IZOMETRIKUS TRANSZFORMÁCIÓK: ÖSSZETÉTEL, TÍPUSOK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

Az izometrikus transzformációk egy adott alak helyzetének vagy tájolásának olyan változásai, amelyek nem változtatják meg az alakját vagy méretét. Ezeket az átalakításokat három típusba soroljuk: transzláció, forgatás és reflexió (izometria). A geometriai transzformációk általánosságban lehetővé teszik, hogy egy adott alakból új alakot hozzon létre.

A geometriai alakmá történő átalakulás azt jelenti, hogy valamilyen módon megváltozott; vagyis megváltozott. Az eredeti és a sík hasonló értelmében a geometriai transzformációk három típusba sorolhatók: izometrikus, izomorf és anamorf.

jellemzők

Izometrikus transzformációk akkor lépnek fel, ha a szegmensek nagysága, valamint az eredeti és az átalakított ábra közötti szögek megmaradnak.

Az ilyen típusú átalakulás során sem az alak, sem a méret nem változik (egybevetõek), ez csak helyzetének megváltozása, tájolásban vagy irányban. Ily módon a kiindulási és a végső adatok hasonlóak és geometriailag egybevágók.

Az izometria az egyenlőségre utal; más szavakkal, a geometriai ábrák izometrikusak lesznek, ha azonos alakúak és méretűek.

Az izometrikus transzformációk során csak a síkban bekövetkező helyzetváltozás figyelhető meg, merev mozgás következik be, amelynek köszönhetően az ábra a kezdeti helyzetből a végsőbe megy. Ezt az ábrát az eredeti homológnak (hasonlónak) nevezzük.

Három típusú mozgás osztályozza az izometrikus transzformációt: transzláció, forgatás, visszaverődés vagy szimmetria.

típusai

Fordítás útján

Ezek azok a izometriák, amelyek lehetővé teszik a sík összes pontjának egyenes irányban történő mozgatását egy adott irányban és távolságban.

Amikor egy figurát transzlációval transzformálunk, akkor az nem változtatja meg a helyzetét a kiindulási helyzethez képest, és nem veszíti el a belső lépéseket, a szögek és az oldalak mértékét. Ezt az elmozdulást három paraméter határozza meg:

- Egy irány, amely lehet vízszintes, függőleges vagy ferde.

- Egy irány, amely lehet balra, jobbra, felfelé vagy lefelé.

- Távolság vagy nagyság, amely a mozgó pont kezdő pozíciójától a végéig terjedő hossza.

Ahhoz, hogy egy fordításos izometrikus transzformáció teljesüljön, a következő feltételeknek kell teljesülniük:

- Az ábranek mindig meg kell őriznie minden méretét, mind lineáris, mind szögben.

- az ábra nem változtatja meg pozícióját a vízszintes tengelyhez képest; vagyis a szöge soha nem változik.

- A fordításokat mindig egyben foglalják össze, függetlenül a fordítások számától.

Síkban, ahol a központ O pont, és a koordináták (0,0), a transzlációt T (a, b) vektor határozza meg, amely jelzi a kezdőpont elmozdulását. Vagyis:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Például, ha a T (-4, 7) fordítást alkalmazzuk a P (8, -2) koordinátapontra, akkor a következőt kapjuk:

P (8, -2) + T (-4,7) = P '= P' (4, 5)

A következő képen (balra) látható, hogy a C pont egybeesett a D-vel. Függőleges irányban tette, az irány felfelé volt, és a CD távolsága vagy nagysága 8 méter volt. A jobb oldali képen megfigyelhető egy háromszög fordítása:

Forgatással

Ezek azok az izometriák, amelyek lehetővé teszik az ábra számára, hogy elforgassa a sík összes pontját. Mindegyik pont elfordul egy ívet követve, amelynek állandó szöge van és egy rögzített pontot (forgáspontot) határoz meg.

Vagyis az összes forgást a forgáspontja és a forgási szög határozza meg. Amikor egy figurát forgatással alakítanak át, megtartja szögeinek és oldalának a mértékét.

A forgás egy bizonyos irányban megy végbe, akkor pozitív, ha az elforgatás az óramutató járásával ellentétes irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban), és negatív, ha az elforgatás az óramutató járásával megegyező irányban történik.

Ha egy pont (x, y) forgatjuk a származására - azaz, a forgási középpont jelentése (0,0) -, szögben 90 ^{, vagy} 360 ^{, vagy} a koordinátákat a pontok lesznek:

Abban az esetben, ha a forgatásnak nincs központja a kiindulási ponton, a koordinátarendszer eredetét át kell helyezni az új megadott származási helyre, hogy az ábrát el lehessen forgatni úgy, hogy az origó mint központ legyen.

Például, ha P (-5,2) pontot alkalmaznak, akkor 90 fordulatot kell tenni, ^vagy az eredeti körül pozitív módon az új koordinátái (-2,5).

Tükrözés vagy szimmetria alapján

Ezek azok a transzformációk, amelyek megfordítják a sík pontjait és alakjait. Ez az inverzió lehet egy pont vonatkozásában, vagy egy vonal vonatkozásában is.

Más szavakkal, az ilyen típusú átalakulásban az eredeti ábra minden pontja a homológ ábra egy másik pontjával (képpel) van összekapcsolva, oly módon, hogy a pont és annak képe azonos távolságra legyen a szimmetriatengelynek nevezett vonaltól..

Így az ábra bal oldala a jobb oldal tükröződik, alakja vagy méretei megváltoztatása nélkül. A szimmetria átalakítja az ábrát egy másik egyenlővé, de ellentétes irányba, amint az a következő képen látható:

A szimmetria sok szempontból megtalálható, például egyes növényekben (napraforgó), állatokban (páva) és természeti jelenségekben (hópelyhek). Az ember az arcán visszatükrözi, amelyet a szépség tényezõjének tekintünk. A reflexió vagy a szimmetria kétféle lehet:

Központi szimmetria

Az a transzformáció történik egy ponthoz viszonyítva, amelyben az ábra megváltoztathatja tájolását. Az eredeti ábra minden egyes pontja és képe azonos távolságra van az O ponttól, amelyet szimmetria középpontnak neveznek. A szimmetria központi, ha:

- Mind a pont, mind a képe és a középpont ugyanabba a vonalba tartozik.

- Ha az O középpont 180 ^o elforgatásával megkapja az eredeti értékét.

- A kezdő ábra vonalai párhuzamosak a kialakított ábra vonalaival.

- Az ábra értelme nem változik, mindig az óramutató járásával megegyező irányban történik.

Forgatás összetétele

Az ugyanazon középpontú két fordulat összetétele másik fordulatot eredményez, amelynek ugyanaz a középpontja van, és amelynek amplitúdója a két fordulat amplitúdóinak összege.

Ha a fordulások középpontjában eltérő középpont van, akkor a hasonló pontok két szegmensének felezője vágás lesz a forduló központja.

Szimmetria összetétele

Ebben az esetben a kompozíció attól függ, hogy alkalmazzák:

- Ha ugyanazt a szimmetriát kétszer alkalmazzák, az eredmény azonosító lesz.

- Ha két szimmetriát alkalmaznak két párhuzamos tengelyre, akkor eredmény lesz fordítás, és elmozdulása a tengelyek távolságának kétszerese:

- Ha két szimmetriát alkalmaznak az O pontban (középpontban) keresztező két tengelyre, akkor az O közepével történő forgás érhető el, és annak szöge kétszerese a tengelyek által létrehozott szögnek:

Irodalom

1. V Bourgeois, JF (1988). Anyagok a geometria felépítéséhez. Madrid: Összefoglalás.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Műszaki rajz II. Paraninfo SA: A torony kiadásai.
3. Coxeter, H. (1971). A geometria alapjai. Mexikó: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometria A transzformációs megközelítés. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukció és formalizálás a merev transzformációk tanításában a CABRI környezetben.
6. PJ (1996). A sík izometriainak csoportja. Madrid: Összefoglalás.
7. Suárez, AC (2010). Átalakulások a síkban. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.