SCALENE TRAPEZOID: TULAJDONSÁGOK, KÉPLETEK ÉS EGYENLETEK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A léptékű trapéz alakú négyszög sokszög, amelyeknek két oldala párhuzamos egymással, és amelynek négy belső szöge különbözik egymástól.

Az alább látható az ABCD négyszög, ahol az AB és a DC oldalak párhuzamosak egymással. Ez elegendő ahhoz, hogy trapéz alakúvá váljon, de az α, β, γ és δ belső szöge is különbözik egymástól, tehát a trapéz skála.

1. ábra. Az ABCD négyszögletű trapéz alakú az 1. feltétel és a skála a 2. feltétel szerint. Forrás: F. Zapata.

A méretarányú trapéz elemei

Itt vannak a legjellemzőbb elemek:

Alapok és oldalak: A trapéz párhuzamos oldalainak alapjai vannak, a két nem párhuzamos oldal pedig az oldalak.

A léptékű trapéz alakban az alapok különböző hosszúságúak, és az oldalsó is. A méretarányú trapéz azonban oldalsó hosszú lehet, mint az alap.

-Median: az a szegmens, amely csatlakozik az oldalsó középpontjaihoz.

-Átlóságok: A trapéz átlója az a szegmens, amely két egymással ellentétes csúcsot összeköt. A trapéz alakú, mint minden négyszög, két átlóval rendelkezik. A léptékű trapéz alakban különböző hosszúságúak.

Egyéb trapéz alakú

A léptékű trapézmezőn kívül vannak más speciális trapézok is: a jobb oldali trapéz és az egyenlő szárú trapéz.

A trapéz alak egy téglalap, amikor annak egyik szöge derékszögű, míg a párhuzamos trapéz alakú oldalai azonos hosszúságúak.

A trapéz alaknak számos felhasználása van tervezési és ipari szinten, például a repülőgépek szárnyak konfigurációjában, a mindennapi tárgyak alakjában, például asztalok, szék háttámlák, csomagolások, pénztárcák, textilnyomatok és még sok más.

2. ábra. A trapéz alak alakja jellemző a repülőgépek szárnyas konfigurációjában. Forrás: Wikimedia Commons.

Tulajdonságok

A skála trapéz tulajdonságait az alábbiakban soroljuk fel, ezek közül sok más kiterjed a más trapéz típusra is. A következőkben, amikor a "trapéz" -ról beszélünk, az tulajdonság bármilyen típusra vonatkozik, beleértve a skalént is.

1. A trapéz mediánja, azaz a nem párhuzamos oldalai középpontjaival összekötő szegmens párhuzamos az alapokkal.

2. A trapéz mediánjának hossza megegyezik az alapjainak félszélével, és átlóságait vágja a középpontban.

3. A trapéz átlói metszik egy olyan pontot, ahol két részre osztják őket, amelyek arányosak az alapok hányadosával.

4. A trapéz átlójának négyzetének összege megegyezik az oldalának négyzetének összegével, plusz az alapok kettős szorzatával.

5. - Az átlósok középpontjaival összekötő szegmens hossza megegyezik az alapok félkülönbségével.

6.- Az oldalsó szögek kiegészítik egymást.

7. Egy skála trapéz alakban átlóságai eltérőek.

8.- A trapéz alakú kerület csak akkor írható be, ha alapjainak összege megegyezik oldalának összegével.

9. Ha egy trapéz alakú kerület fel van tüntetve, akkor a szöget a kerület közepén lévő csúccsal és a trapéz oldalának végén áthaladó oldalakkal egyenesen végezzük.

10.- A skála-trapéz nem rendelkezik körülhatárolt kerülettel, az egyetlen trapéz-típus az egyenlő szárú.

Képletek és egyenletek

A léptékű trapéz következő kapcsolataira a következő ábra vonatkozik.

1.- Ha AE = ED és BF = FC → EF - AB és EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, azaz: m = (a + c) / 2.

3. di = IB = d ₁ /2 és AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) hasonlóan CJ / JA = (c / a).

3. ábra. A skála trapéz közepe és átlója. Forrás: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

ekvivalensen:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Vagyis:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ és β + γ = 180⁰

8.- Ha α ≠ β ≠ γ ≠ δ, akkor d1 ≠ d2.

9.- A 4. ábra egy méretarányú trapéz alakú ábrát mutat, amelynek felülete kerület, ebben az esetben igaz, hogy:

a + c = d + b

10.- Az ABCD méretarányú trapéz alakú trapéz alakjában, az O középpont feliratú kerületével, az alábbiak is érvényesek:

AOD = ∡BOC = 90⁰

4. ábra: Ha egy trapéz alakban megbizonyosodik arról, hogy az alapjainak összege megegyezik az oldalsók összegével, akkor ott van a kerület felírása. Forrás: F. Zapata.

Magasság

A trapéz magasságát úgy kell meghatározni, mint az a szegmens, amely az alap egy pontjától merőlegesen az ellenkező alapra (vagy annak kiterjesztésére) megy.

A trapéz magasságának ugyanaz a h mérése van, tehát a szó magassága általában a mérésére utal. Röviden: a magasság az alapok közötti távolság vagy távolság.

A h magasság úgy határozható meg, hogy megismerjük az egyik oldal hosszát és az oldal melletti szögek egyikét:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Középső

A trapéz mediánjának m mértéke a bázisok részösszege:

m = (a + b) / 2

Diagonal vonalok

d ₁ = √

d ₂ = √

Ez akkor is kiszámítható, ha csak a trapéz oldalának hossza ismert:

d ₁ = √

d ₂ = √

kerülete

A kerület a kontúr teljes hossza, azaz az összes oldalának összege:

P = a + b + c + d

Terület

A trapéz terület területe az alapjainak félszöge, szorozva a magasságával:

A = h ∙ (a + b) / 2

Azt is kiszámíthatjuk, ha ismert a m medián és a h magasság:

A = m ∙ h

Abban az esetben, ha csak a trapéz oldalának hossza ismert, a terület meghatározható Heron képletével:

A = ∙ √

Ahol s a félperimeter: s = (a + b + c + d) / 2.

A skála trapéz egyéb arányai

A medián és az átlók metszéspontja és az átlós kereszteződésen áthaladó párhuzamosság más összefüggéseket eredményez.

5. ábra. A skála trapéz más kapcsolatai. Forrás: F. Zapata.

- Kapcsolat a medián EF-vel

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- A KL alapokkal párhuzamos és az átlók J metszéspontját áthaladó szegmens kapcsolata

Ha KL - AB - DC J ∈ KL-vel, akkor KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

A skála trapéz alakja vonalzóval és iránytűvel

Figyelembe véve az a és c hosszúság alapjait, ahol a> cy a b és d hosszúságú oldalakkal, ahol b> d, akkor kövesse az alábbi lépéseket (lásd a 6. ábrát):

1.- A szabály segítségével felhívjuk a nagy AB szegmensét.

2.- A se-től és AB-től jelölje meg a P pontot úgy, hogy AP = c.

3.- A P irányú iránytűvel és d sugárral ívet kell rajzolni.

4.- B ponton egy közepet készítünk b sugárral, és rajzolunk egy ívet, amely elfogja az előző lépésben rajzolt ívet. Q-nak hívjuk a metszéspontot.

6. ábra. A méretarányú trapéz szerkezete az oldalát tekintve. Forrás: F. Zapata.

5.- Az A közepén húzzon egy d sugarú ívet.

6.- A középpontnál Q álljon rajzolva egy olyan c sugarú ívet, amely elfogja az előző lépésben rajzolt ívet. A küszöbértéket R-nek hívják.

7.- A BQ, QR és RA szegmenseket az vonalzóval rajzoljuk.

8.- A négyszögletű ABQR egy skála trapéz alakú, mivel az APQR egy párhuzamos diagram, amely garantálja, hogy az AB - QR.

Példa

A következő hosszúságok cm-ben vannak megadva: 7, 3, 4 és 6.

a) Határozzuk meg, lehet velük-e egy skála-trapézot felépíteni, amely köröket tud körülírni.

b) Keresse meg a trapéz alakját, területét, átlóinak hosszát és magasságát, valamint a felírt kör sugarat.

- Megoldás

A 7 és 3 hosszú szegmenseket alapként, a 4 és 6 hosszú szegmenseket oldalként felhasználva egy skála trapéz alakú szerkezetet lehet előállítani az előző szakaszban ismertetett eljárás szerint.

Ellenőrizni kell, hogy van-e beírott kerülete, de emlékezzen rá a tulajdonságra (9):

Ezt hatékonyan látjuk:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Akkor a feltüntetett kerület létezésének feltétele teljesül.

- b. Megoldás

kerülete

A P kerületet az oldalak hozzáadásával kapjuk. Mivel az alapok akár 10 és az oldalsó is, a kerülete:

P = 20 cm

Terület

A terület meghatározására, amely csak az oldalait ismert, a kapcsolatot alkalmazzuk:

A = ∙ √

Ahol s a félperimeter:

s = (a + b + c + d) / 2.

Esetünkben a semiperimetre s = 10 cm értékű. A megfelelő értékek helyettesítése után:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Maradványok:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Magasság

A h magasság az A területtel függ össze a következő kifejezéssel:

A = (a + c) ∙ h / 2, ahonnan a magasság kiszámítható:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

A felírt kör sugara

A felírt kör sugara megegyezik a magasság felével:

r = h / 2 = 1,984 cm

Diagonal vonalok

Végül megtaláljuk az átlók hosszát:

d ₁ = √

d ₂ = √

Megfelelően helyettesíti a meglévő értékeket:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Azaz: d ₁ = 4,69 cm, és d ₂ = 8,49 cm

7. ábra. Scalene trapezoid, amely megfelel a beírt kerület létezésének feltételeinek. Forrás: F. Zapata.

A feladat megoldódott

Határozzuk meg a trapéz belső szögeit az AB = a = 7, CD = c = 3 és az oldalsó szögek BC = b = 6, DA = d = 4 alapján.

Megoldás

A koszinusz-tétel alkalmazható a szögek meghatározására. Például az ∠A = α szöget az ABD háromszögből kell meghatározni, ha AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 és DA = d = 4.

A háromszögre alkalmazott koszinusz-tétel így néz ki:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), azaz:

72 = 49 + 16-56 ° C (α).

Megoldva az α szög koszinuszát kapjuk:

Cos (α) = -1/8

Vagyis α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

A többi szöget ugyanúgy kapjuk meg, értékük:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ és végül δ = 82,82⁰.

Irodalom

1. CEA (2003). Geometriai elemek: gyakorlatokkal és iránytű geometriával. Medellini Egyetem.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Fedezze fel a sokszögeket. Összehasonlító oktatási társaság.
4. Hendrik, V. (2013). Általános poligonok. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematika első félév Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. (2014). Sokszög. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren és Hornsby. (2006). Matematika: érvelés és alkalmazások (tizedik kiadás). Pearson oktatás.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Szerkesztési progreso.
9. Wikipedia. Trapéz. Helyreállítva: es.wikipedia.com