- Kombinatorikus számok
- Demonstráció
- Példák
- 1. identitás
- 2. identitás
- Újabb bemutató
- Indukcióbiztos
- érdekességek
- Irodalom
A binomiális tétel egy olyan egyenlet, amely elmondja nekünk, hogyan kell kidolgozni az (a + b) n alak kifejezését valamilyen n természetes számra. A binomiális érték nem más, mint két elem összege, például (a + b). Azt is lehetővé teszi számunkra, hogy tudjuk időre adott egy k b n-k, mi az a tényező, amely kíséri.
Ezt a tételt általában az angol feltalálónak, fizikusnak és matematikusnak, Sir Isaac Newtonnak tulajdonítják; Különböző feljegyzéseket találtak azonban, amelyek azt mutatják, hogy létezése már a Közel-Keleten is ismert volt, 1000 év körül.
Kombinatorikus számok
A binomiális tétel matematikailag elmondja a következőket:
Ebben a kifejezésben az a és b valós számok és n természetes szám.
Mielőtt bemutatnánk a demót, nézzük meg néhány szükséges alapfogalmat.
Az n kombinatorikus számát vagy kombinációit k-ban a következőképpen fejezzük ki:
Ez az alak azt az értéket fejezi ki, hogy hány elemet tartalmaz k elemből az n elem halmaza. Algebrai kifejezését a következő adja:
Lássunk egy példát: Tegyük fel, hogy hét gömbből álló csoportunk van, melyből kettő piros és a többi kék.
Szeretnénk tudni, hogy hány módon rendezhetjük őket egymás után. Ennek egyik módja lehet a két vörös első és második helyzetbe helyezése, a többi golyó elhelyezése a többi helyzetben.
Az előzőhöz hasonlóan adhatjuk a piros golyókat az első és az utolsó pozíciónak, és a többieket kék golyókkal elfoglalhatjuk.
A kombinatorikus számok felhasználásával hatékonyan meg lehet számolni, hogy hány módon rendezhetjük egymás után a golyókat. Az egyes pozíciókat a következő halmaz elemének tekinthetjük:
Ekkor csak két elem egy részhalmazát kell választani, amelyben mindegyik elem képviseli azt a helyet, amelyet a piros golyók elfoglalnak. Ezt a választást az alábbiak szerint adhatjuk meg:
Ilyen módon 21féle módon rendelhetjük meg ezeket a golyókat.
A példa általános elképzelése nagyon hasznos lesz a binomiális tétel bizonyításához. Nézzük meg egy adott esetet: ha n = 4, akkor van (a + b) 4, ami nem más, mint:
A termék kifejlesztésekor a kifejezések összegét kapjuk, amelyet a négy tényező mindegyikének (a + b) szorzatával kapunk. Így lesznek olyan kifejezések, amelyek formája:
Ha a kifejezést 4-es formában szeretnénk megszerezni, akkor csak a következőket kell szoroznunk:
Vegye figyelembe, hogy ennek az elemnek csak egy módja van; de mi történik, ha az a 2 b 2 forma kifejezését keressük ? Mivel az "a" és "b" valós számok, és ezért a kommutációs törvény alkalmazandó, az egyik módja ennek a kifejezésnek a megszerzése a nyilakkal jelölt tagokkal való szorzás.
Mindezen műveletek elvégzése általában kissé unalmas, de ha az "a" kifejezést kombinációnak tekintjük, amikor tudni akarjuk, hogy hány módon választhatunk két "a" -t négy tényezőből álló sorozatból, akkor felhasználhatjuk az előző példa ötletét. Tehát a következők rendelkeznek:
Így tudjuk, hogy az (a + b) 4 kifejezés végleges kiterjesztésében pontosan 6a 2 b 2 lesz. Ugyanazt az ötletet használva a többi elemhez is:
Ezután hozzáadjuk a korábban kapott kifejezéseket és így van:
Ez hivatalos bizonyíték arra az általános esetre, amikor "n" bármilyen természetes szám.
Demonstráció
Vegye figyelembe, hogy az (a + b) n kiterjesztésével maradt kifejezések a k b n-k formájúak, ahol k = 0,1,…, n. Az előző példa elképzelése alapján úgy választhatjuk meg a «k« változókat, hogy az «n» tényezők «a» változói:
Az ilyen módon történő kiválasztással automatikusan nk "b" változót választunk. Ebből következik, hogy:
Példák
Figyelembe véve (a + b) 5-et, mi lenne a fejlõdés?
A binomiális tétel szerint:
A binomiális tétel nagyon hasznos, ha van egy kifejezés, amelyben meg akarjuk tudni, mi az adott kifejezés együtthatója anélkül, hogy teljes kiterjesztést kellene végrehajtanunk. Példaként vehetjük a következő ismeretlenket: mi az x 7 és 9 együtthatója az (x + y) 16 kiterjesztésében ?
A binomiális tétel szerint azt kapjuk, hogy az együttható:
További példa lenne: mi az x 5 és 8 együtthatója a (3x-7y) 13 tágulásakor ?
Először kényelmes módon írjuk át a kifejezést; ez:
Ezután a binomiális tétel felhasználásával megkapjuk azt a tényezõt, amikor a k = 5-et kapjuk
Ennek a tételnek egy másik példája a közös identitások bizonyításában, például azokban, amelyeket a következőkben említünk.
1. identitás
Ha az «n» természetes szám, akkor:
A bizonyításhoz a binomiális tételt használjuk, ahol mind az „a”, mind a „b” értéke 1. Akkor van:
Ily módon bebizonyítottuk az első identitást.
2. identitás
Ha "n" egy természetes szám, akkor
A binomiális tétel szerint:
Újabb bemutató
Az induktív módszerrel és Pascal azonosságával különféle bizonyítékokat tudunk készíteni a binomiális tételre, amely azt mondja nekünk, hogy ha «n» és «k» pozitív egész számok, amelyek n ≥ k értékre esnek, akkor:
Indukcióbiztos
Először látjuk, hogy az induktív bázis megtartja-e. Ha n = 1, akkor:
Valójában látjuk, hogy teljesült. Legyen n = j olyan, hogy:
Látni akarjuk, hogy n = j + 1 esetén igaz:
Tehát:
Hipotézis alapján tudjuk, hogy:
Ezután a disztribúciós tulajdonság felhasználásával:
Ezt követően az egyesítések összegzésének fejlesztése:
Most, ha kényelmesen csoportosítunk, megvan:
A Pascal azonosságát felhasználva:
Végül vegye figyelembe, hogy:
Ezért látjuk, hogy a binomiális tétel minden természetes számhoz tartozó "n" -re érvényes, és ezzel a bizonyítás véget ér.
érdekességek
A kombinatorikus számot (nk) szintén binomiális együtthatónak nevezzük, mivel pontosan ez az együttható jelenik meg az (a + b) n binomiális elem kialakításában.
Isaac Newton általánosította ezt a tételt abban az esetben, amikor a kitevő valós szám; Ezt a tételt Newton binomiális tételének nevezik.
Ez az eredmény már az ősi időkben volt ismert az adott esetre, amikor n = 2. Ezt az esetet említik az Euclid elemei.
Irodalom
- Johnsonbaugh Richard. Diszkrét matematika. PHH
- Kenneth.H. Rosen: Diszkrét matematika és alkalmazásai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Seymour Lipschutz Ph.D és Marc Lipson. Diszkrét matematika. McGraw-Hill.
- Ralph P. Grimaldi. Diszkrét és kombinatorikus matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis.. Diszkrét és kombinatorikus matematika Anthropos