EGYSZÖGLETES TRAPÉZ: TULAJDONSÁGOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK ÉS KÉPLETEK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

Egy egyenlő szárú trapéz alakú négyszög egy olyan négyszög, amelyben az oldal két oldala párhuzamos, és emellett a párhuzamos oldalak egyikével szomszédos két szög ugyanolyan méretű.

Az 1. ábrán van egy ABCD négyszög, amelyben az AD és a BC oldalak párhuzamosak. Ezenkívül az AD párhuzamos oldalával szomszédos ∠DAB és ∠ADC szögek ugyanazok az α méretek.

1. ábra. Egy páros szárú trapéz. Forrás: F. Zapata.

Tehát ez a négyszög, vagy négyoldalú sokszög valójában egyenlő szárú trapéz.

Egy trapéz alakban a párhuzamos oldalakat alapoknak, a nem párhuzamos oldalakat oldalsóknak nevezzük. További fontos jellemző a magasság, amely a párhuzamos oldalakat elválasztó távolság.

Az egyenlő szárú trapéz mellett más típusú trapéz is van:

-T rapezoid skála, amelynek minden szöge és oldalsó része meg van.

-Téglalap alakú rapezoid, amelynek egyik oldala derékszögben van.

A trapéz alakú forma a tervezés, építészet, elektronika, számítás és számos más területen általános, amint később kiderül. Ezért fontos megismerni tulajdonságait.

Tulajdonságok

Kizárólag az egyenlő szárú trapéz alakban

Ha a trapéz egyenlő szárú, akkor a következő jellemzőkkel rendelkezik:

1.- Az oldalak ugyanazzal a méréssel rendelkeznek.

2.- Az alapokkal szomszédos szögek megegyeznek.

3.- Az ellenkező szögek kiegészítők.

4.- Az átlók azonos hosszúságúak, az egymással szemben lévő csúcsokhoz tartozó két szegmens azonos.

5.- Az alapok és az átlók között kialakított szög mind azonos méretű.

6.- Körözött kerülete van.

Ezzel szemben, ha egy trapéz megfelel a fenti tulajdonságok bármelyikének, akkor egyenlő szárú trapéz.

Ha egy egyenlő szárú trapéz alakban az egyik szög jobb (90º), akkor az összes többi szög is jobb lesz, téglalapot képezve. Vagyis a téglalap egy páratlan trapéz alakú példa.

2. ábra. A pattogatott kukorica tárolóedény és az iskolai asztalok egyenlő szárú trapéz alakúak. Forrás: Pxfuel (balra) / McDowell Craig a Flickr-en keresztül. (jobb)

Minden trapézhez

A következő tulajdonságkészlet érvényes minden trapézra:

7. A trapéz mediánja, azaz a nem párhuzamos oldalai középpontjaival összekötő szegmens párhuzamos az alapokkal.

8.- A medián hossza megegyezik az alapjainak félértékével (az összeg osztva 2-vel).

9. A trapéz mediánja átlósan vágja át a középpontot.

10. Egy trapéz átlója keresztezi egy olyan pontot, amely két részre osztja őket az alapok hányadosával arányosan.

11. A trapéz átlójának négyzeteinek összege megegyezik az oldalának négyzetének összegével, plusz az alapok kettős szorzatával.

12. - Az átlósok középpontjaival összekötő szegmens hossza megegyezik az alapok fél-különbségével.

13.- Az oldalsó szögek kiegészítőek.

14. A trapéz alakú kerület akkor és csak akkor van beírva, ha alapjainak összege megegyezik oldalának összegével.

15. Ha egy trapéz alakú kerület felirattal rendelkezik, akkor a kerület közepén lévő csúcskal és az ugyanazon oldal végén áthaladó oldalakkal derékszögek vannak.

Kapcsolatok és képletek

A következő kapcsolatokra és képletekre hivatkozunk a 3. ábrán, ahol az egyenlő szárú trapezoidon kívül más, már említett fontos szegmenseket is ábrázolunk, például átlókat, magasságot és mediánot.

3. ábra. Középérték, átlók, magasság és körülírt kerület egyenlő szárú trapéz alakban. Forrás: F. Zapata.

Az egyenlő szárú trapéz egyedi kapcsolatai

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA és ∡ABC = ∡BCD

3.- ABDAB + ∡BCD = 180º és ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C és D a körülírt körbe tartoznak.

Kapcsolatok bármilyen trapézért

1. Ha AK = KB és DL = LC ⇒ KL - AD és KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 és DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC és DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ABDAB + ∡ABC = 180º és ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Ha AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, akkor azonos távolságra az AD, BC, AB és DC értékétől

15.- Ha ∃ R azonos távolságra van az AD, BC, AB és DC értékétől, akkor:

RABRA = ∡DRC = 90º

A párhuzamos trapéz viszonyai a beírt kerülettel

Ha egy egyenlő szárú trapéz alakban az alapok összege kétszer egy oldalirányú, akkor a felírt kerület létezik.

4. ábra. Trapéz alakú felülettel. Forrás: F. Zapata.

A következő tulajdonságok érvényesek, ha az egyenlő szárú trapéz alakú kerület felirattal rendelkezik (lásd a fenti 4. ábrát):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Az átlók merőlegesek: AC ⊥ BD

18.- A magasság megegyezik a medián értékével: HF = KL, vagyis h = m.

19.- A magasság négyzete megegyezik a bázisok szorzatával: h ² = BC⋅AD

20.- Ilyen különleges körülmények között a trapéz terület területe megegyezik a magasság négyzetével vagy az alapok szorzatával: Terület = h ² = BC⋅AD.

Az egyik oldal meghatározásának képletei, a másik oldal és a szög ismerete

Az alap, az oldalsó és a szög ismerete alapján a másik alap meghatározható:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Ha az alapok hosszát és egy szöget ismert adatokként adjuk meg, akkor mindkét oldal hossza:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Az egyik oldal meghatározása, a többi oldal ismerete és az átló

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Ahol d ₁ az átlók hossza.

Alap magasságtól, területtől és egyéb alaptól

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Ismert oldalsó alapok, terület és szög

c = (2A) /

Ismert oldalirányú medián, terület és szög

c = A / (m sin α)

Ismert oldalmagasság

h = √

Ismert magasság, szög és két oldal

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Ismert átlós mindkét oldal, vagy két oldal és egy szög

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Az egyenlő méretű háromszög kerülete

P = a + b + 2c

Egyszögletes trapéz-terület

Számos képlet használható a terület kiszámításához, az ismert adatoktól függően. Az alábbiak a legismertebbek, az alaptól és a magasságtól függően:

A = h⋅ (a + b) / 2

Használhatja ezeket a többit is:

-Ha az oldalak ismertek

A = √

-Ha van két oldal és egy szög

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Ha ismertek a felírt kör sugara és egy szög

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Ha a bázisok és a szög ismertek

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Ha a trapéz alakját fel lehet írni egy kerülettel

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- Tudja meg az átlók és a szöget, amelyek egymással alakulnak ki

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Ha van az oldalsó, a medián és a szög

A = mc.sen α = mc.sen β

A körülhatárolt kör sugara

Csak az egyenlő szárú trapéz alakú kerülete van. Ha a nagyobb a bázis, c oldalirány és d ₁ átló _ismeretes, akkor a trapéz négy csúcsán áthaladó kör R sugara:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Ahol p = (a + c + d ₁) / 2

Példák az egyenlő szárú trapéz felhasználására

A párhuzamos trapéz alak megjelenik a tervezés területén, ahogy az a 2. ábrán látható. És itt van néhány további példa:

Az építészet és az építés területén

Az ősi inkák ismerték az egyenlő szárú trapéz alakúkat és építőelemenként felhasználták ebben az ablakban Cuzco-ban, Peru:

5. ábra A Coricancha trapéz alakú ablaka, Cuzco. Forrás: Wikimedia Commons.

És itt a trapéz újra megjelenik az úgynevezett trapéz alakú lemezen, amely az építésben gyakran használt anyag:

6. ábra. Trapéz alakú fémlemez, amely ideiglenesen védi az épület ablakait. Forrás: Wikimedia Commons.

A tervezés során

Már láttuk, hogy az egyenlő szárú trapéz a mindennapi tárgyakban megjelenik, beleértve az olyan ételeket is, mint ez a csokoládé:

7. ábra. Csokoládé, amelynek arcai egyenlő szárú trapéz alakúak. Forrás: Pxfuel.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Egy egyenlő szárú trapéz alakja 9 cm-nél nagyobb, 3 cm-nél kisebb, átlója mindegyik 8 cm. Kiszámítja:

a) oldal

b) Magasság

c) kerület

d) Terület

8. ábra: Az 1. gyakorlat rendszere. Forrás: F. Zapata

Megoldás

A CP = h magasságot ábrázoljuk, ahol a magasság lába határozza meg a szegmenseket:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

A Pitagorasz-tétel felhasználásával a jobb oldali háromszög DPC-jéhez:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

És az APC jobb oldali háromszögéhez is:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Végül a tagok szerinti tagokból kivonjuk az első második egyenletet és egyszerűsítjük:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

B. Megoldás

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

C. Megoldás

Kerület = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2,6,083 = 24,166 cm

D. Megoldás

Terület = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- 2. gyakorlat

Van egy egyenlő szárú trapéz, amelynek nagyobb alapja kétszer kisebb, és kisebb alapja megegyezik a magassággal, amely 6 cm. Döntsd el:

a) Az oldal hossza

b) Kerület

c) Terület

d) Szögek

8. ábra. A 2. gyakorlat rendszere. Forrás: F. Zapata

Megoldás

Adatok: a = 12, b = a / 2 = 6 és h = b = 6

Az alábbiak szerint járunk el: felhívjuk a h magasságot, és alkalmazzuk a Pythagorai tételt a c c hipotenuus háromszögre, valamint a h és x lábakra:

c ² = h ² + xc ²

Ezután ki kell számítania a magasság értékét az adatokból (h = b) és az x lábból:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

A korábbi kifejezések helyett:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Most bevezették a numerikus értékeket, és egyszerűsítettük:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

megszerzése:

c = 3√5 = 6,71 cm

B. Megoldás

A kerület P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

C. Megoldás

A terület az alapok magasságának és hosszának függvényében:

A = H⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

D. Megoldás

Az α-szöget, amelyet az oldalsó a nagyobb alappal alakít ki, trigonometria segítségével kapja meg:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

A másik szög, amely az oldalirányú a kisebb alappal, β, amely kiegészíti az α-t:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Irodalom

1. EA 2003. Geometria elemei: gyakorlatokkal és az iránytű geometriájával. Medellini Egyetem.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Fedezze fel a sokszögeket. Összehasonlító oktatási társaság.
4. Hendrik, V. 2013. Általános poligonok. Birkhäuser.
5. IGER. Matematika első félév Tacaná. IGER.
6. Jr. geometria. 2014. Sokszögek. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren és Hornsby. 2006. Matematika: érvelés és alkalmazások. 10.. Kiadás. Pearson oktatás.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Szerkesztési progreso.
9. Wikipedia. Trapéz. Helyreállítva: es.wikipedia.com