TESSELLATIONS: JELLEMZŐ, TÍPUSOK (SZABÁLYOS, SZABÁLYTALAN), PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A döntések bevont felületek, egy vagy több alak, amelyet tesserae-nek hívnak. Mindenhol megtalálhatók: minden utcán és épületben. A csempék vagy csempe lapos darabok, általában sokszögek kongruens vagy izometrikus másolatokkal, amelyeket szabályos minta szerint helyeznek el. Ily módon nem maradnak fedelek, és a burkolólapok vagy a mozaikok nem fedik át egymást.

Abban az esetben, ha egyetlen mozaikfajtát használnak, amelyet egy szabályos sokszög alkot, akkor van rendszeres tesszelés, de ha két vagy több típusú szabályos sokszöget használnak, akkor ez egy félig szabályos tesszelés.

1. ábra Csempe padlója szabálytalan tesselációval, mivel a téglalapok nem szabályos sokszögek, bár a négyzetek vannak. Forrás: Pixabay.

Végül, ha a tesszelés formájú sokszögek nem szabályosak, akkor ez egy szabálytalan tesszelés.

A legelterjedtebb téglalapítás a téglalap alakú és különösen a négyzet alakú mozaikok által létrehozott. Az 1. ábrán van egy jó példa.

A tesszelláció története

A testelést évezredek óta használják különböző kultúrák és vallások palotáinak és templomainak padlóinak és falainak fedezésére.

Például az a sumír civilizáció, amely Kr. E. 3500 körül körül Mezopotámiától délre, az Eufráta és a Tigris folyók között virágzott, tesszellációkat használt építészetében.

2. ábra. Sumer tessellations az Istar kapun. Forrás: Wikimedia Commons.

A testelések minden korosztályú matematikusok érdeklődését felidézték: kezdve az ie 3. században az Archimédeszel, majd Johannes Keplerrel 1619-ben, a Camille Jordan-rel 1880-ban, a kortárs időkkel Roger Penrose-szal.

Penrose nem-periodikus tesszelést hozott létre, amelyet Penrose tesszelésnek hívnak. Ez csak néhány tudós neve, akik nagyban hozzájárultak a tesszeléshez.

Rendszeres tessellazások

Rendszeres teszteléseket csak egyfajta szabályos sokszöggel végeznek. Másrészt ahhoz, hogy a tesszelést szabályosnak lehessen tekinteni, a sík minden pontjának:

- A poligon belsejében

-Vagy két szomszédos poligon széléhez

-Végül tartozhat legalább három sokszög közös csúcsához.

A fenti korlátozásokkal kimutatható, hogy csak egyenlő oldalú háromszögek, négyzetek és hatszögek képezhetnek szabályos tesszelést.

Elnevezéstan

Van egy nómenklatúra a tessellazások jelölésére, amely az óramutató járásával megegyező irányba történő felsorolást és egy ponttal elválasztva tartalmazza a tesszelés minden csomópontját (vagy csúcsát) körülvevő sokszögek oldalainak számát, mindig a legalacsonyabb sokszöggel kezdve oldalon.

Ez a nómenklatúra vonatkozik a rendszeres és félig rendszeres tesszellázásokra.

1. példa: Háromszög alakú tesszelés

A 3. ábra egy szabályos háromszög alakú tezelációt mutat. Meg kell jegyezni, hogy a háromszög alakú tesszelés minden csomópontja hat egyenlő oldalú háromszög közös csúcsa.

Az ilyen típusú tesszelés jelölésének módja a 3.3.3.3.3.3, amelyet szintén 3 ⁶ jelöl.

3. ábra: Rendszeres háromszög alakú tesszelés 3.3.3.3.3.3. Forrás: wikimedia commons

2. példa: Négyzetes tesszelés

A 4. ábra egy csak négyzetekből álló szabályos tesszelést mutat. Meg kell jegyezni, hogy a tesszelés minden csomópontját négy összehangolt négyzet veszi körül. Az ilyen típusú négyzetes tesszeléshez a következő jelölést kell alkalmazni: 4.4.4.4 vagy alternatív módon 4 ⁴

4. ábra Négyzetes tesseláció 4.4.4.4. Forrás: wikimedia commons.

3. példa: Hatszögletű tesszelés

Hatszögletű tesszelésnél minden csomópontot három szabályos hatszög veszi körül, az 5. ábra szerint. A szabályos hatszögletű tezelezés nómenklatúrája 6.6.6, vagy alternatív módon 6 ³.

5. ábra Hatszögletű tezelálás 6.6.6. Forrás: wikimedia commons.

Félig rendszeres tesszellációk

A félszögletes tessellations vagy Archimedean tessellations két vagy több típusú szabályos sokszögből áll. Mindegyik csomópontot a sokszöget alkotó poligonok veszik körül, mindig ugyanabban a sorrendben, és a szélfeltétel teljesen megoszlik a szomszéddal.

Nyolc félig rendszeres tesszellálás van:

1. 3.6.3.6 (háromszögletű tesszelés)
2. 3.3.3.3.6 (tompa hatszögletű tesszelés)
3. 3.3.3.4.4 (hosszúkás háromszög alakú tesszelés)
4. 3.3.4.3.4 (tompa négyzet alakú tesszelés)
5. 3.4.6.4 (rombusz-három-hatszög alakú tesszelés)
6. 4.8.8 (csonka négyzet alakú tesszelés)
7. 3.12.12 (csonka hatszögletű tesszelés)
8. 4.6.12 (csonka háromszögletű tesszelés)

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát a félig rendszeres tesszellázásokról.

4. példa: Háromszögletű tesszelés

Ez az, amely egyenlõ oldalú háromszögekbõl és szabályos hatszögekbõl áll a 3.6.3.6 struktúrában, ami azt jelenti, hogy a tesszelés csomópontját (az egyik fordulat befejezéséig) háromszög, hatszög, háromszög és hatszög veszi körül. A 6. ábra egy ilyen tesszelést mutat.

6. ábra: A háromszögletű tesszelés (3.6.3.6.) Egy példa a szabályos tesszelésre. Forrás: Wikimedia Commons.

5. példa: tompa hatszögletű tesszelés

Mint az előző példa tesszelése, ez is háromszögekből és hatszögekből áll, de eloszlásuk egy csomópont körül 3.3.3.3.6. A 7. ábra egyértelműen szemlélteti az ilyen típusú tesszelést.

7. ábra. A tompa hatszögletű tesszelés egy hatszögből áll, amelyet a 3.3.3.3.6 konfigurációban 16 háromszög vesz körül. Forrás: Wikimedia Commons.

6. példa: rombusz-három-hatszög alakú tesszelés

Ez egy tesseláció, amely háromszögekből, négyzetekből és hatszögekből áll, a 3.4.6.4. Konfigurációban, amelyet a 8. ábra mutat.

8. ábra Fél-szabályos tesszelés, amely háromszögből, négyzetből és hatszögből áll a 3.4.6.4 konfigurációban. Forrás: Wikimedia Commons.

Szabálytalan tesszellációk

Rendhagyó tesszellációk azok, amelyeket szabálytalan sokszögek vagy szabályos sokszögek alkotnak, de amelyek nem felelnek meg annak a kritériumnak, hogy egy csomópont legalább három sokszög csúcsa.

7. példa

A 9. ábra egy példát mutat a szabálytalan tesszelésre, amelyben az összes sokszög szabályos és egybevágó. Szabálytalan, mivel egy csomópont nem legalább három négyzet közös csúcsa, és vannak olyan szomszédos négyzetek is, amelyek nem osztják meg az éleket teljesen.

9. ábra. Bár az összes lap egybevágó négyzet, ez egyértelmű példa a szabálytalan alakításra. Forrás: F. Zapata.

8. példa

A párhuzamos ábra egy sík felületet csempézik, de ha ez nem egy négyzet, akkor nem képezhet rendszeres tesszelést.

10. ábra. A párhuzamos diagramok által létrehozott tesseláció szabálytalan, mivel mozaikjai nem szabályos sokszögek. Forrás: F. Zapata.

9. példa

A központi szimmetriájú nem szabályos hatszögek sík felületet alakítanak ki a következő ábra szerint:

11. ábra. A központi szimmetriájú hatszögek akkor is, ha nem szabályosak, a síkot testellálják. Forrás: F. Zapata.

10. példa: Kairó tezelálása

Nagyon érdekes tesseláció, egyenletes hosszúságú, de egyenlőtlen szögekből álló ötszögekből áll, amelyek közül kettő egyenes, a másik három pedig egyenként 120º.

Neve abból a tényből származik, hogy ez a tesszelés egyiptomi Kairó néhány utcájának járdájában található. A 12. ábra Kairó teleszkálását mutatja.

12. ábra. Kairói levezetés. Forrás: Wikimedia Commons.

11. példa: Al-Andalus tesszelés

Az andalúziai és észak-afrikai egyes részeken a tesszelést a díszítő elemek, például a növényzet mellett a geometria és a epigráfia jellemzi.

Az olyan paloták teleszkálását, mint amilyen az Alhambra, sokféle kerámia darabból álló csempékből állítottak elő, többféle (ha nem végtelen) alakúak, amelyek geometriai mintázatokat nyitottak meg.

13. ábra: Az Alhambra palota ütemezése. Tartaglia / Nyilvános

12. példa: összekapcsolás a videojátékokban

Teázásként is ismert, ez a videojátékok egyik legnépszerűbb újdonsága. A textúrák létrehozásáról szól a szimulátorban megjelenő különféle forgatókönyvek összekapcsolásának szimulálása.

Ez egyértelműen tükrözi, hogy ezek a bevonatok tovább fejlődnek, átlépve a valóság határait.

Irodalom

1. Élvezze a matematikát. Tessellations. Helyreállítva: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. A tesztelések megoldott példákat. Helyreállítva: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Dupla alakú tesszelés." Weisstein, Eric W, szerk. Mathworld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Mozaik. Helyreállítva: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Rendszeres tesszelés. Helyreállítva: es.wikipedia.com