NORMÁL VEKTOR: SZÁMÍTÁS ÉS PÉLDA - FIZIKAI - 2025

A normál vektor meghatározza a szóban forgó geometriai elemre merőleges irányt, amely lehet például görbe, sík vagy felület.

Ez egy nagyon hasznos koncepció egy mozgó részecske vagy valamilyen felület térben való elhelyezésekor. A következő grafikonon láthatjuk, hogy milyen a normál vektor egy tetszőleges C görbére:

1. ábra: C görbe, a vektorral a P pont görbéjéhez viszonyítva normál vektorral. Forrás: Svjo

Vegyünk egy P pontot a C görbén. Ez a pont egy mozgó részecskét reprezentálhat, amely egy C alakú pályán halad, és a P pont görbéjének érintõ vonalát vörös vonallal húzzuk.

Vegye figyelembe, hogy a T vektor érintője C-nek minden ponton, míg az N vektor merőleges a T-re, és egy képzeletbeli kör közepére mutat, amelynek ívének egy C szegmense van. A vektorokat vastag betűvel jelöljük nyomtatott szövegben, megkülönböztetni őket más nem vektor-mennyiségektől

A T vektor mindig jelzi, hogy a részecske hol mozog, tehát a részecske sebességét jelzi. Másrészről, az N vektor mindig a részecske forgásának irányába mutat, ilyen módon jelzi a C görbe görbületét.

Hogyan juthatunk el a normál vektorhoz egy síkra?

A normál vektor nem feltétlenül egységvektor, azaz olyan vektor, amelynek modulusa 1, de ha igen, akkor normál egységvektornak nevezzük.

2. ábra: Bal oldalon egy P sík és a két vektor, amelyek a síkhoz képest normálisak. Jobb oldalon az egységvektorok a tér irányát meghatározó három irányba mutatnak. Forrás: Wikimedia Commons. Lásd a szerző oldalát

Számos alkalmazásban meg kell ismerni a síkhoz viszonyított vektort, nem pedig egy görbét. Ez a vektor feltárja az említett sík térbeli tájolását. Vegyük például az ábra P (sárga) síkját:

Két normál vektor van ezen a síkon: n ₁ és n ₂. Az egyik vagy a másik használata attól a kontextustól függ, amelyben az említett sík megtalálható. A normál vektort síkhoz jutni nagyon egyszerű, ha a sík egyenlete ismert:

Itt az N vektort az i, j és k merőleges egységvektorokkal fejezzük ki, amelyek a xyz-teret meghatározó három irány mentén vannak, lásd a 2. ábrát jobbra.

A normál vektor a vektortermékből

Egy nagyon egyszerű eljárás a normál vektor megtalálására felhasználja a vektor termék tulajdonságait két vektor között.

Mint ismeretes, három különböző, egymással nem egyenes vonalú pont határozza meg a P síkot. Most két u és v vektort kaphatunk, amelyek az említett síkhoz tartoznak, amelyekben ez a három pont van.

Miután megkaptuk a vektorokat, az u x v vektortermék egy olyan művelet, amelynek eredményeként egy vektor, amelynek tulajdonsága az, hogy merőleges az u és v által meghatározott síkra.

Ezt a vektort ismert módon N- ként jelöljük, és ebből az előző szakaszban megadott egyenlet segítségével meg lehet határozni a sík egyenletét:

N = u x v

A következő ábra szemlélteti a leírt eljárást:

3. ábra. Két vektorral és azok vektortermékével vagy keresztjével meghatározzuk a két vektorot tartalmazó sík egyenletét. Forrás: Wikimedia Commons. Nem áll rendelkezésre géppel olvasható szerző. M.Romero Schmidtke feltételezte (szerzői jogi állítások alapján).

Példa

Keresse meg az A pontok által meghatározott sík egyenletét (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Megoldás

Ez a gyakorlat szemlélteti a fent leírt eljárást. A 3 pont megszerzésével az egyiket választják az e pontok által meghatározott síkhoz tartozó két vektor közös eredetévé. Például, az A pontot úgy kell beállítani, mint az eredet, és az AB és AC vektorok felépítésre kerülnek.

Az AB vektor az a vektor, amelynek eredete A pont, és amelynek végpontja B pont. Az AB vektor koordinátáit úgy határozzuk meg, hogy B koordinátáit kivonjuk az A koordinátáitól:

Ugyanezzel a lépéssel keressük meg az AC vektort:

A vektor termék kiszámítása

Számos eljárás létezik a két vektor közötti kereszttermék megtalálására. Ez a példa olyan mnemonikus eljárást alkalmaz, amely a következő ábrát használja az i, j és k egységvektorok közötti vektortermékek megtalálására :

4. ábra: Az egységvektorok közötti vektor termék meghatározásának grafikonja. Forrás: saját készítésű.

Először emlékezzünk arra, hogy a párhuzamos vektorok közötti vektor termékek nullák, tehát:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

És mivel a vektortermék egy másik vektor, amely merőleges a részt vevő vektorokra, a piros nyíl irányában mozogva:

Ha a nyíllal ellentétes irányban kell mozognia, akkor adj hozzá egy jelet (-):

Összességében 9 vektorterméket lehet előállítani az i, j és k egységvektorral, amelyek közül 3 nulla.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

A sík egyenlete

Az N vektort az előzőleg kiszámított vektor termék határozza meg:

N = 2 i -8 j -2 k

Ezért a = 2, b = -8, c = -2, a kívánt sík:

D értékét még meg kell határozni. Ez könnyű, ha a rendelkezésre álló A, B vagy C pontok bármelyikének értékei helyettesítésre kerülnek a sík egyenletében. Például a C választása:

x = 4; y = 2; z = 1

Maradványok:

Röviden: a keresett térkép a következő:

A kíváncsi olvasónak azon tűnődhet, vajon ugyanazt az eredményt kapnák-e, ha az AB x AC elvégzése helyett az AC x AB megválasztását választották volna . A válasz igen, a három pont által meghatározott sík egyedi, és két normál vektorral rendelkezik, amint az a 2. ábrán látható.

A vektorok eredeteként kiválasztott pontot illetően nincs probléma a másik kettő közül egyik kiválasztásával.

Irodalom

1. Figueroa, D. (2005). Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika. Szerkesztette Douglas Figueroa (USB). 31–62.
2. A sík normáljának megkeresése. Helyreállítva: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Kalkulus és analitikus geometria. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Vonalak és síkok az R-ben. Helyreállítva: math.harvard.edu.
5. Normál vektor. Helyreállítva a mathworld.wolfram.com webhelyről.