ORTONORMÁLIS ALAP: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK ÉS GYAKORLATOK - FIZIKAI - 2025

Egy ortonormáiis bázis képződik vektorokkal merőlegesek egymásra, és amelynek modulusa is 1 (egység vektorok). Ne felejtsük el, hogy a B alapot egy V vektor térben egy lineárisan független vektor halmazaként definiáljuk, amely képes az említett tér létrehozására.

A vektortér viszont egy absztrakt matematikai entitás, amelynek elemei vektorok, általában olyan fizikai mennyiségekkel, mint a sebesség, erő és elmozdulás, vagy mátrixok, polinomok és függvények.

1. ábra: Ortonormális bázis a síkban. Forrás: Wikimedia Commons. Quartl.

A vektorok három megkülönböztető elemből állnak: nagyság vagy modulus, irány és érzék. Az ortonormális alap különösen hasznos a velük való ábrázoláshoz és mûködtetéshez, mivel minden olyan vektor, amely egy bizonyos V vektorverethez tartozik, az ortonormális alapot képezõ vektorok lineáris kombinációjaként írható be.

Ily módon a vektorok közötti műveleteket, például az összeadást, kivonást és az említett térben meghatározott különféle terméktípusokat, analitikusan végrehajtják.

A fizikában a leggyakrabban használt alapok között szerepel az i, j és k vektorvektor által alkotott alap, amely a háromdimenziós tér három megkülönböztető irányát képviseli: magasság, szélesség és mélység. Ezeket a vektorokat kanonikus egységvektoroknak is nevezzük.

Ha ehelyett a vektorokat síkban dolgozzák fel, akkor a három komponens közül kettőre lenne elegendő, míg az egydimenziós vektorokhoz csak egyre van szükség.

Az alapok tulajdonságai

1- A B alap a lehető legkisebb vektorkészlet, amely az V vektorteret generálja.

2- A B elemei lineárisan függetlenek.

3- Az V vektor tér bármely B alapja lehetővé teszi V összes vektorának kifejezését annak lineáris kombinációjaként, és ez az alak minden vektor esetében egyedi. Ezért a B generáló rendszerként is ismert.

4- Ugyanazon V vektortérnek lehet különböző bázisai.

Példák az alapokra

Itt található néhány példa az ortonormális alapokra és általában az alapokra:

A kanonikus alap in-ben

Más néven természetes bázisnak vagy standard ⁿ standard bázisnak is nevezünk, ahol ℜ ⁿ n-dimenziós tér, például a háromdimenziós tér ℜ ³. N értékét a vektortér dimenziójának nevezzük, és dim (V) -ként jelöljük.

Az ℜ ⁿ összes vektorát rendezett n-hirdetések képviselik. Az ℜ ⁿ hely esetében a kanonikus alap a következő:

e ₁ = <1,0,…, 0>; e ₂ = <0,1,…, 0>; …….. e _n = <0,0,…, 1>

Ebben a példában a jelölést zárójelben vagy „zárójelben” használtuk és félkövér betűkkel jelöltük az e ₁, e ₂, e ₃ egységvektorokhoz…

A kanonikus alap in-ben

Az ismerős i, j és k vektorok ugyanazt a reprezentációt elismerik, és mindhárom elegendő ahhoz, hogy ábrázolják a ℜ ³ vektorokat:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Ez azt jelenti, hogy a bázist így lehet kifejezni:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Annak ellenőrzése érdekében, hogy lineárisan függetlenek-e, a velük képzett determináns nem nulla, és szintén egyenlő 1:

Lehetővé kell tenni a ℜ ^3-hoz tartozó vektorok lineáris kombinációjaként történő írását is. Például egy olyan erőt, amelynek téglalap alakú komponensei F _x = 4 N, F _y = -7 N és F _z = 0 N, vektor formában írnák:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Ezért i, j és k alkotják a ℜ ³ generátorrendszert.

Egyéb ortonormális bázisok ℜ-ban

Az előző szakaszban ismertetett standard bázis nem az egyetlen ortonormális bázis ℜ ^3-ban. Itt vannak például az alapok:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>}

Megmutatható, hogy ezek az alapok ortonormálisak, erre emlékezünk a feltételeknek, amelyeknek teljesülniük kell:

-A bázist alkotó vektoroknak merőlegesnek kell lenniük egymással.

- Mindegyik egységnek kell lennie.

Ezt úgy tudjuk ellenőrizni, hogy tudjuk, hogy az általuk létrehozott determinánsnak nullának nem kell lennie és 1-nek kell lennie.

A B ₁ pont pontosan a ρ, φ és z hengeres koordinátáinak alapja, ez egy másik módja a vektorok térbeli kifejezésére.

2. ábra. Hengeres koordináták. Forrás: Wikimedia Commons. Matematikai buff.

Megoldott gyakorlatok

- 1. Feladat

Mutassuk meg, hogy B alap = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>} ortonormális.

Megoldás

Annak igazolására, hogy a vektorok merőlegesek egymásra, a skalár szorzót használjuk, amelyet két vektor belső vagy pont szorzatának is nevezünk.

Legyen bármelyik két u és v vektor, pontértékük a következővel határozható meg:

u • v = uv cosθ

A modulok vektorjainak megkülönböztetésére félkövér betűket használunk az első és a normál betűkhez a másodikhoz. θ az u és v közötti szög , tehát ha merőlegesek, akkor azt jelenti, hogy θ = 90º és a skaláris szorzó nulla.

Alternatív megoldásként, ha a vektorokat komponenseik szerint adjuk meg: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, mindkettő skaláris szorzatát, amely kommutív, így számítják ki:

u • v = u _X V értékre _x + u _y V értékre _y + u _z V értékre _z

Ilyen módon az egyes vektorpárok közötti skaláris szorzatok:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

A második feltételhez kiszámítják az egyes vektorok modulját, amelyet az alábbiak szerint kapnak:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Így az egyes vektorok moduljai:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Ezért mindhárom egységvektor. Végül, az általuk létrehozott determináns nem nulla és egyenlő 1:

- 2. gyakorlat

Írja be a w = <2, 3,1> vektor koordinátáit a fenti bázis szerint.

Megoldás

Ehhez a következő tételt használjuk:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Ez azt jelenti, hogy a vektort a B alapba írhatjuk a < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n > együtthatók felhasználásával, amelyekre kiszámolnunk kell a megadott skaláris szorzatokat:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12) / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

A kapott skaláris termékekkel egy mátrix készül, amelyet w koordináta mátrixnak hívnak.

Ezért a w alapvektor koordinátáit a B bázisban a következők fejezik ki:

_B =

A koordináta mátrix nem a vektor, mivel egy vektor nem azonos a koordinátáival. Ezek csak egy olyan számkészlet, amelyek a vektor kifejezésére szolgálnak egy adott bázisban, nem pedig a vektor mint ilyen. Ezek a kiválasztott bázistól is függnek.

Végül, a tétel után, a w vektort a következőképpen fejezzük ki:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Mivel: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, vagyis a B bázis vektorai.

Irodalom

1. Larson, R. A Lineáris Algebra alapjai. 6.. Kiadás. Cengage tanulás.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7.. Kiadás. 2. kötet. McGraw Hill.
3. Salas, J. Lineáris Algebra. 10. egység. Ortonormális bázisok. Helyreállítva: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla Egyetem. Hengeres koordináták. Vektor alap. Helyreállítva: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormális bázis. Helyreállítva: es.wikipedia.org.