A logaritmikus függvény egy matematikai kapcsolat, amely minden pozitív x valós számot az y alapú logaritmával asszociál. Ez a kapcsolat megfelel a függvény követelményeinek: a tartományhoz tartozó minden x elem egyedi képpel rendelkezik.
Így:
Mivel az x számon alapuló logaritmus az az y szám, amelyhez az a alapot fel kell emelni, hogy x megkapjon.
-A bázis logaritmusa mindig 1. Tehát az f (x) = log a x grafikonja mindig keresztezi az x tengelyt az (1,0) pontban
-A logaritmikus funkció transzcendens, és nem kifejezhető polinomként vagy ezek hányadosaként. A logaritmuson kívül ez a csoport magában foglalja többek között a trigonometrikus függvényeket és az exponenciát.
Példák
A logaritmikus függvény különféle bázisokkal meghatározható, de a leggyakrabban használt 10 és e, ahol e az Euler száma 2,71828-tal egyenlő.
Amikor a 10 bázist használjuk, a logaritmot decimális logaritmusnak, rendes logaritmusnak, Briggs 'vagy egyszerűen logaritmusnak nevezzük.
És ha az e számot használjuk, akkor természetes logaritmusnak nevezzük, John Napier, a skót matematikus, aki felfedezte a logaritmusokat.
Az egyes jelölések a következők:
-Decimális logaritmus: log 10 x = log x
-Néperiai logaritmus: ln x
Amikor egy másik bázist használnak, feltétlenül szükséges azt indexként megadni, mivel az egyes számok logaritmusa eltér a használni kívánt bázistól. Például, ha ez a 2. alap logaritmusa, írja:
y = log 2 x
Nézzük meg a 10-es szám logaritmusát három különböző bázisban, hogy ezt szemléltessük:
log 10 = 1
10 = 2,30259
log 2 10 = 3,332193
A közönséges számológépek csak decimális logaritmusokat (log függvény) és természetes logaritmusokat (ln függvény) hoznak. Az interneten vannak más alapokkal rendelkező számológépek. Mindenesetre az olvasó ellenőrizheti segítségével, hogy a korábbi értékek teljesülnek-e:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,32193 = 10,0000
A kis tizedes eltérések a tizedesjegyek számának függvényében, amelyet a logaritmus kiszámításánál vesznek figyelembe.
A logaritmus előnyei
A logaritmusok használatának előnyei között szerepel a könnyűség nagy számokkal történő munkavégzéshez is, a logaritmusuk helyett közvetlenül a szám helyett.
Ez azért lehetséges, mert a logaritmus függvény lassabban növekszik, ahogy a számok nagyobbak lesznek, amint azt a grafikonon láthatjuk.
Tehát még nagyon nagy számok esetén is logaritmusuk sokkal kisebb, és a kis számok kezelése mindig könnyebb.
Ezenkívül a logaritmusok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
- Termék: log (ab) = log a + log b
- Hányados: log (a / b) = log a - log b
- Teljesítmény: log a b = b.log a
Ilyen módon a termékek és hányadosok kisebb számok összeadásává és kivonásává válnak, míg a potencírozás egyszerű termékké válik, annak ellenére, hogy a teljesítmény nagy.
Éppen ezért a logaritmusok lehetővé teszik számok kifejezését, amelyek nagyon nagy értéktartományban változnak, mint például a hang intenzitása, az oldat pH-ja, a csillagok fényessége, az elektromos ellenállás és a földrengések intenzitása Richter skálán.
2. ábra. A logaritmusokat a Richter-skálán használják a földrengések nagyságának számszerűsítésére. A képen egy összeomlott épület látható a chilei Concepciónban, a 2010. évi földrengés során. Forrás: Wikimedia Commons.
Lássunk egy példát a logaritmusok tulajdonságainak kezelésére:
Példa
Keresse meg x értékét a következő kifejezésben:
Válasz
Itt van egy logaritmikus egyenlet, mivel az ismeretlen a logaritmus érvelésében van. Megoldható úgy, hogy egyetlen logaritmát hagy az egyenlőség mindkét oldalán.
Először az „x” -et tartalmazó összes kifejezést az egyenlőség bal oldalán, és azokat, amelyek csak számokat tartalmaznak jobbra:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Bal oldalon két logaritmus kivonása van, amelyek hányados logaritmusa lehet:
log = 1
Jobb oldalon van azonban az 1-es szám, amelyet log 10-ként tudunk kifejezni, mint korábban láttuk. Így:
log = log 10
Annak érdekében, hogy az egyenlőség igaz legyen, a logaritmus érveinek meg kell egyezniük:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x 10
-15 x = -11
x = 11/15
Alkalmazási gyakorlat: a Richter-skála
1957-ben Mexikóban földrengés történt, amelynek nagysága 7,7 volt a Richter-skála szerint. 1960-ban újabb, nagyobb mértékű földrengés történt Chilében, 9,5-es volt.
Számítsa ki, hogy a chilei földrengés hányszor volt intenzívebb, mint Mexikóban, tudva, hogy a Richter-skála M R nagyságát a következő képlet adja meg:
M R = log (10 4 I)
Megoldás
A földrengés Richter skálájának nagysága logaritmikus függvény. Kiszámoljuk az egyes földrengések intenzitását, mivel megvan a Richter-magnitúdó. Csináljuk lépésről lépésre:
- Mexikó: 7,7 = log (10 4 I)
Mivel a logaritmus függvény inverze az exponenciális, ezt az egyenlőség mindkét oldalára alkalmazzuk azzal a szándékkal, hogy az I-re megoldást nyerjünk, amely megtalálható a logaritmus érvelésében.
Mivel decimális logaritmusok vannak, az alap 10. Akkor:
10 7,7 = 10 4 I
A mexikói földrengés intenzitása:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile: 9,5 = log (10 4 I)
Ugyanez az eljárás vezet minket a chilei I Ch földrengés intenzitásához:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Most összehasonlíthatjuk mindkét intenzitást:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Én M
A chilei földrengés mintegy 63-szor erősebb volt, mint Mexikóban. Mivel a nagyság logaritmikus, lassabban növekszik, mint az intenzitás, tehát az 1-es különbség a nagyságrendben a szeizmikus hullám tízszer nagyobb amplitúdóját jelenti.
A két földrengés nagysága közötti különbség 1,8, tehát a intenzitások közötti különbségre számíthatunk 100-nál nagyobb, mint 10-nél, ahogyan valójában történt.
Valójában, ha a különbség pontosan 2 lett volna, a chilei földrengés százszor intenzívebb lett volna, mint a mexikói.
Irodalom
- Carena, M. 2019. Az egyetem előtti matematikai kézikönyv. Litoral Nemzeti Egyetem.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Változatos év. CO-BO kiadások.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Egy változó kiszámítása. 9.. Kiadás. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika a kalkulushoz. 5.. Kiadás. Cengage tanulás.