AZ ŰRBEN TALÁLHATÓ VEKTOROK: HOGYAN ÁBRÁZOLHATJUK AZ ALKALMAZÁSOKAT, A FELADATOKAT - FIZIKAI - 2026

A térben lévő vektor mindaz, amelyet egy x, y és z koordinátarendszer képvisel. Legtöbbször az xy sík a vízszintes felület síkja, és a z tengely a magasságot (vagy mélységet) képviseli.

Az 1. ábrán látható derékszögű koordináta-tengelyek osztják a teret 8, oktánsoknak nevezett régióra, analóg módon azzal, hogy az x-y tengely hogyan osztja a síkot 4-re. Ezután lesz 1. és 2. oktáns, és így tovább.

1. ábra. Vektor az űrben. Forrás: saját készítésű.

Az 1. ábra egy v vektor jelenlétét mutatja az űrben. Bizonyos perspektíva szükséges ahhoz, hogy a képernyő síkján megjelenjen a három dimenzió illúziója, amelyet ferde nézet rajzolásával lehet elérni.

Ábrázolásához 3D vektor, kell használni, a szaggatott vonalak, amelyek meghatározzák a rács a koordinátáit a nyúlvány vagy „árnyék” v a xy felületen. Ez a vetítés O-nál kezdődik és a zöld ponton végződik.

Azután oda kell haladnia a függőleges mentén a szükséges magasságig (vagy mélységig), a z értéknek megfelelően, amíg el nem éri a P értéket. A vektor O-tól kezdve és P-vel végződik, amely a példában az 1. oktánsban van.

Alkalmazások

Az űrben található vektorokat széles körben használják a mechanikában és a fizika és a mérnöki más ágazatokban, mivel a bennünket körülvevő szerkezetek három dimenzióban igényelnek geometriát.

Az űrben lévő helyzetvektorokat az objektumok pozicionálására használják egy OR OR origónak nevezett referenciaponthoz viszonyítva, ezért a navigációban is szükséges eszközök, de ez még nem minden.

Az olyan szerkezetekre ható erők, mint a csavarok, konzolok, kábelek, rugók és egyéb elemek vektorok jellegűek és térben orientáltak. Annak érdekében, hogy megismerjük annak hatását, meg kell ismerni annak címét (és alkalmazási pontját is).

És gyakran egy erő irányát megismerik azáltal, hogy megismerik a térben két pontját, amelyek a cselekvési vonalához tartoznak. Ilyen módon az erő:

F = F u

Ahol F az erő nagysága vagy nagysága, és u az egység vektor (1. modul) az F cselekvési vonal mentén.

Jelölések és 3D vektor-ábrázolások

Mielőtt folytatnánk néhány példa megoldását, röviden áttekintjük a 3D vektor jelölést.

Az 1. ábra példájában az a vektor, amelynek kiindulási pontja egybeesik az O kezdettel, és amelynek vége P pont, pozitív xyz koordinátákkal rendelkezik, míg az y koordináta negatív. Ezek a koordináták: x ₁, y ₁, z ₁, amelyek pontosan P koordinátái.

Tehát ha van egy olyan vektor, amely az eredethez kapcsolódik, vagyis amelynek kezdőpontja egybeesik O-val, nagyon könnyű megjelölni annak koordinátáit, amelyek a szélső pont vagy a P koordinátái lesznek. Egy pont és egy vektor megkülönböztetésére az utolsó félkövér betűk és zárójelek, így:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Míg a P pont zárójelben van feltüntetve:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Egy másik ábrázolás az i, j és k egységvektort használja, amelyek meghatározzák a tér három irányát az x, y és z tengelyen.

Ezek a vektorok merőlegesek egymásra és ortonormális alapot képeznek (lásd a 2. ábrát). Ez azt jelenti, hogy egy 3D-s vektor az alábbiak szerint írható:

v = v _x i + v _y j + v _z k

A vektor szögei és rendező koszinusai

A 2. ábra azt is mutatja, a rendező szögek y ₁, γ ₂ és γ ₃, hogy a vektor v teszi rendre az x, y és z tengelyekkel. Ismerve ezeket a szögeket és a vektor nagyságát, teljesen meghatározzuk. Ezen felül a rendezőszögek koszinuszai megfelelnek a következő kapcsolatnak:

(cos γ ₁) ² + (cos γ ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

2. ábra. Az i, j és k egységvektorok a tér 3 preferenciális irányát határozzák meg. Forrás: saját készítésű.

Megoldott gyakorlatok

-1. Feladat

A 2. ábrán az 50 modulus v értéke vektorának a koordinátatengelyekkel kialakuló γ ₁, γ ₂ és γ ₃ szögei: 75,0º, 60,0º és 34,3º. Keresse meg ennek a vektornak a derékszögű összetevőit, és ábrázolja azt i, j és k egységvektorban.

Megoldás

A v vektor kivetítése az x tengelyre v _x = 50. cos 75º = 12,941. Ugyanezen módon a v vetülete az y tengelyen v _y = 50 cos 60 ° = 25, végül a z tengelyen v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Most v lehet kifejezni:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- 2. gyakorlat

Keresse meg az egyes kábelek feszültségeit, amelyek az kanalat az ábrán egyensúlyi állapotban tartják, ha a tömege 30 N.

3. ábra: A 2. gyakorlat stressz diagramja.

Megoldás

A vödör szabad testének diagramja azt jelzi, hogy T _D (zöld) eltolja a W (sárga) súlyt, ezért T _D = W = 30 N.

A csomópont, a vektor T _D irányul függőlegesen lefelé, akkor:

T _D = 30 (- k) N.

A fennmaradó feszültségek meghatározásához kövesse az alábbi lépéseket:

1. lépés: Keresse meg az összes pont koordinátáit

A = (4.5,0,3) (A az xz fal síkján van)

B = (1,5,0,0) (B az x tengelyen van)

C = (0, 2,5, 3) (C a fal síkján van és z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D a vízszintes xy síkon van)

2. lépés: Keresse meg a vektorokat mindkét irányba úgy, hogy kivonja a vége és a kezdő koordinátáit

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; egy; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

3. lépés: Számítsa ki a modulokat és az egységvektorokat

Egységvektort az u = r / r kifejezéssel kapunk, ahol r (vastag betűvel) a vektor és r (nem vastag betűvel) a vektor modulja.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0.33; 0,67>

u _DC = <-1,5; egy; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -egy; 0>

u _D = <0; 0; -1>

4. lépés: Minden feszültséget kifejezzen vektorokként

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0.33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -egy; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

5. lépés: Alkalmazza a statikus egyensúlyi feltételt és oldja meg az egyenletrendszert

Végül a statikus egyensúly feltételét alkalmazzák a vödörre úgy, hogy a csomóponton lévő összes erő vektor-összege nulla:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Mivel a feszültségek a térben vannak, három egyenletrendszert eredményez a feszültségek minden egyes elemére (x, y és z).

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC + 0 T _DB - 30 = 0

A megoldás: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Irodalom

1. Bedford, 2000. A. Mérnöki mechanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Sorozat: Fizika a tudomány és a technika számára. 1. kötet. Kinematika, 31-68.
3. Fizikai. 8. modul: Vektorok. Helyreállítva: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika a mérnökök számára. Statikus 6. kiadás. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Vektor kiegészítés kalkulátor. Helyreállítva: 1728.org