MÁSODLAGOS SOROZATOK: PÉLDÁK, SZABÁLY ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2025

A kvadratikus sorrend matematikai értelemben olyan számsorokból áll, amelyek egy bizonyos számtani szabályt követnek. Érdekes megismerni ezt a szabályt, hogy meghatározzuk a sorozat bármelyik feltételét.

Ennek egyik módja az, hogy meghatározzuk a különbséget a két egymást követő kifejezés között, és ellenőrizzük, hogy a kapott érték mindig megismétlődik. Ebben az esetben azt mondják, hogy egy szabályos sorrend.

A számsorozatok a számsorozatok szervezésének egyik módja. Forrás: pixabay.com

De ha ez nem ismétlődik meg, akkor megpróbálhatja megvizsgálni a különbségek közötti különbséget, és megnézheti, hogy ez az érték állandó-e. Ha igen, akkor ez egy másodlagos sorozat.

Példák a szabályos szekvenciákra és a másodlagos szekvenciákra

A következő példák segítenek tisztázni, amit eddig magyaráztak:

Példa a rendszeres utódlásra

Legyen S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Ez a sorozat, amelyet S jelöl, egy végtelen szám halmaz, ebben az esetben egész szám.

Látható, hogy ez egy szabályos sorrend, mivel minden kifejezést úgy kapunk, hogy 3 hozzáadunk az előző kifejezéshez vagy elemhez:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Más szavakkal: ez a sorrend szabályos, mert a következő és az előző közötti különbség rögzített értéket ad. A megadott példában ez az érték 3.

A szabályos szekvenciákat, amelyeket egy előző kifejezéshez rögzített mennyiség hozzáadásával kapunk, aritmetikai progressziónak nevezzük. És az egymást követő kifejezések közötti állandó változást aránynak nevezzük, és R-vel jelöljük.

Példa a nem szabályos és másodlagos sorrendre

Lásd most a következő sorrendet:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Az egymást követő különbségek kiszámításakor a következő értékeket kapjuk:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Különbségeik nem állandóak, tehát elmondható, hogy NEM szabályos sorrend.

Ha azonban figyelembe vesszük a különbségek halmazát, akkor van egy másik sorrendjük, amelyet S _diff- ként jelölünk:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ez az új sorozat valóban egy szabályos sorozat, mivel minden kifejezést úgy kapunk, hogy az R = 2 rögzített értéket hozzáadjuk az előzőhöz. Ezért állíthatjuk, hogy S kvadratikus szekvencia.

A kvadratikus szekvencia felépítésének általános szabálya

Van egy általános képlet a másodlagos sorozat felépítésére:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Ebben a képletben T _n a kifejezés pozícióban n a szekvencia. A, B és C rögzített értékek, míg n egyenként változik, azaz 1, 2, 3, 4,…

Az előző példa S sorozatában A = 1, B = 1 és C = 0. Innentől következik, hogy az összes kifejezést generáló képlet a következő: T _n = n ² + n

Vagyis:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

A kvadratikus sorozat két egymást követő tagja közötti különbség

T _{n + 1} - T _n = -

A kifejezés fejlesztése figyelemre méltó termék révén továbbra is fennmarad:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Egyszerűsítve megkapja:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Ez a képlet adja meg az S _Dif különbségek sorrendjét, amelyek így írhatók:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Ahol egyértelműen a következő kifejezés 2 ∙ Néha az előző. Vagyis az S _{diff különbségek} sorrendjének aránya: R = 2 ∙ A.

A másodfokú szekvenciák megoldott problémái

1. Feladat

Legyen S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Határozza meg, hogy:

i) Szabályos-e vagy sem?

ii) kvadratikus vagy sem

iii) Négyzetes volt, a különbségek sorrendje és arányuk

válaszok

i) Számítsuk ki a különbséget a következő és az előző kifejezések között:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Megerősíthetjük, hogy az S sorozat nem szabályos, mert az egymást követő kifejezések közötti különbség nem állandó.

ii) A különbségek sorrendje szabályos, mivel kifejezéseik közötti különbség a 2. állandó érték. Ezért az eredeti S sorozat másodfokú.

iii) Már meghatároztuk, hogy S kvadratikus, a különbségek sorrendje:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…}, és aránya R = 2.

2. gyakorlat

Hagyja az S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} szekvenciát az előző példában, ahol ellenőriztük, hogy kvadratikus-e. Határozzuk meg:

i) A képlet, amely meghatározza a Tn általános kifejezést .

ii) Ellenőrizze a harmadik és az ötödik kifejezést.

iii) A tizedik ciklus értéke.

válaszok

i) A általános képletű a T _n jelentése A ∙ n ² + B ∙ n + C. Ezután meg kell ismernie A, B és C értékeit.

A különbségek sorozatának 2-es aránya van. Ezenfelül bármely kvadratikus szekvencia esetén az R arány 2 ∙ A, az előző szakaszok szerint.

R = 2 ∙ A = 2, ami arra enged következtetni, hogy A = 1.

Az S _Dif különbségek sorozatának első tagja 2, és ennek meg kell felelnie A ∙ (2n + 1) + B-nek, n ​​= 1 és A = 1-vel, azaz:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

B megoldás esetén a következőt kapjuk: B = -1

Akkor S (n = 1) első kifejezése 1-t ér, azaz: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Mint már tudjuk, hogy A = 1 és B = -1, helyettesítve van:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

A C megoldására a következő értéket kapjuk: C = 1.

Összefoglalva:

A = 1, B = -1 és C = 1

Akkor az n-edik kifejezés T _n = n ² - n + 1

ii) A harmadik kifejezés T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7, és igazolva van. Az ötödik T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, amelyet szintén igazolunk.

iii) A tizedik ciklus T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

3. gyakorlat

A 3. gyakorlat területeinek sorrendje. Forrás: saját kidolgozás.

Az ábra öt alakból áll. A rács a hossz mértékegységét jelöli.

i) Határozza meg az ábrák területének sorrendjét.

ii) Mutassa be, hogy ez egy másodlagos sorozat.

iii) Keresse meg a 10. ábra (nem ábrázolt) területét.

válaszok

i) Az ábrák sorozatának területéhez tartozó S sorozat:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) Az S kifejezések egymást követő különbségeinek megfelelő sorrend:

S _diff = {2, 4, 6, 8,….. }

Mivel az egymást követő kifejezések közötti különbség nem állandó, akkor S nem szabályos sorrend. Még azt kell tudni, hogy kvadratikus-e, és ehhez megismételjük a különbségek sorrendjét, és így kapjuk meg:

{2, 2, 2, …….}

Mivel a szekvencia összes feltétele megismétlődik, megerősítést nyerünk, hogy S egy másodlagos szekvencia.

iii) Az S _dif szekvencia szabályos és R aránya 2. A fenti R = 2 ∙ A egyenlet felhasználásával a következő marad:

2 = 2 ∙ A, ami azt jelenti, hogy A = 1.

Az S _Dif különbségek sorozatának második terminusa 4, az S _Dif pedig n

A ∙ (2n + 1) + B

A második kifejezésnek n = 2 van. Ezenkívül már megállapítottuk, hogy A = 1, tehát az előző egyenlet felhasználásával és helyettesítésével:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

A B megoldáshoz a következőt kapjuk: B = -1.

Ismert, hogy S második tagja 2-t ér, és ennek meg kell felelnie az általános kifejezés képletének, ha n = 2:

T _n = A = n ² + B = n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Vagyis

2 = 1 2 ² - 1 2 + C

Megállapítottuk, hogy C = 0, vagyis az a képlet, amely az S szekvencia általános kifejezését adja meg:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Most az ötödik ciklus ellenőrizve van:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) A 10. ábra, amelyet itt nem rajzolunk, az S szekvencia tizedik tagjának felel meg:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Irodalom

1. https://www.geogebra.org