FÜGGETLEN ESEMÉNYEK: DEMONSTRÁCIÓ, PÉLDÁK, GYAKORLATOK - DUDAS - 2025

Két esemény független, ha egyikük bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja az a tény, hogy a másik történik, vagy pedig nem fordul elő, figyelembe véve, hogy ezek az események véletlenszerűen fordulnak elő.

Ez a körülmény akkor fordul elő, amikor az 1. esemény eredményét generáló folyamat semmilyen módon nem változtatja meg a 2. esemény lehetséges eredményeinek valószínűségét. De ha ez nem történik meg, akkor azt mondják, hogy az események függőek.

1. ábra. A színes golyókat gyakran használják a független események valószínűségének magyarázatára. Forrás: Pixabay.

Egy független esemény helyzete a következő: Tegyük fel, hogy két hatoldalas kocka van gördítve, az egyik kék és a másik rózsaszín. Az a valószínűség, hogy az 1 felcsavarodik a kék szerszámon, független annak valószínűségétől, hogy az 1 felcsavarod, vagy nem gördül fel a rózsaszínű szerszámra.

Két független esemény másik esetét érme egymás utáni dobása képezi. Az első dobás eredménye nem függ a második eredményétől és fordítva.

Két független esemény igazolása

Annak igazolására, hogy két esemény független, meghatározzuk az egyik esemény feltételes valószínűségének fogalmát a másikhoz viszonyítva. Ehhez meg kell különböztetni az exkluzív és az inkluzív eseményeket:

Két esemény kizárólagos, ha az A esemény lehetséges értékei vagy elemei semmi közös nincs a B esemény értékeivel vagy elemeivel.

Ezért két exkluzív eseménynél az A és B metszéspontjának halmaza a vákuum:

Események kivételével: A∩B = Ø

Éppen ellenkezőleg, ha az események befogadó jellegűek, előfordulhat, hogy az A esemény eredménye egybeesik egy másik B eredményével, ahol A és B különböző események. Ebben az esetben:

Befogadó események: A∩B ≠ Ø

Ez arra vezet, hogy meghatározzuk a két befogadó esemény feltételes valószínűségét, azaz az A esemény bekövetkezésének valószínűségét, amikor a B esemény bekövetkezik:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Ezért a feltételes valószínűség annak a valószínűsége, hogy A és B megtörténik, osztva azzal a valószínűséggel, hogy B megtörténik.

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

A két esemény függetlenségének kritériumai

Ezután három kritériumot adunk meg, hogy megtudjuk, két esemény független-e. Elegendő, ha a három valamelyik teljesül, így bizonyítható az események függetlensége.

1.- Ha annak valószínűsége, hogy A akkor fordul elő, amikor B előfordul, egyenlő az A valószínűségével, akkor ezek független események:

P (A¦B) = P (A) => A független B-től

2.- Ha a B előfordulásának valószínűsége A megadott értékkel egyenlő B valószínűségével, akkor vannak független események:

P (B¦A) = P (B) => B független A-tól

3.- Ha az A és B előfordulásának valószínűsége megegyezik az A előfordulásának valószínűségének és a B előfordulásának valószínűségének szorzatával, akkor ezek független események. Az ellenkezője is igaz.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A és B független események.

Példák független eseményekre

Két különböző beszállító által gyártott gumi talpakat hasonlítják össze. Az egyes gyártók mintáit több vizsgálatnak vetik alá, amelyek alapján megállapítható, hogy azok megfelelnek-e a specifikációknak.

2. ábra. A gumi talpainak sokfélesége. Forrás: Pixabay.

A 252 minta eredményül kapott összefoglalása a következő:

1. gyártó; 160 megfelel az előírásoknak; A 8. ábra nem felel meg az előírásoknak.

2. gyártó; 80 megfelel az előírásoknak; 4 nem felel meg az előírásoknak.

A esemény: "hogy a minta az 1. gyártótól származik".

B esemény: "hogy a minta megfelel az előírásoknak".

Szeretnénk tudni, hogy ezek az A és B események függetlenek-e vagy sem, amelyekre az előző szakaszban említett három kritérium egyikét alkalmazzuk.

Kritérium: P (B¦A) = P (B) => B független A-tól

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Következtetés: Az A és B események függetlenek.

Tegyük fel, hogy C esemény: "hogy a minta a 2. gyártótól származik"

A B esemény független lesz a C eseménytől?

Az egyik kritériumot alkalmazzuk.

Kritérium: P (B¦C) = P (B) => B független C-től

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Ezért a rendelkezésre álló adatok alapján annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott gumi talp megfelel az előírásoknak, független a gyártótól.

Konvertáljon egy független eseményt független eseménygé

Nézzük meg a következő példát a függő és a független események megkülönböztetésére.

Van egy táska két fehér csokoládé golyóval és két fekete golyóval. Fehér vagy fekete golyó megszerzésének valószínűsége megegyezik az első próbálkozással.

Tegyük fel, hogy az eredmény golyó volt. Ha a húzott golyót kicserélik a táskában, az eredeti helyzet megismétlődik: két fehér és két fekete golyó.

Tehát egy második rendezvényen vagy döntetlennél a dákó vagy egy fekete golyó rajzolásának esélye megegyezik az első alkalommal. Ezért független események.

De ha az első eseményben húzott golyósgömb nem cserélhető ki, mert ettük, akkor a második döntetlennél nagyobb esély van egy fekete golyó húzására. Az a valószínűség, hogy egy második extrakció ismét fehérek lesz, eltér az első eseményétől, és az előző eredmény függvénye.

Feladatok

- 1. Feladat

Egy dobozba tesszük az 1. ábrán látható 10 golyót, amelyekből 2 zöld, 4 kék és 4 fehér. Két gömböt véletlenszerűen választanak ki, egyet az elsőt és egy később. Felkérjük annak a

valószínűségét, hogy egyikük sem kék, az alábbi feltételek mellett:

a) Pótlással, vagyis az első márvány visszaadása a dobozba a második kiválasztás előtt. Jelölje meg, hogy független vagy függő események-e.

b) Csere nélkül, oly módon, hogy az első kivont márvány a dobozból maradjon a második kiválasztáskor. Hasonlóképpen jelezze, hogy függő vagy független események-e.

Megoldás

Kiszámoljuk annak valószínűségét, hogy az első kivont márvány nem kék, ami 1 mínusz annak valószínűségével, hogy kék P (A), vagy közvetlenül, hogy nem kék, mert zöld vagy fehér alakult ki:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (ne legyen kék) = 1 - (2/5) = 3/5

Hát:

P (zöld vagy fehér) = 6/10 = 3/5.

Ha az extrahált márvány visszatér, akkor minden olyan, mint korábban. Ebben a második felhívásban 3/5-es valószínűség van arra is, hogy a húzott márvány nem kék.

P (nem kék, nem kék) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Az események függetlenek, mivel a kinyert márványt visszatették a dobozba, és az első esemény nem befolyásolja a második előfordulásának valószínűségét.

B. Megoldás

Az első extraháláshoz az előző szakaszban leírtak szerint járjon el. 3/5 annak a valószínűsége, hogy nem kék.

A második extrakcióhoz 9 golyó van a zsákban, mivel az első nem jött vissza, de nem volt kék, ezért a zacskóban 9 golyó és 5 nem kék:

P (zöld vagy fehér) = 5/9.

P (egyik sem kék) = P (először nem kék). P (második nem kék / első nem kék) = (3/5). (5/9) = 1/3

Ebben az esetben nem önálló események, mivel az első esemény feltételezi a másodikt.

- 2. gyakorlat

Egy boltban 15 ing van három méretben: 3 kicsi, 6 közepes és 6 nagy. 2 ing véletlenszerűen kerül kiválasztásra.

a) Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott ing kicsi, ha az egyiket először veszik fel, és a másikban nem cserélik le a tételben?

b) Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét kiválasztott ing kicsi, ha az egyiket rajzolnak, akkor kicserélik a tételben, a másodikt pedig eltávolítják?

Megoldás

Itt van két esemény:

A esemény: az első kiválasztott ing kicsi

B esemény: a második kiválasztott ing kicsi

Az A esemény bekövetkezésének valószínűsége: P (A) = 3/15

A B esemény bekövetkezésének valószínűsége: P (B) = 2/14, mivel egy inget már eltávolítottak (14 maradt), de az A esemény is teljesülni akar, az első eltávolított ingnek kicsinek kell lennie, és ezért mindkettő 2 kicsi.

Vagyis annak a valószínűsége, hogy A és B lesz a valószínűségek szorzata:

P (A és B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Ezért az A és B esemény bekövetkezésének valószínűsége megegyezik az A esemény bekövetkezésének szorzatával, szorozva annak a valószínűségének, hogy B esemény bekövetkezik, ha A esemény.

Meg kell említeni, hogy:

P (B¦A) = 2/14

A B esemény bekövetkezésének valószínűsége, függetlenül attól, hogy az A esemény bekövetkezik-e vagy sem:

P (B) = (2/14), ha az első kicsi volt, vagy P (B) = 3/14, ha az első nem volt kicsi.

Általánosságban a következőket lehet levonni:

P (B¦A) nem egyenlő P (B) => B nem független A-tól

B. Megoldás

Itt ismét két esemény van:

A esemény: az első kiválasztott ing kicsi

B esemény: a második kiválasztott ing kicsi

P (A) = 3/15

Ne felejtse el, hogy az eredménytől függetlenül a tételből húzott inget cseréljük, és ismét véletlenszerűen rajzolunk egy inget. A B esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha A esemény történt:

P (B¦A) = 3/15

Az A és B események valószínűsége:

P (A és B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Vegye figyelembe, hogy:

P (B¦A) egyenlő: P (B) => B független A-tól.

- 3. gyakorlat

Vegyünk két független A és B eseményt. Ismert, hogy az A esemény bekövetkezésének valószínűsége 0,2, a B esemény bekövetkezésének valószínűsége pedig 0,3. Mennyire valószínű, hogy mindkét esemény bekövetkezik?

2. megoldás

Mivel az események függetlenek, ismeretes, hogy mindkét esemény bekövetkezésének valószínűsége az egyes valószínűségek szorzata. Vagyis, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Vegye figyelembe, hogy sokkal kisebb valószínűség, mint annak valószínűsége, hogy minden esemény bekövetkezik, függetlenül a másik eredményétől. Vagy más módon, sokkal alacsonyabb, mint az egyes esélyek.

Irodalom

1. Berenson, M. 1985. Vezetési és közgazdasági statisztika. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Intézet. A független események valószínűsége. Helyreállítva: monterreyinstitute.org
3. Matematika tanár. Független események. Helyreállítva: youtube.com
4. Superprof. Események típusai, függő események. Helyreállítva: superprof.es
5. Virtuális oktató. Valószínűség. Helyreállítva: vitutor.net
6. Wikipedia. Függetlenség (valószínűség). Helyreállítva: wikipedia.com