FAKTORING: MÓDSZEREK ÉS PÉLDÁK - MATEMATIKA - 2025

A faktorizáció olyan módszer, amellyel a polinom szorzótényezőként fejeződik ki, amely számok vagy betűk lehet, vagy mindkettő. Tényező, hogy a kifejezésekre jellemző tényezők össze vannak csoportosítva, és így a polinom több polinomra bomlik.

Tehát, ha a tényezőket megszorozzuk, az eredmény az eredeti polinom. A faktorálás nagyon hasznos módszer, ha algebrai kifejezésekkel rendelkezik, mivel több egyszerű kifejezés szorzására átalakítható; például: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Vannak esetek, amikor a polinom nem vehető figyelembe, mivel kifejezései között nincs közös tényező; így ezek az algebrai kifejezések csak önmagukban és 1-vel oszthatók meg. Például: x + y + z.

Algebrai kifejezésben a közös tényező az azt alkotó kifejezések legnagyobb közös osztója.

Faktoring módszerek

Számos faktoring módszer létezik, amelyeket az esettől függően alkalmaznak. Néhány ezek a következők:

Faktoring közös tényezővel

Ebben a módszerben azonosítják azokat a közös tényezőket; vagyis azokat, amelyek ismétlődnek a kifejezés szempontjából. Ezután a disztribúciós tulajdonságot alkalmazzuk, a legnagyobb közös osztót vesszük, és a faktoring befejeződik.

Más szavakkal, a kifejezés közös tényezőjét azonosítják, és az egyes kifejezéseket osztja meg; Az eredményül kapott kifejezéseket megszorozzuk a legnagyobb közös osztóval, hogy kifejezzük a faktorizációt.

1. példa

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Megoldás

Először megkeresi az egyes kifejezések közös tényezőjét, amely ebben az esetben b ², majd osztja meg a kifejezéseket a közös tényezővel az alábbiak szerint:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

A faktorizációt kifejezzük, megszorozzuk a közös tényezőt a kapott kifejezésekkel:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

2. példa

Faktor (2a ² b ³) + (3ab ²).

Megoldás

Ebben az esetben két olyan tényezőnk van, amelyek mindegyik kifejezésben megismétlődnek: "a" és "b", és amelyek hatalomra növekednek. Meghatározzuk őket, a két kifejezést először hosszú formában bontják le:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Látható, hogy az "a" tényezőt csak egyszer ismételjük meg a második ciklusban, és a "b" tényezőt kétszer ismételjük meg; tehát az első kifejezésben csak 2 marad meg, egy "a" és "b" tényező; míg a második ciklusban csak 3 marad meg.

Ezért az "a" és "b" ismételésének időszakait megírjuk és megszorozzuk azokkal a tényezőkkel, amelyek az egyes kifejezésekből megmaradtak, a képen látható módon:

Csoportos faktoring

Mivel a polinom legnagyobb közös osztóját nem minden esetben fejezik ki egyértelműen, meg kell tennie más lépéseket is a polinom átírására és ezáltal a tényező megismételésére.

Az egyik ilyen lépés a polinom kifejezéseinek több csoportra osztása, majd a common factor módszer használata.

1. példa

Ac + bc + ad + bd tényező.

Megoldás

Négy olyan tényező van, ahol kettő közös: az első kifejezésben „c”, a másodikban pedig „d”. Ilyen módon a két kifejezés csoportosítva és elválasztva:

(ac + bc) + (ad + bd).

Most már alkalmazható a közös tényező módszer, az egyes kifejezéseket elosztva a közös tényezővel, majd megszorozva ezt a közös tényezőt a kapott kifejezésekkel, így:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Most olyan binomiált kapunk, amely mindkét kifejezés esetében közös. A tényezõ korrigálására meg kell szorozni a fennmaradó tényezõket; így kell:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Vizsgálati tényező

Ezt a módszert használják másodfokú polinomok, más néven trinomialisok faktorálására; vagyis azok, amelyek ax ² ± bx + c felépítésűek, ahol az „a” értéke eltér az 1-től. Ezt a módszert akkor is használják, ha a trinomális formája x ² ± bx + c, és az „a” értéke = 1.

1. példa

Faktor x ² + 5x + 6.

Megoldás

Van egy kvadratikus trinomuma, amelynek formája x ² ± bx + c. A tényezõ elõállításához elõször két számot kell találnia, amelyek szorzásuk eredményeként «c» (azaz 6) értéket adnak, és összegük megegyezik a «b» együtthatóval, ami 5. Ezek a számok 2 és 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Így a kifejezés így egyszerűsödik:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Minden kifejezést figyelembe vesszük:

- Az (x ² + 2x) esetében a közös kifejezés a következő: x (x + 2)

- Mert (3x + 6) = 3 (x + 2)

Így a kifejezés:

x (x +2) + 3 (x +2).

Mivel közös binomial van, a kifejezés csökkentése érdekében megsokszorozjuk ezt a fennmaradó kifejezésekkel és:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2. példa

4a ² + 12a + 9 = 0 tényező.

Megoldás

A tengely ² ± bx + cy alakjának háromszögletű háromszöge van annak tényezőjéhez, szorozva a teljes kifejezést x ² együtthatóval; ebben az esetben 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Most két olyan számot kell találnunk, amelyek szorozva egymás után eredményül adják a "c" értéket (ami 36), és amelyek összeadva eredményül az "a" kifejezés koefficiense, amely 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Ilyen módon a kifejezést újraírják, figyelembe véve, hogy 4 ² a ² = 4a _* 4a. Ezért a disztribúciós tulajdonság minden kifejezésre érvényes:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Végül a kifejezést el kell osztani a ^2-es együtthatóval; vagyis 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

A kifejezés a következő:

4a ² + 12a 9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorolás figyelemre méltó termékekkel

Vannak esetek, amikor a polinomoknak a fenti módszerekkel történő teljes mértékű kiszámításához nagyon hosszú folyamat lesz.

Ezért lehet kifejleszteni egy kifejezést a figyelemre méltó termékek képleteivel, és így a folyamat egyszerűbbé válik. A legelterjedtebb figyelemre méltó termékek között:

- Két négyzet különbsége: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Összeg tökéletes négyzete: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- A különbség tökéletes négyzete: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Két kocka különbsége: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Két kocka összege: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

1. példa

Tényező (5 ² - x ²)

Megoldás

Ebben az esetben két négyzet különbség van; ezért a figyelemre méltó termékképlet alkalmazandó:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

2. példa

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Megoldás

Ebben az esetben egy tökéletes négyzetösszeg van egy összegével, mert két négyzetet azonosíthat, és a megmaradó kifejezés az, hogy a kettőt megszorozzuk az első tag négyzetgyökével, a második kifejezés négyzetgyökével.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Csak az első és a harmadik kifejezés négyzetgyökereinek kiszámításához kell kiszámítani:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Ezután a kapott két kifejezést elválasztjuk a művelet jelével, és a teljes polinomot négyzetre osztjuk:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

3. példa

27a ³ - b ³ tényező

Megoldás

A kifejezés azt a kivonást képviseli, amelyben két tényezőt kockára vágunk. Ezen tényezők kiszámításához a kockák különbségének figyelemre méltó termékére vonatkozó képletet kell alkalmazni, amely a következő:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Így a tényezőt figyelembe véve a binomiális terminusok kockagyökerét kiszámolják és megszorozzák az első tag négyzetét, plusz az első szorzatának a második taggal, plusz a második tag négyzetével.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Faktoring Ruffini szabályával

Ezt a módszert akkor alkalmazzák, ha kettőnél nagyobb polinom van, annak érdekében, hogy egyszerűsítse a kifejezést több alacsonyabb fokú polinomra.

1. példa

Q faktor (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Megoldás

Először azt a számot keressük, amely osztja a 12-et, azaz a független kifejezés; Ezek ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 és ± 12.

Ezután az x értéket ezekkel az értékekkel cseréljük le, a legalacsonyabbról a legmagasabbra, és így meghatározzuk, hogy az értékek melyikével lesz pontos a megosztás; azaz a fennmaradó értéknek 0-nak kell lennie:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - a 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

És így tovább minden osztóhoz. Ebben az esetben a kapott tényezők x = -1 és x = 2.

Most alkalmazzuk a Ruffini-módszert, amely szerint a kifejezés együtthatóit el kell osztani a megállapított tényezőkkel, hogy a megoszlás pontos legyen. A polinom kifejezések a legmagasabbtól a legalacsonyabbig terjednek; abban az esetben, ha a sorozatból hiányzik a következő fokozatú kifejezés, a helyére 0 kerül.

Az együtthatók a következő képen látható sémában találhatók.

Az első együtthatót csökkenti és megsokszorozza az osztó. Ebben az esetben az első osztó értéke -1, és az eredményt a következő oszlopba helyezzük. Ezután az eredményt kapott együttható értékét vertikálisan hozzáadjuk, és az eredményt alá helyezzük. Ily módon a folyamat megismétlődik az utolsó oszlopig.

Ezután ismételjük meg ugyanazt az eljárást, de a második osztóval (ami 2), mert a kifejezés még egyszerûsíthetõ.

Így minden egyes gyökér esetében a polinomnak egy (x - a) kifejezés lesz, ahol "a" a gyökér értéke:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Másrészt ezeket a kifejezéseket meg kell szorozni Ruffini 1: 1 és -6 szabályának fennmaradó részével, amelyek egy fokot képviselnek. Ilyen módon a képződött kifejezés a következő: (x ² + x - 6).

A Polinom faktorizálásának Ruffini-módszerrel kapott eredményét:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Végül az előző kifejezésben megjelenő 2. fokú polinom átírható (x + 3) (x-2) formátummal. Ezért a végső faktorizálás a következő:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Irodalom

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
2. J, V. (2014). Hogyan tanítsuk meg a gyerekeket a polinom faktoringáról.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Alapvető matematika az alkalmazásokkal.
4. Roelse, PL (1997). Lineáris módszerek a véges területeken végbemenő polinomiális faktorizációhoz: elmélet és megvalósítások. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Gyűrűk és faktorizáció.