VÉGTELEN KÉSZLET: TULAJDONSÁGOK, PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

Végtelen halmaz alatt azt a halmazt értjük, amelyben az elemek száma nem számolható. Vagyis bármennyire is lehet elemeinek száma, mindig többet találhat.

A leggyakoribb példa az N természetes számok végtelen halmaza. Nem számít, mennyire nagy a szám, mivel mindig kaphat nagyobbat egy folyamatban, amelynek nincs vége:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101., ………………………, 126., 127., 128., ………………………………………}

1. ábra: A végtelenség szimbóluma. (Pixabay)

A világegyetemben a csillagkészlet biztosan hatalmas, ám nem tudjuk biztosan, hogy véges vagy végtelen. A Naprendszerben lévő bolygók számával ellentétben, amelyről ismert, hogy véges készlet.

A végtelen készlet tulajdonságai

A végtelen halmazok tulajdonságai között kiemelhetjük a következőket:

1- A két végtelen halmaz egyesítése új végtelen halmazt eredményez.

2- A véges halmaz és a végtelen egység összekapcsolása új végtelen halmazt eredményez.

3- Ha egy adott halmaz részhalmaza végtelen, akkor az eredeti halmaz szintén végtelen. A kölcsönös állítás nem igaz.

Nem talál olyan természetes számot, amely képes kifejezni a végtelen halmaz elemét vagy elemét. A német matematikus Georg Cantor azonban bevezette a transzfinit szám fogalmát, hogy egy természetes számnál nagyobb végtelen rendre utaljon.

Példák

A természetes N

A végtelen halmaz leggyakoribb példája a természetes szám. A természetes számokat számolják, de a létező egész számok nem számolhatók.

A természetes számok halmaza nem tartalmazza a nullát, és általában N halmazként jelölik, amelyet kiterjedt formában a következőképpen fejeznek ki:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} És egyértelműen végtelen halmaz.

Az ellipszis azt jelzi, hogy az egyik szám után egy másik következik, majd egy másik egy végtelen vagy végtelen folyamatban.

A nulla (0) számot tartalmazó halmazhoz kapcsolódó természetes számok halmazát N + halmaznak nevezzük.

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….}, Amely az N végtelen halmazának az O = {0} véges halmazból való összekapcsolódásának eredménye, az N + végtelen halmazt eredményezve.

Az egész szám Z

A Z egész szám halmazát természetes számok, negatív jelű és nulla természetes számok alkotják.

A Z egészeket evolúciónak tekintjük az N természetes számokhoz viszonyítva, amelyeket eredetileg és primitíven használtunk a számlálási folyamatban.

A numerikus sor Z az egész számok, nulla beépül számolni vagy számolni semmit, és a negatív számok számolni kitermelés, elvesztése vagy hiányzik valami.

Az ötlet szemléltetése céljából tegyük fel, hogy negatív egyenleg jelenik meg a bankszámlán. Ez azt jelenti, hogy a számla nulla alatt van, és nem csak az, hogy a számla üres, hanem hiányzó vagy negatív különbsége van, amelyet valahogy a bankhoz kell cserélni.

A kiterjedt formában a végtelen Z egészek van írva, mint ez:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

A racionális Q

A dolgok, áruk vagy szolgáltatások számolásának és cseréjének folyamatának fejlődésében tört vagy racionális számok jelennek meg.

Például, amikor egy két kenyeret két almával cseréltek, a tranzakció rögzítésekor valaki azt tapasztalta, hogy a felét fel kell osztani, vagy két részre osztva: ½. A kenyér felének felét azonban a következőképpen kell elszámolni a főkönyvekben: ½ / ½ = ¼.

Nyilvánvaló, hogy ez a megosztás folyamata elvileg végtelen lehet, bár a gyakorlatban addig van, amíg el nem éri a kenyér utolsó részecskéjét.

A racionális (vagy tört) szám halmazát a következőképpen jelöljük:

Q = {………, -3,…., -2,….., -1, ……, 0,….., 1, ……, 2,….., 3, ……..}

A két egész szám közötti ellipszis azt jelenti, hogy e két szám vagy érték között végtelen partíciók vagy osztások vannak. Ezért mondják a racionális szám halmazát végtelenül sűrűnek. Ennek oka az, hogy bármennyire is lehetnek két racionális szám egymással, a végtelen értékek megtalálhatók.

A fentiek szemléltetéséhez tegyük fel, hogy felkérünk egy racionális számot 2 és 3 között. Ez a szám lehet 2⅓, az úgynevezett vegyes szám, amely 2 egész részből áll, plusz az egység egyharmadának, ami felel meg a 4/3-os írásnak.

2 és 2⅓ között egy másik érték is megtalálható, például 2⅙. És 2 és 2⅙ között egy másik érték is megtalálható, például 2⅛. E kettő között, és közöttük másik, másik és másik.

2. ábra. Végtelen osztás racionális számokban. (wikimedia Commons)

Irracionális számok

Vannak olyan számok, amelyeket nem lehet két egész szám osztására vagy töredékére írni. Ezt a numerikus halmazt nevezik irracionális számok I halmazának, és ez egyben végtelen halmaz is.

A numerikus készlet néhány figyelemre méltó eleme vagy képviselője a pi (π) szám, az Euler-szám (e), az aranyarány vagy az aranyszám (φ). Ezeket a számokat csak nagyjából egy racionális szám írhatja:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (és folytatja a végtelenségig és azon túl is…)

e = 2.7182818284590452353602874713527… (és a végtelenn túl is folytatódik)

φ = 1,61803398874989484820 …….. (a végtelenségig….. és azon túl…..)

Más irracionális számok jelennek meg, amikor nagyon egyszerű egyenletekre keresnek megoldást, például az X ^ 2 = 2 egyenletnek nincs pontos racionális megoldása. A pontos megoldást a következő szimbolika fejezi ki: X = √2, amely x-ének egyenlő a kettő gyökérével. A √2 hozzávetőleges racionális (vagy tizedes) kifejezése:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Számtalan irracionális szám van: √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), hogy néhányat megnevezhessünk.

Az R gyűrűk sorozata

A valós számok a matematikai számítások, a fizika és a mérnöki munka során leggyakrabban használt számok. Ez a számkészlet a Q racionális számok és az I irracionális számok összekapcsolása:

R = Q U I

A végtelennél nagyobb, mint a végtelennél

A végtelen halmazok közül néhány nagyobb, mint mások. Például az N természetes szám halmaza végtelen, de a Z egész számok halmaza, amely végtelen, tehát a Z végtelen halmaz nagyobb, mint az N végtelen halmaz.

Hasonlóképpen, a Z egész szám halmaza az R valós szám részhalmaza, és ezért az R halmaza a végtelen Z halmaz "végtelen".

Irodalom

1. Celeberrima. Példák a végtelen halmazokra. Helyreállítva: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). ALAPMÁNY. Bevezetés a kalkulusba. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratikus egyenletek: Hogyan lehet megoldani a kvadratikus egyenletet? Marilù Garo.
4. Haeussler, EF és Paul, RS (2003). Matematika a menedzsment és a közgazdaságtan számára. Pearson oktatás.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 szeptember. Küszöb.
6. Preciado, CT (2005). 3. matematika tanfolyam Szerkesztői Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I Easy! Olyan egyszerű. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria. Pearson oktatás.
9. Wikipedia. Végtelen készlet. Helyreállítva: es.wikipedia.com