RÉSZLEGES SZÁRMAZÉKOK: JELÖLÉSEK, PÉLDÁK ÉS MEGOLDOTT FELADATOK - MATEMATIKA - 2024

A parciális deriváltak a függvényében több változók azok, amelyek meghatározzák a változás mértéke a funkciót, ha az egyik változó van egy végtelenül variáció, míg a többi változó változatlan marad.

Az ötlet konkrétabbá tétele érdekében tegyük fel, hogy két változó függvénye van: z = f (x, y). Az f függvény részleges derivációját az x változóhoz viszonyítva szokásos deriváltként kell kiszámítani x vonatkozásában, de az y változót úgy vesszük, mintha állandó lenne.

1. ábra f (x, y) és annak részleges származékai ∂ _x f y ∂ _y f pontjában P. (amelyet R. Pérez GeoGebra)

Részleges származékos jelölés

Az f (x, y) függvény részleges derivált működését az x változón a következő módok egyikével jelöljük:

A részleges deriváltokban a ∂ szimbólumot (egyfajta lekerekített d betűt, Jacobi d-nek is nevezik) használjuk, szemben az egyváltozós függvények szokásos deriváltjával, ahol a derivált d betűt használjuk.

Általánosságban elmondható, hogy a többváltozós függvény parciális derivációja az egyik változója tekintetében új függvényt eredményez az eredeti függvény ugyanazon változóinál:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

A parciális derivátum kiszámítása és jelentése

A függvény változásának vagy meredekségének meghatározása egy adott ponthoz (x = a, y = b) az X tengelyre párhuzamos irányba:

1 - Az ∂ _x f (x, y) = g (x, y) függvényt kiszámoljuk, figyelembe véve a közönséges deriváltot az x változóban, és az y változót rögzítettnek vagy állandónak hagyva.

2 - Ezután az x = a és y = b pont értéke helyettesítésre kerül, amelyben meg akarjuk tudni, hogy a függvény x irányban változott-e:

{Lejtés x irányban az (a, b) pontban} = ∂ _x f (a, b).

3- Az y iránybeli változás sebességének kiszámításához az (a, b) koordinátaponton először számítsa ki ∂ _és f (x, y) = h (x, y).

4- Ezután az (x = a, y = b) pont helyébe az előző eredmény adódik:

{Az y irányú meredekség az (a, b) pontban} = ∂ _y f (a, b)

Példák részleges származékokra

A parciális származékok néhány példája a következő:

1. példa

Mivel a funkció:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Keresse meg az f függvény parciális derivációit az x és az y változóval szemben.

Megoldás:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Vegye figyelembe, hogy az f függvény parciális deriváltjának kiszámításához az x változóval szemben a szokásos deriváltot vettük figyelembe x vonatkozásában, de az y változót úgy vettük, mintha állandó lenne. Hasonlóképpen, az f részszármazékának kiszámításakor y-val szemben az x változót úgy vették, mintha állandó lenne.

Az f (x, y) függvény az 1. ábrán látható, paraboloidnak nevezett felület okker színben.

2. példa

Keresse meg az f (x, y) függvény változási sebességét (vagy meredekségét) az 1. példa szerint, az X tengely és az Y tengely irányában a ponthoz (x = 1, y = 2).

Megoldás: Az x és y irányú lejtők megadásához az adott ponton egyszerűen cserélje ki a pont értékeit ∂ _x f (x, y) függvényre és ∂ _y f (x, y) függvényre:

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _és f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Az 1. ábra az f (x, y) függvény és az y = 2 sík metszéspontja által meghatározott görbe érintő vonalát (piros színben) mutatja, ennek a vonalnak a meredeksége -2. Az 1. ábra azt is mutatja, hogy az f függvénynek az x = 1 síkkal való metszéspontját meghatározó görbe érintő vonalát (zöld színben) adja meg; Ennek a vonalnak a -4.

Feladatok

1. Feladat

Egy kúpos üveg adott időben vizet tartalmaz, úgy, hogy a víz felületének r sugara és h mélysége legyen. De az üveg alján van egy kis lyuk, amelyen keresztül a víz veszít másodpercenként C köbcentiméter sebességgel. Határozzuk meg a vízfelszínről való süllyedés sebességét centiméterben másodpercenként.

Megoldás:

Mindenekelőtt emlékezni kell arra, hogy az adott pillanatban a vízmennyiség:

A térfogat két változó, az r sugár és a h mélység függvénye: V (r, h).

Amikor a térfogat végtelen dV-vel változik, akkor a víz felületének r sugara és a víz m mélysége is a következő kapcsolat szerint változik:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Feldolgozzuk a V parciális deriváltjait r és h szempontjából:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Ezenkívül az r sugár és a h mélység megfelelnek a következő viszonynak:

Mindkét tag elosztása a dt időeltolódással adja:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

De dV / dt az időegységre elveszített vízmennyiség, amelyről ismert, hogy másodpercenként C centiméter, míg dh / dt a víz szabad felületének süllyedési sebessége, amelyet v-nek hívnak. Vagyis az adott pillanatban a vízfelület v (cm / s-ban) sebességgel csökken:

v = C / (π r ^ 2).

Numerikus alkalmazásként tegyük fel, hogy r = 3 cm, h = 4 cm, és a C veszteség mértéke 3 cm ^ 3 / s. Akkor a felület süllyedésének sebessége abban a pillanatban:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

2. gyakorlat

A Clairaut-Schwarz tétel azt állítja, hogy ha egy függvény folytonos a független változóiban, és annak részleges deriváltjai a független változókhoz viszonyítva is folyamatosak, akkor a második rendű vegyes származékok cserélhetők. Ellenőrizze ezt a tételt a függvényhez

f (x, y) = x ^ 2 y, vagyis igaznak kell lennie, hogy f _xy f = ∂ _yx f.

Megoldás:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), míg ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Bebizonyosodott, hogy Schwarz-tétel érvényben van, mivel az f függvény és annak részleges derivációi folyamatosak minden valós számra.

Irodalom

1. Frank Ayres, J. és Mendelson, E. (2000). Számítás 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). A számítás analitikus geometriával. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. és Rigdon, SE (2007). Számítás. Mexikó: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciális számítás. Átfogó.
5. Saenz, J. (2006). Integrált kalkulus. Átfogó.
6. Wikipedia. Részleges származék. Helyreállítva: es.wikipedia.com