VÉGKÉSZLET: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK, MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2025

A véges halmaz alatt bármilyen halmaz korlátozott vagy számolható elemmel rendelkezik. Példák a véges halmazokra a gömbök, amelyeket egy táska tartalmaz, a házak halmaza a környéken vagy a P halmaz, amelyet az első húsz (20) természetes szám alkot:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

A világegyetemben a csillagkészlet biztosan hatalmas, ám nem tudjuk biztosan, hogy véges vagy végtelen. A bolygók halmaza azonban a Naprendszerben véges.

1. ábra. A sokszögek halmaza véges, és a szabályosak halmaza is. (Wikimedia Commons)

A véges halmazban lévő elemek számát kardinalitásának nevezzük, és a P halmazt a következőképpen jelöljük: Kártya (P) vagy # P. Az üres halmaz nulla kardinalitású, és véges halmaznak tekinthető.

Tulajdonságok

A véges halmazok tulajdonságai között szerepel a következők:

1- A véges halmazok uniója új véges halmazt eredményez.

2- Ha két véges halmaz keresztezi, akkor egy új véges halmaz keletkezik.

3- A véges halmaz egy részhalmaza véges, és kardinalitása kevesebb vagy egyenlő, mint az eredeti halmaz.

4- Az üres halmaz véges halmaz.

Példák

Sok példa van a véges halmazokra. Néhány példa a következőket tartalmazza:

Az év hónapjainak M halmaza, amely kibővített formában így írható:

M = {január, február, március, április, május, június, július, augusztus, szeptember, október, november, december}, az M kardinális értéke 12.

A hét napjainak meghatározott S: S = {hétfő, kedd, szerda, csütörtök, péntek, szombat, vasárnap}. S kardinális értéke 7.

A spanyol ábécé betűinek Ñ halmaza véges, ezt a kiterjesztés halmaza így írja:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, és kardinális értéke 27.

A magánhangzók V halma spanyolul a set halmaz részhalmaza:

V ⊂ Ñ tehát véges halmaz.

A V véges halmazt kiterjedt formában így írják: V = {a, e, i, o, u}, és kardinális értéke 5.

A halmazokat megértéssel lehet kifejezni. Példa az F halmaz, amely a "véges" szó betűiből áll:

F = {x / x a "véges" szó betűje}

A szóban forgó készlet, kiterjedt formában kifejezve:

F = {f, i, n, t, o}, amelynek kardinalitása 5, tehát véges halmaz.

További példák

A szivárvány színei egy másik példa a véges készletre, ezeknek a színeknek a C sorozata:

C = {vörös, narancs, sárga, zöld, cián, kék, lila}, és kardinalitása 7.

A hold F fázisának halmaza egy másik példa a véges halmazra:

F = {Újhold, első negyedév, telihold, utolsó negyedév} ez a halmaz 4-es kardinalitással rendelkezik.

2. ábra: A Naprendszer bolygói véges halmazt alkotnak. (Pixabay)

Egy másik véges készlet az, amelyet a Naprendszer bolygói alkotnak:

P = {Higany, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz, Uránusz, Neptunusz, Pluton} a kardinalitás 9-ből.

Megoldott gyakorlatok

1. Feladat

A következő A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} halmazt kapjuk. Szövegben fejezzük ki és írjuk kiterjesztéssel, jelezzük annak kardinalitását és mondjuk meg, hogy véges-e.

Megoldás: Az A halmaz az x valós számok halmaza, amelyből x kockának adódik 27.

Az x ^ 3 = 27 egyenletnek három megoldása van: ezek x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) és x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). A három megoldás közül csak az x1 valódi, míg a másik kettő összetett szám.

Mivel az A halmaz meghatározása azt mondja, hogy x a valós számokhoz tartozik, akkor a komplex számok megoldásai nem képezik részét az A halmaznak.

Az A halmaz kifejezetten kifejezve:

A = {3}, amely az 1. kardinalitás véges halmaza.

2. gyakorlat

Írjon szimbolikus formában (érthetőséggel) és kiterjedt formában a valós számok B halmazát, amely nagyobb, mint 0 (nulla) és kevesebb, vagy egyenlő 0 (nulla). Mutassa meg annak kardinalitását és azt, hogy véges-e vagy sem.

Megoldás: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

A B halmaz üres, mert az x valós szám nem lehet egyszerre nagyobb és kevesebb, mint nulla, ugyanígy nem lehet sem 0, sem kevesebb, mint 0.

B = {} és annak kardinalitása 0. Az üres halmaz véges halmaz.

3. gyakorlat

Egy adott egyenlet megoldásainak halmazát adjuk meg. Az S halmaz megértés szerint így van írva:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Írja le az említett halmazt kiterjedt formában, jelölje meg annak kardinalitását és jelölje meg, hogy véges halmaz-e.

Megoldás: Először, amikor az S halmazt leíró kifejezést elemezzük, azt kapjuk, hogy a valós x értékek halmaza az egyenlet megoldása:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Ennek az egyenletnek a megoldása x = 3, ami egy valós szám, és ezért az S-hoz tartozik.

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

A fenti kifejezés a következőképpen vehető figyelembe:

(x - 4) (x - 5) = 0

Ez vezet az eredeti (*) egyenlet további két megoldásához, amelyek x = 4 és x = 5. Röviden: a (*) egyenletnek a 3., 4. és 5. megoldása van.

Az S halmaz kiterjedt formában kifejezve így néz ki:

S = {3, 4, 5}, amelynek 3-as kardinalitása van, tehát véges halmaz.

4. gyakorlat

Két halmaz van: A = {1, 5, 7, 9, 11} és B = {x ∊ N / x páros is ^ x <10}.

Írja kifejezetten a B sorozatot és keresse meg az A halmazhoz tartozó uniót. Keresse meg e két halmaz lehallgatását is, és végezze el a következtetést.

Megoldás: A B halmaz olyan természetes számokból áll, amelyek egyenlőek és szintén kisebbek, mint a 10-es érték, ezért a kiterjedt B sorozatban a következőképpen írják:

B = {2, 4, 6, 8}

Az A halmaz és a B halmaz egyesülése:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

és az A halmaz és a B halmaz elfogása így van írva:

A ⋂ B = {} = Ø az üres halmaz.

Meg kell jegyezni, hogy e két véges halmaz egyesítése és elhallgatása új halmazokat eredményez, amelyek viszont végesek is.

Irodalom

1. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
3. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 szeptember. Küszöb.
5. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
6. Matematika 10 (2018). Msgstr "Példák a véges készletekre". Helyreállítva: matematicas10.net
7. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Olyan egyszerű. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria. Pearson oktatás.
9. Wikipedia. Végkészlet. Helyreállítva: es.wikipedia.com