B∩C) = P (A és B és C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Különböző eseményekre, például A ₁, A ₂, A ₃ és több, ez a következőképpen fejezhető ki:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Ha sorrendben és különböző szakaszokban zajló eseményekről van szó, akkor kényelmes az adatokat diagramra vagy táblára rendezni. Ez megkönnyíti a kért valószínűség elérésének lehetőségeinek megjelenítését.

Példa erre a fa diagram és a kontingencia táblázat. Az egyik közül a másik felépíthető.

Példák a feltételes valószínűségre

Nézzünk néhány olyan helyzetet, amelyben az egyik esemény valószínűségét megváltoztatja egy másik esemény:

- 1. példa

Az édesboltban kétféle süteményt kínálnak: eper és csokoládé. A mindkét nemből származó 50 ügyfél preferenciáinak regisztrálásával a következő értékeket határozták meg:

-27 nő, közülük 11 inkább eper torta és 16 csokoládé.

-23 férfi: 15 válasszon csokoládét és 8 eper.

A valószínűsége annak, hogy egy ügyfél választott egy csokoládés süteményt, meghatározható Laplace-féle szabály alkalmazásával, amely szerint bármely esemény valószínűsége:

P = a kedvező események száma / az események összes száma

Ebben az esetben az 50 vásárló közül összesen 31 részesíti előnyben a csokoládét, tehát a valószínűsége P = 31/50 = 0,62. Vagyis az ügyfelek 62% -a kedveli a csokoládés süteményt.

De mi lenne más, ha az ügyfél nő? Ez egy feltételes valószínűség esete.

Készenléti táblázat

Az ilyen rendkívüli táblázat segítségével az összegek könnyen megjelennek:

Ezután megfigyeljük a kedvező eseteket és alkalmazzuk Laplace-szabályt, de először az eseményeket határozzuk meg:

-B a "női ügyfél" esemény.

-A "nőnek inkább" a csokoládétorta "esemény.

Megyünk a "nők" feliratú oszlophoz, és ott látjuk, hogy az összesen 27.

Ezután a "csokoládé" sorban keresik a kedvező esetet. Ezen események közül 16 van, tehát a kívánt valószínűség közvetlenül:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

A nők 59,24% -a kedveli a csokoládés süteményt.

Ez az érték megegyezik, ha ellentmondjuk a feltételes valószínűség eredetileg megadott meghatározásának:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Gondoskodunk róla, hogy Laplace szabályát és a táblázat értékeit használjuk:

P (B) = 27/50

P (A és B) = 16/50

Ahol P (A és B) annak valószínűsége, hogy az ügyfél inkább a csokoládét részesíti előnyben, és nő. Most az értékek helyébe lépnek:

P (A│B) = P (A és B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Bebizonyosodott, hogy ugyanaz az eredmény.

- 2. példa

Ebben a példában a szorzás szabálya érvényes. Tegyük fel, hogy a boltokban három méretben található nadrág: kicsi, közepes és nagy.

Egy olyan tételben, amelyben összesen 24 nadrág van, amelyekből 8 méret van, és mindegyik vegyes, mi lenne annak valószínűsége, hogy kettőt kinyernének, és hogy mindkettő kicsi volt?

Egyértelmű, hogy egy kis nadrág eltávolításának valószínűsége az első kísérletnél 8/24 = 1/3. Most a második kivonás az első esemény feltétele, mivel egy nadrág eltávolításakor már nem 24, hanem 23. És ha egy kis nadrágot eltávolítunk, akkor 8 helyett 7 van.

Az A esemény egy kis nadrágot húz, miután az első próbálkozásnál újat húzott. És a B esemény történik először a kis nadrággal. Így:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Végül a szorzási szabály használatával:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

A feladat megoldódott

A kereskedelmi légi járatok pontosságának vizsgálatában a következő adatok állnak rendelkezésre:

-P (B) = 0,83, annak a valószínűsége, hogy egy sík időben felszáll.

-P (A) = 0,81, az időben történő leszállás valószínűsége.

-P (B∩A) = 0,78 annak a valószínűsége, hogy a repülés időben érkezik, és időben felszáll.

Felkérjük a következők kiszámítását:

a) Mi a valószínűsége, hogy a repülőgép időben leszáll, mivel időben felszállt?

b) A fenti valószínűség megegyezik-e azzal a valószínűséggel, hogy időben elhagytad, ha időben sikerült leszállni?

c) És végül: milyen valószínűséggel érkezik meg időben, tekintettel arra, hogy nem távozott időben?

2. ábra. A kereskedelmi repülések pontossága fontos, mivel a késedelmek millió dollárt vesztegetnek. Forrás: Pixabay.

Megoldás

A kérdés megválaszolásához a feltételes valószínűség definícióját használjuk:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A és B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

B. Megoldás

Ebben az esetben a meghatározásban szereplő eseményeket kicserélik:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A és B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Vegye figyelembe, hogy ez a valószínűség kissé eltér az előzőtől, amint arra már rámutattunk.

C. Megoldás

Az idő elhagyásának valószínűsége 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, P (B ^C) -nek nevezzük, mert ez a kiegészítő esemény az időben történő felszállás. A kívánt feltételes valószínűség:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A és B ^C) / P (B ^C)

Másrészről:

P (A∩B ^C) = P (leszállás időben) - P (leszállás időben és felszállás időben) = 0,81-0,78 = 0,03

Ebben az esetben a feltételes valószínűség várható:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Irodalom

1. Canavos, G. 1988. Valószínűség és statisztika: Alkalmazások és módszerek. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. 8.. Kiadás. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum sorozat: Valószínűség. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. A valószínűség elmélete. Szerkesztői Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Valószínűség és statisztika a mérnöki és tudományos ismeretek számára. Pearson.
6. Wikipedia. Feltételes valószínűség. Helyreállítva: es.wikipedia.org.