DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ: TULAJDONSÁGOK, ALKALMAZÁSOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A diszkrét Fourier-transzformáció egy numerikus módszer a minták meghatározására, amelyek a jelet képező spektrális frekvenciákra vonatkoznak. Az időszakos függvényeket zárt paraméterekben tanulmányozza, ennek eredményeként újabb diszkrét jelet adva.

Az N pont diszkrét Fourier-transzformációjának elkülönítéséhez diszkrét jelnél a következő 2 feltételnek kell teljesülnie egy x sorozaton:

TDF

A diszkrét Fourier-transzformáció meghatározható úgy, mint a Fourier-transzformáció N-pontos mintavétele.

A diszkrét Fourier-transzformáció értelmezése

Forrás: Pexels

Vannak 2 szempontból, amelyből a kapott eredményeket a szekvencia x _s lehet értelmezni keresztül diszkrét Fourier-transzformáció.

- Az első megfelel a Fourier-sorozatból már ismert spektrális együtthatóknak. Ez figyelhető meg a diszkrét periodikus jelek, a mintákat egybeesik a szekvenciával x _s.

-A második foglalkozik a spektrum diszkrét aperiodikus jelet, a mintákat megfelelő szekvenciájú x _s.

A diszkrét transzformáció közelíti az eredeti analóg jel spektrumához. Fázisa a mintavételi tényezőktől függ, míg nagysága a mintavételi intervallumtól függ.

Tulajdonságok

A szerkezet algebrai alapjai alkotják a következő szakaszok indoklását.

Linearitás

C. S _n → C. F; Ha egy szekvenciát megszorozzunk egy skalárral, akkor annak transzformációja is lesz.

T _n + V _n = F + F; Egy összeg transzformációja egyenlő a transzformációk összegével.

Kettősség

F → (1 / N) S _-k; Ha a diszkrét Fourier-transzformációt újra kiszámítottuk egy már transzformált kifejezésre, akkor ugyanazt a kifejezést kapjuk, N-ben skálázzuk és a függőleges tengelyhez viszonyítva megfordítjuk.

tekeredés

Hasonló célokat követve, mint a Laplace-transzformációnál, a függvények konvolúciója a Fourier-transzformációk közötti termékre vonatkozik. A konvolúció a diszkrét időkre is vonatkozik, és sok modern eljárásért felelős.

X _n * R _n → F, F; Egy konvolúció transzformációja megegyezik a transzformációk szorzatával.

X _n. R _n → F * F; Egy termék transzformációja megegyezik a transzformációk konvolúciójával.

Elmozdulás

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Ha egy szekvencia m mintával késik, akkor annak a diszkrét transzformációra gyakorolt ​​hatása a (2π / N) km-vel meghatározott szög módosulása lesz.

Szimmetria

X _t = X * _t = X _t

Moduláció

W ^-nm _N. x ↔ X _t

Termék

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Szimmetria

X ↔ X _t = X * _t

Konjugált

x * ↔ X * _t

Parrseval egyenlet

A hagyományos Fourier-transzformációval kapcsolatban számos hasonlósága és különbsége van. A Fourier-transzformáció egy szekvenciát folytonos vonalmá alakítja. Ilyen módon azt mondják, hogy a Fourier-változó eredménye egy valós változó komplex függvénye.

A diszkrét Fourier-transzformáció ellentétben egy diszkrét jelet vesz és egy másik diszkrét jellé alakítja, vagyis egy szekvenciává.

Mire szolgál a diszkrét Fourier-transzformáció?

Elsősorban az egyenletek nagymértékű egyszerűsítésére szolgálnak, miközben a származtatott kifejezéseket erő elemekké alakítják. A differenciális kifejezések jelölése integrálható polinom formákban.

Az eredmények optimalizálásában, modulálásában és modellezésében szabványos kifejezésként működik, és több generáció után gyakori forrásként szolgál a mérnöki munkához.

Forrás: pixabay

Történelem

Ezt a matematikai fogalmat Joseph B. Fourier 1811-ben vezetett be, miközben kidolgozta a hőterjedésről szóló értekezését. A tudomány és a mérnöki ágazatok gyorsan elfogadták.

Megalapozottan a parciális származtatott egyenletek tanulmányozásának fő munkaeszköze, még a Laplace-transzformáció és a közönséges differenciálegyenletek közötti meglévő munkaviszonyhoz viszonyítva.

Minden olyan funkciónak, amely a Fourier-transzformációval működik, a megadott paraméteren kívül nullának kell lennie.

Diszkrét Fourier-transzformáció és annak inverze

A diszkrét transzformációt a következő kifejezéssel kapjuk:

Egy különálló X sorozat megadása után

A diszkrét Fourier-transzformáció inverzét a következő kifejezéssel határozzuk meg:

Fordított hajtótengely

A diszkrét transzformáció elérése után lehetővé teszi a szekvencia meghatározását az X időtartományban.

Szárnyas

A diszkrét Fourier-transzformációnak megfelelő paraméterezési folyamat az ablakban rejlik. A transzformáció végrehajtásához időben korlátoznunk kell a sorozatot. Sok esetben a szóban forgó jelek nem rendelkeznek ezekkel a korlátozásokkal.

A szekvencia, amely nem felel meg a diszkrét transzformációra alkalmazandó méretkritériumoknak, megsokszorozható egy "ablak" V függvénnyel, amely meghatározza a szekvencia viselkedését egy szabályozott paraméterben.

X. V

A spektrum szélessége az ablak szélességétől függ. Ahogy az ablak szélessége növekszik, a kiszámított transzformáció szűkebb lesz.

Alkalmazások

Az alapvető megoldás kiszámítása

A diszkrét Fourier-transzformáció hatékony eszköz a diszkrét szekvenciák vizsgálatában.

A diszkrét Fourier-transzformáció a folyamatos változó funkciót diszkrét változó transzformációvá alakítja.

A hőegyenlet Cauchy-problémája a diszkrét Fourier-transzformáció gyakori alkalmazási területét mutatja be . Ahol a hő vagy a Dirichlet mag funkciója keletkezik, amely egy meghatározott paraméter mintavételi értékeire vonatkozik.

Jelelmélet

A diszkrét Fourier-transzformáció alkalmazásának általános oka ebben az ágban elsősorban a jel jellegzetes bomlására vezethető vissza, a könnyebben kezelhető jelek végtelen szuperpozíciójaként.

Lehet hang- vagy elektromágneses hullám, a diszkrét Fourier-transzformáció kifejezi azt az egyszerű hullámok szuperpozíciójában. Ez az ábrázolás nagyon gyakori az elektrotechnikában.

A Fourier sorozat

A koszinuszok és a szinuszok szerint meghatározott sorozatok. Ezek elősegítik az általános időszakos funkciókkal végzett munkát. Alkalmazásuk részét képezi a közönséges és részleges differenciálegyenletek megoldásának technikáinak.

A Fourier sorozatok még általánosabbak, mint a Taylor sorozatok, mivel olyan periodikus folytonos függvényeket fejlesztenek ki, amelyek nem rendelkeznek Taylor sorozat reprezentációval.

A Fourier sorozat egyéb formái

A Fourier-transzformáció analitikus megértése érdekében fontos áttekinteni a Fourier-sorozat megtalálásának egyéb módjait, amíg a Fourier-sorozatot nem lehet meghatározni komplex jelölésében.

-Fourier sorozat a 2L periódus függvényében:

Az intervallumot figyelembe vesszük, amely előnyei vannak a funkciók szimmetrikus jellemzőinek kihasználásakor.

Ha f egyenletes, akkor a Fourier sorozat koszinuszok sorozata lesz.

Ha f páratlan, akkor a Fourier-sorozat szinusz-sorozatként jön létre.

-A Fourier sorozat komplex jelölése

Ha van egy olyan f (t) függvény, amely megfelel a Fourier-sorozat összes követelményének, akkor ezt az intervallumban a komplex jelölés felhasználásával lehet megjelölni:

Példák

Az alapvető megoldás kiszámítását illetően a következő példákat mutatjuk be:

Másrészről, az alábbiakban bemutatjuk a diszkrét Fourier-transzformáció alkalmazását a jelelmélet területén:

-Rendszer-azonosítási problémák. Alapítva f és g

-Probléma a kimeneti jel konzisztenciájával

-Problémák jelszűréssel

Feladatok

1. Feladat

Számítsa ki a diszkrét Fourier-transzformációt a következő sorrendre.

Az X tengelycsonkját a következőképpen definiálhatja:

X _t = {4, -j2, 0, j2}, ha k = 0, 1, 2, 3

2. gyakorlat

Az x (t) = e ^-t kifejezéssel meghatározott spektrális jelet digitális algoritmussal akarjuk meghatározni. Ahol a maximális frekvencia igénylő együttható f _m = 1 Hz. A harmonikus értéke f = 0,3 Hz, a hiba 5% -nál kevesebb lehet. Számítsuk ki f _s, D és N.

A mintavételi tétel figyelembevételével f _s = 2f _m = 2 Hz

F ₀ = 0,1 Hz frekvencia felbontást választunk, amelyből D = 1 / 0,1 = 10 s értéket kapunk

0,3 Hz a k = 3 indexnek megfelelő frekvencia, ahol N = 3 × 8 = 24 minta. Jelzi, hogy f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Mivel a cél az N lehető legalacsonyabb érték elérése, a következő értékek tekinthetők megoldásként:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Irodalom

1. A diszkrét Fourier-transzformáció elsajátítása egy, két vagy több dimenzióban: buktatók és tárgyak. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, július 19. 2013
2. A DFT: A diszkrét Fourier-transzformáció tulajdonosának kézikönyve. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, január 1. ezerkilencszázkilencvenöt
3. Digitális jelfeldolgozás: elmélet és gyakorlat. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. A jelelemzés és reprezentáció transzformációi és gyors algoritmusai. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Tudományos és Üzleti Média, december 6. 2012
5. Diszkrét és folyamatos Fourier-transzformációk: elemzés, alkalmazások és gyors algoritmusok. Eleanor Chu. CRC Press, március 19. 2008